c4 20172 prova3 esp

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO VALE DO SA˜O FRANCISCO — UNIVASF
Ca´lculo Diferencial e Integral IV Aluno(a):
2017.2
3a Prova – Tipo 2
14/04/2018 Professor: Joa˜o Alves Silva Ju´nior
Atenc¸a˜o: Justifique todas as respostas com ca´lculos ou argumentos.
1. (4,0 pontos) Considere a equac¸a˜o diferencial y′′ − xy′ − y = 0 e o ponto x0 = 0.
(a) Procure soluc¸o˜es em se´ries de poteˆncias da equac¸a˜o diferencial dada em torno do
ponto dado x0; encontre a relac¸a˜o de recorreˆncia.
(b) Encontre os quatro primeiros termos em cada uma das duas soluc¸o˜es y1 e y2 (a menos
que a se´rie termine antes).
(c) Calculando o wronskiano W (y1, y2)(x0), mostre que y1 e y2 formam um conjunto
fundamental de soluc¸o˜es.
(d) Se poss´ıvel, encontre o termo geral em cada soluc¸a˜o.
2. (2,0 pontos) Determine φ′′(0), φ′′′(0) e φ(4)(0), se y = φ(x) e´ uma soluc¸a˜o do problema
de valor inicial 
y′′ + xy′ + y = 0
y(0) = 1
y′(0) = 0.
3. (4,0 pontos) Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial
y′′ − 2y′ + 2y = e−t,
y(0) = 0,
y′(0) = 1.
Domı´nio de f f(t) = L−1{F (s)} F (s) = L{f(t)} Domı´nio de F
t ≥ 0 tn n!sn+1 s > 0
t ≥ 0 sen at as2+a2 s > 0
t ≥ 0 cos at ss2+a2 s > 0
t ≥ 0 senh at as2−a2 s > |a|
t ≥ 0 cosh at ss2−a2 s > |a|
t ≥ 0 ebttn n!(s−b)n+1 s > b
t ≥ 0 ebt sen at a(s−b)2+a2 s > b
t ≥ 0 ebt cos at s−b(s−b)2+a2 s > b
t ≥ 0 ebt senh at a(s−b)2−a2 s > b+ |a|
t ≥ 0 ebt cosh at s−b(s−b)2−a2 s > b+ |a|
Tabela 1: Algumas transformadas e transformadas inversas de Laplace. Os paraˆmetros n, a e b denotam
elementos arbitra´rios de N, R e R, respectivamente.