ALG LINEAR POLI 1ª LISTA SIST MAT VET 2012 2

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POLI 
ÁLGEBRA LINEAR I 1ª LISTA DE EXERCÍCIOS PROF. CLÁUDIO MACIEL 
 
Aluno:____________________________________________ Turma:_______ Período_______ 
 
 
 Matrizes 
 
Operações. 
 
Adição: 
 Seja A = (aij)mxn e B = (bij)mxn → A + B = C, C = ( aij + bij)mxn 
 
 Propriedades: 1) (A + B) = B + A 
 2) (A + B) + C = A + ( B + C) 
 3) A + 0 = 0 + A = A 
 4) A + ( – A ) = 0 ; para A, B, C, 0 Є Mmxn(R). 0 = matriz nula. 
 
Produto por um escalar: 
 Sejam A = (aij)mxn e k Є R → kA = ( kaij)mxn. 
 
 Propriedades: 1) ( k.k1) = k ( k1.A) 
 2) ( k + k1).A = k.A + k1.A 
 3) k.( A + B ) = k.A + k.B 
 4) 1.A = A, para A, B Є Mmxn(R) e k, k1 Є R 
 
Produto de Matrizes: 
 Sejam A = (aij)mxn e B = (bjp)nxp → A.B = C, C = ( cip)mxp e cip = A
(m)
.B(n). 
 
 Propriedades: 1) (A.B).C = A.(B.C) 
 2) A.(B + C) = A.B + A.C 
 3) (B + C).A = B.A + C.A 
 4) k.(A.B) = (k.A).B = A.(kB) 
 
 ONB: 1) A.B ≠ B.A 
 
 2) A
2
 = A.A ; A
3
 = A
2
.A ; A
4
 = A
3
.A ; ... ; A
n+1
 = A
n
.A e A
0
 = In 
 3) Matriz Identidade ( ou unitária) In = (aij) tal que 






jise
jise
aij
1
0 
 4) Polinômios de uma matriz: f(A)= a0In + a1A + a2A
2
 + ... + an A
n
. 
 
 5) Matriz Escalar 






jisek
jise
kakI ijn
0. 
 6) A
T
 = matriz transposta de A e (AB) 
T
 = B
T
A
T
 
 
 6) Traço de A: tr(A) = a11+a22+a33+ ... + ann. 
 
 Propriedades: 1) tr(A + B) = tr(A) + tr(B) 
 2) tr(kA) = k tr(A) 
 3) tr (A
T
) = tr (A), 
 4) tr (AB) = tr (BA). 
 
 
 
 
Matriz Inversível ( ou não singular): Seja An ЄMn (R) →
 
 A.A
 – 1
 = In . 
 
 Propriedade: 
1
1
1
2
1
3
11
321 ....).....(
  AAAAAAAA nn
, Ak são inversíveis. 
 
 
 
Matrizes Quadradas Reais Especiais. 
 
Matriz Simétirca. 
 Uma matriz A é simétrica se A = A
T
, isto é, os seus elementos simétricos são iguais aij = aji. 
 
Exemplo: 













754
513
432
A
 
 
Matriz Anti-Simétrica. 
 Uma matriz A é anti-simétrica se A = – AT, isto é, se cada aij = – aji e isto implica que aii = 0 ( os 
elementos da diagonal principal são todos nulos). 
 
Exemplo: 













074
703
430
A
 
 
Matriz Ortogonal. 
 Uma matriz inversível A é ortogonal se A
T
 = A
-1
, isto é AA
T
 = AA
-1
 = In. 
 
Exemplo: 














2
2
2
2
2
1
2
1
0
0
001
A 
 
Matriz Normal. 
 Uma matriz real A é normal se comuta com sua transposta, isto é, AA
T
 = A
T
A. 
Obs: Se A é simétrica, ortogonal ou anti-simétrica então A é normal. 
 
Exemplo: 





 

63
36
A
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS: 
 
1º) Considere as matrizes 
 































984
173
562
431
,
76
05
,
43
21
DeCBA
. 
 Calcule: 
 
a) 5.A – 2B b) 2.A + 3B c) 2C – 3D d) AB e) (AB)C f) A(BC) g) A2 e A3 
 h) AD i) BD l) CD m) A
T
 n) B
T
 o) (AB)
T
 p) B
T
A
T
 
q) (A+B)
T
 r) A
T
 + B
T
 s) (2.A)
T
 t) 2.A
T
 u) (A
T
)
T
 v) A
T
B
T
 x) - A
T
 
 
2º) Calcule. 
  




























 13
26
.
42
21
)
53
61
.72)
7
2
.
53
61
) cba
 
 
3º) Sejam 













 

61
24
,
13
52
BA
 
 
 Calcule: a) f (A) para f (x) = x
3
 – 2x2 – 5 e g(A) para g (x) = x2 – 3x + 17 
 
 b) f (B) para f (x) = x
2
 + 2x – 22 e g(B) para g (x) = x2 – 3x – 6 
 
 
4º) Calcule a inversa, se possível, de cada matriz: 
 













 







93
62
31
32
,
24
35
CeBA
 
 
5º) No conjunto M3x2 ( R ) , considere as matrizes. 
 


































10
01
21
11
12
10
,
00
00
11
CeBA
 . 
 
Calcular 
C
BXXA
quetalRMX x 




32
)(23
 
 
6º) Sejam A = diag( 2,3,5) , B = diag( 7,0,4). Calcule: 
 
a) AB, A
2
 e B
2
 b) f(A), onde f(x) = x
2
 + 3x – 2 c) A-1 e B -1 d) Verificar que
111)(   ABAB
 
 
 
7º) Sejam A = diag(1,2, -3 , B = diag( 2, -5, 0). Calcule: 
 
a) AB, A
2
 e B
2
 b) f(A), onde f(x) = x
2
 + 4x – 3 c) A-1 e B -1 
 
 
8º) Calcule x e B, sabendo que 









132
24
xx
x
B
 é simétrica. 
 
9º) Determine o traço das seguintes matrizes 



























472
850
631
153
784
859
BeA
 
10º) Seja 







k
A
0
25 . Determine os valores de k para os quais A é uma raiz de: 
 
 a) f(x) = x
2
 – 7x + 10 b) g(x) = x2 – 25 c) h(x) = x2 – 4 
 
11º) Calcule x,y,z para que A seja simétrica. 
 
 

























52
2
267
)
71
54
32
)
x
zy
x
Bb
z
y
x
Aa
 
 
 
12º) Para cada número real α consideremos a matriz 





 




cos
cos
sen
sen
T
 
 
a) Mostrar que 
  TTT
 b) Calcular 
T
 
 
13º) Determinar se possível x e y em R a fim de que a matriz 








2
2
y
x seja ortogonal 
 
14º) Determinar a em R a fim de que a matriz real 











a
A
21
212
111
seja inversível em M3(R). 
 
15º) Dada a matriz 











111
210
121
A
 , determine a matriz 
33 )( IAXquetalRMX 
 
 
 
16º) Determinar x , y e z de modo que a matriz A seja ortogonal : A
x y z











1 0 0
0 1
2
1
2
 
 
 
 
17º) Sejam A, B, C , D e X matrizes quadradas, de mesma ordem e inversíveis,resolver as 
equações matriciais onde x é a variável. 
a) ADX = ABC b) ABX = C c ) CAXT = C d) DXT = DC 
 e) AX2C = AXBC f) ABCX2D2 = ABCXD g) D-1XD = AC h) CX + 2B = EB 
 
Sistemas 
Escalone , classifique e dê o conjunto solução dos sistemas nas variáveis x, y e z: 
 
1) 











1334
323
332
632
tzyx
tzyx
tzyx
tzyx
 2) 








334
143
2325
zyx
zyx
zyx
 3) 








10435
4453
223
zyx
zyx
zyx
 
4) 








455
023
4
zyx
zyx
zyx
 5) 








423
32
92
zyx
zyx
zyx
 6) 











12
22
1
1
tzx
tzy
tzyx
tzyx
 
 
7) 








22
2
12
zyx
zyx
zyx
 8) 








1232
223
1
tzyx
tzyx
tzyx
 9) 








334
143
2325
zyx
zyx
zyx
 
 
10) 








022
232
12
tzyx
tyx
zyx
 11) 











12
22
1
1
tzx
tzy
tzyx
tzyx
 12) 








10435
4453
223
zyx
zyx
zyx
 
 
13) 








7232
534
72
zyx
zyx
zyx
 14) 








6556
12
323
zyx
zyx
zyx
 15) 








02
62
423
zyx
zyx
zyx
 
 
 16) 








02
02
0
zyx
zyx
zyx
 17) 








yzx
xzy
zyx
322
23
2
 18) 








0462
0324
0
zyx
zyx
zyx
 
 
 
19) 








023
04
032
zyx
zyx
zyx
 20) 








034
032
02
zyx
zyx
zyx
 21) 








02
028
0245
zyx
zyx
zyx
 
 
Vetores 
 
1) Dados os vetores u = < 1,2,3 > , v = < 2,-3,1 > e w = < 3,2,-1> . Determine : 
 
a) u . v + v .w + u . w 
 b) ( u + v ) . ( 2w – v ) 
 
 
2) Dados os vetores  
a i j k e b i j k     4 2 2 2 5
 , determine : 
 a) 
ba 2
 
b) 
 bba )2(
 
3) Determine a) u + v + w b) (u + v ) – w c) 2u – v + 3w d) (u . v ) + w 
a) u = 2i –3j + k , v = 4i + j –3k, w = j + 5k 
b) u = i –2j + 2k, v = 3j + 2k, w = -4i + j –3k 
c) u = 2i + j, v = i –3j + k, w = 4i + k 
d) u = i, v = i + j , w = i + j + k 
 
 
4) Sejam u = <1,3> , v = <2,1> e w = <4,-1>. Determine o vetor x tal que 2u – v + x =7x + w. 
 
 
 5) Determine u e v se u + 2v = 3i – k e 3u – v = i + j + k. 
 
 
 6) Esboce os vetores a, b, 2
 
a , -3b , a + b e a – b, para: 
 a) a = 2i + 3j + 4k b = i –2j +2k 
 b) a = -i + 2j + 3k b = -2j + k 
 
 
 
7) Dados os pontos P ( 3, -2, -1) , Q (1, 5, 4) , R ( 2, 0 ,-6) e S ( -4, 1, 5), calcule. 
 
RPQSdRSPQcRPQSbRSPQa .)32))) 
 
 
 
8) Dados os vetores u = < 1, 2, 0 >, v = < 3, -2, 4 >, w = < -1, -2, 3 > e os escalares a = 3 e b = 2 
 Verificar as propriedades: 
 Soma: Produto 
 1a) u + v = v + u 1 p) ( ab) u = a (bu) 
 2 a) ( u + v) + w = u + ( v + w ) 2 p) ( a + b ) u = au + bu 
 3 a) u + 0 = u 3 p) a ( u + v ) = au + av 
 4 a) u + ( - u) = 0 4 p) 1. u = u