Lista 3 GA - Professor Benito 2014

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Lista 3 - Operações com vetores
Prof. Benito Pires
Produto escalar
1.1 Dados os vetores ~u = (2, 4) e ~v = (−3, 5),
determine:
(a) O produto escalar ~u · ~v de ~u por ~v.
(b) O ângulo entre ~u e ~v.
(c) A projeção proj~u (~v) de ~v na direção de ~u.
1.2 Sendo ‖~u‖ = 4, ‖~v‖ = 2 e ~u · ~v = 3, calcule
(3~u− 2~v) · (−~u+ 4~v).
1.3 Sendo ‖~u‖ = 2, ‖~v‖ = 3 e pi/3 o ângulo entre
~u e ~v, calcule:
(a) ~u · ~v; (b) ‖~u+ ~v‖; (c) ‖~u− ~v‖.
1.4 Determine o vetor ~v paralelo ao vetor ~u =
(2,−1, 3) tal que ~v · ~u = −42.
1.5 Dado o vetor ~v = (2,−1, 1), obtenha:
(a) Um vetor ortogonal a ~v.
(b) Um vetor unitário ortogonal a ~v.
(c) Um vetor de módulo 4 ortogonal a ~v.
1.6Mostre que se ~u,~v e ~w são vetores dois-a-dois
ortogonais então
‖~u+ ~v + ~w‖2 = ‖~u‖2 + ‖~v‖2 + ‖~w‖2.
Uma interpretação desta identidade é dada na
Figura 1.
. .~u
.~v
.~w.~u+ ~v + ~w
.Figura 1
1.7 Determine o ângulo entre os vetores:
(a) ~u = (2,−1,−1) e ~v = (−1,−1, 2)
(b) ~u = (1,−2, 1) e ~v = (−1, 1, 0) .
1.8 Dado o triângulo de vértices A = (3, 4, 4),
B = (2,−3, 4) e C = (6, 0, 4), determine o ân-
gulo interno referente ao vértice B.
1.9 Calcule os ângulos diretores do vetor ~v =
(6,−2, 3).
1.10Os ângulos diretores de um vetor podem ser
pi/4, pi/3 e pi/2 rad? Justifique!
1.11 Determine o valor de k para que os ve-
tores ~u = (−2, 3) e ~v = (k,−4) sejam:
(a) paralelos (b) ortogonais.
1.12 Dados ~u = (3, 0, 1) e ~v = (−2, 1, 2), deter-
mine: (a) proj~u(~v) (b) proj~v(~u)
1.13 Dado o triângulo ABC de vértices A =
(1, 0, 1), B = (−1, 0, 0) e C = (0, 1, 1), deter-
mine a altura relativa ao lado AB.
1
1.14 Provar que (~u+ ~v) · (~u− ~v) = ‖~u‖2 − ‖~v‖2
e concluir que as diagonais de um paralelogramo
são perpendiculares se e somente se o paralelo-
gramo é um losango (ver Figura 2).
.
.~u
.~v
.~u+ ~v.~u
−
~v
.Figura 2
1.15 Mostrar que 4~u · ~v = ‖~u+ ~v‖2 − ‖~u− ~v‖2.
1.16 Provar que ~u · ~v = 0 se e somente se
‖~u+~v‖ = ‖~u−~v‖ e concluir que as diagonais de
um paralelogramo têm comprimentos iguais se e
somente se o paralelogramo é um retângulo.
.
.~u
.~v
.~u+
~v.~u− ~v
.Figura 3
Produto vetorial
2.1 Se ~u = 3~i−~j−2~k e~v = 2~i+4~j−~k, determine:
(a) ‖~u× ~v‖; (b) ~u× ~u.
2.2 Calcule:
(a)~i× ~k; (b)~i× (~j + ~k).
2.3 Determine o vetor ~u tal que ~u · (1, 4,−3) =
−7 e ~u× (4,−2, 1) = (3, 5,−2).
2.4 Calcule ~u × ~v sabendo que o ângulo entre ~u
e ~v é pi/6, ‖~u‖ = 2 e ‖~v‖ = 3.
2.5 Seja h a altura do triângulo ABC relativa ao
lado AB. Prove que:
h =
‖−−→AB ×−→AC‖
‖−−→AB‖
.
2.6 Encontrar um vetor do R3 ortogonal aos ve-
tores ~u = (1, 0, 1) e ~v = (0, 1, 0).
2.7 Dado o vetor ~v1 = (1,−2, 1), determinar ve-
tores ~v2 e ~v3 dois a dois ortogonais, isto é, tais
que ~vi · ~vj = 0 para todo 1 ≤ i < j ≤ 3.
2.8 Encontrar um vetor de módulo 2 ortogonal a
~u = (3, 2, 2) e a ~v = (0, 1, 1).
2.9 Determinar ~u · ~v sabendo que ‖~u× ~v‖ = 12,
‖~u‖ = 13 e ~v é unitário.
2.10 Dados os vetores ~u = (3,−1, 2) e ~v =
(−2, 2, 1), calcule: (a) A área do paralelogramo
determinado por ~u e ~v;
(b) A altura do paralelogramo relativa à base de-
finida pelo vetor ~v.
2.11 Mostre que o quadrilátero ABCD de vérti-
ces A = (4, 1, 2), B = (5, 0, 1), C = (−1, 2,−2)
eD = (−2, 3,−1) é um paralelogramo e calcular
a sua área.
2.12 Calcule a área do triângulo ABC e a altura
relativa ao lado BC sendo dados: A = (−4, 1, 1),
B = (1, 0, 1) e C = (0,−1, 3).
Last update: 26 de Agosto de 2014. Typeset with X ETEX
2.13 Dados os vetores ~u = (3, 4, 2) e ~v =
(2, 1, 1), obter um vetor de módulo 4 que seja or-
togonal aos vetores 2~u− ~v e ~u+ ~v.
Produto misto
3.1 Verifique se são coplanares os vetores ~u =
(2,−1, 1), ~v = (1, 0, ,−1) e ~w = (2,−1, 4).
3.2 Verifique se os pontos A = (1, 2, 4), B =
(−1, 0,−2), C = (0, 2, 2) e D = (−2, 1,−3) for-
mam um tetraedro.
3.3 Um paralelepípedo é determinado pelos ve-
tores ~u = (3,−1, 4), ~v = (2, 0, 1) e ~w =
(−2, 1, 5). Calcule seu volume e a altura relativa
à base definida pelos vetores ~u e ~v.
3.4 Dados os vetores ~u = (3,−1, 1),
~v = (1, 2, 2) e ~w = (2, 0,−3), calcule:
(a) ~u · v × ~w (b) ~u× ~w · ~v
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	Produto escalar
	Produto vetorial
	Produto misto