ok 2018319 145650 Lista+10 +Trajetórias+ortogonais

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Lista 10_ Trajetória ortogonal 
Um problema geométrico que ocorre com frequência na engenharia é o de encontrar uma 
família de curvas ( Trajetórias ortogonais) que cruza determinada família de curvas 
ortogonalmente em cada ponto Por exemplo, podemos obter as linhas de força de um campo 
elétrico e querer encontrar a equação para as curvas equipotenciais. Considere a família 
descritas por F(x, y) = k, onde k é um parâmetro. Lembre-se, que para cada curva na família, 
a inclinação é dada por 
dy
dx
= −
∂F
∂x
∂F
∂y
 ou 
dx
dy
= −
∂F
∂y
∂F
∂x
 
(a) Lembre-se de que a inclinação de uma curva que é ortogonal ( perpendicular) a 
determinada curva é simplesmente a negativa recíproca da inclinação da curva 
indicada. Usando esse fato, mostre que as curvas ortogonais à família 𝐹(𝑥,𝑦) = 𝑘 
satisfaz a equação diferencial 
𝜕𝐹
𝜕𝑦
(𝑥,𝑦)𝑑𝑥 − 
𝜕𝐹
𝜕𝑥
(𝑥,𝑦)𝑑𝑦 = 0 
 
(b) Usando a equação diferencial anterior, mostre que as trajetórias ortogonais para a 
família de círculos 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑘 são apenas linhas retas passando pela origem. 
(c) Mostre que as trajetórias ortogonais para a família de hipérboles 𝑥𝑦 = 𝑘 são as 
hipérboles 𝑥2 − 𝑦2 = 𝑘 
(d) Determine a trajetória ortogonal da família de curvas representada por 
 𝑦 = −𝑥 − 1 + 𝑐1𝑒
𝑥