Prévia do material em texto
Nome: Turma: A1 (9h-11h) VE2 de Equações Diferenciais e Métodos Matemáticos (03/6/2011) Questão 1 2 3 4 Total Pontuação Máximo 36 16 32 16 100 1) Complete as lacunas abaixo (ou escolha a melhor opção). Justi que brevemente as suas respostas. a) A Transformada de Laplace de � (t� 3)U (t� 2) é b) Seja A (t) uma matriz 2 � 2, e sejam X1 (t) e X2 (t) vetores 2 � 1 soluções do sistema linear X 0 = AX. Suponha que det [X1 (0) ; X2 (0)] = 0. Então det [X1 (2) ; X2 (2)] = c) No sistema de EDOs � x0 = y cosx� x cos y y0 = sinx+ y sin y ; o ponto (�; �) é um equilíbrio? De que tipo? d) Considere C [�L;L] (o espaço das funções contínuas com domínio [�L;L]), e seu produto interno canônico (usual). Seja f (x) uma função par e g (x) uma função ímpar. O que pode ser dito sobre hf; gi? (A) É sempre 0. (B) É sempre positivo. (C) Pode ser positivo, mas nunca pode ser negativo. (D) É ímpar. (E) É uma função contínua no intervalo [�L;L]. e) Seja f : R! R uma função periódica de período 2�, e seja P1k=�1 ckeikx a sua série de Fourier (complexa). Se f (x) é par, o que pode ser dito sobre os coe cientes ck? (A) Eles são reais (B) Eles são imaginários puros (C) c2k+1 = 0 para todo k 2 Z (D) f (x) = P1 k=�1 cke ikx para todo x 2 R (E) c2k = 0 para todo k 2 Z f) Se f (x) = 1 + P1 n=1 1 2n cos (nx), então R � �� f 2 (x) dx = 2) Dada f (t), use a Transformada de Laplace para encontrar a solução x (t) do problema (você pode supor que x (t) = f (t) = 0 para t < 0) x00 (t) + 2x0 (t) = 2f (t) x (0) = 0 x0 (0) = 4 3) Considere novamente a E.D.O. de segunda ordem x00 (t) + 2x0 (t) = 2f (t) [6] a) Reduza esta E.D.O. à forma normal, e escreva o sistema obtido na forma X 0 = AX + F . [12] b) Determine uma matriz fundamental � (t) para a parte homogênea do sistema que você encontrou em (a). [8] c) Resolva o sistema encontrado em (a) pelo método da variação dos parâmetros (sua resposta dependerá de f). [6] d) Calcule a matriz especial (t) = etA.(correspondente a t0 = 0) 4) Seja f : [0; �]! R de nida por f (x) = cos 2x. a) Encontre a série em senos de f (x). b) Seja S (x) a série encontrada em (a). Desenhe o grá co de S (x), destacando seus pontos notáveis. Boa Sorte! 1
