Capitulo 6 - Taxa nominal de juros

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Disciplina: Matemática Financeira 
Unidade 6 – Taxa de juros nominal / taxa de juros efetiva 
Professora: Magda Leyser – magda.leyser@gmail.com 
 
 
 
1 
 
6. Taxa de juros nominal e taxa de juros efetiva (capitalização Composta) 
 
Existem situações de capitalização composta em que determinada taxa ser informada em um 
regime de tempo diferente daquela em que ocorrerá efetivamente a capitalização. Exemplo de taxa com 
essa característica é descrever a taxa de juros composta de 18% ao ano com capitalização mensal. 
Observe que o período determinado na taxa que chamaremos de nominal é diferente do período que 
calcularemos a capitalização, ou seja, o cálculo dos juros não ocorrerá no prazo de um ano, mas 
mensalmente. Essa característica ocasiona sucessivas aplicações da taxa sobre o saldo devedor, e assim 
o acúmulo do juros sobre juros em mais de um período descrito pela taxa de 18% ao ano. 
 
Taxa efetiva de juros: ocorre taxa efetiva de juros quando o capital sofre capitalização apenas uma vez 
no período que ocorre a taxa. 
Exemplos: 
10%a.a. capitalizado em período de ano, 
6%a.m capitalizado em período de mês, 
2%a.b. capitalizados bimestralmente. 
Taxa nominal de juros: ocorre quando o juros é capitalizado mais de uma vez no período a que se refere 
a taxa, neste caso a taxa usada será a taxa proporcional ao número de capitalizações. 
Exemplos: 
18%a.a. capitalizados mensalmente, usaremos no prazo o número de capitalizações mensais de 
 
 
 
15% a.a. capitalizada semestralmente, usaremos no prazo o número de capitalizações semestrais de 
 
 
 
4%a.m. capitalizados diariamente, usaremos no prazo o número de capitalizações diárias de 
 
 
 
3% a.s. capitalizada trimestralmente, usaremos no prazo o número de capitalizações trimestrais de 
 
 
 
 
Exemplo 1: Determine o valor futuro do capital de R$1.000,00 capitalizado nos prazos de 1 ano, 2 
anos e 3 anos nas seguintes taxas: 
a) Taxa efetiva de 10%a.a. 
b) Taxa nominal de 10%a.a capitalizada semestralmente 
c) Taxa nominal de 10%a.a capitalizada trimestralmente 
d) Taxa nominal de 10%a.a capitalizada mensalmente 
 
Organizando na tabela abaixo as diferentes taxas nas linhas e os prazos nas segunda, terceira e 
quarta colunas podemos determinar em cada célula o respectivo valor futuro da taxa indicada na linha e 
no prazo informado na coluna. 
 
Taxa 10% a.a com 
Capitalização 
Prazo da aplicação 
 
1 ano 2 anos 3 anos 
Anual 
 
1000(1+0,1)
1 
1100,00 
1000(1+0,1)
2 
1210,00 
1000(1+0,1)
3 
1331,00 
Efetiva 
Semestral 
 
1000(1+
2
10,0
)
2
 
1102,50 
1000(1+
2
10,0
)
4 
1215,51 
1000(1+
2
10,0
)
6
 
1340,10 
Nominal 
Trimestral 
 
1000(1+
4
10,0
)
4
 
1103,81 
1000(1+
4
10,0
)
8
 
1218,40 
1000(1+
4
10,0
)
12
 
1344,89 
Nominal 
Mensal 
 
1000(1+
12
10,0
)
12
 
1104,71 
1000(1+
12
10,0
)
24
 
1220,39 
1000(1+
12
10,0
)
36
 
1348,18 
Nominal 
2 
 
 
A partir do exemplo 1 veja que podemos generalizar uma fórmula que determina o valor futuro 
de uma aplicação pelo regime de capitalização composta de taxa nominal. Considere os exemplos: 
 
 Exemplo 
r 
Número de capitalizações conforme 
descrito pela taxa nominal iNOM 
iNOM =9%a.t. capitalizado diariamente r = 90 
iNOM =9%a.t. capitalizado semanalmente r = 12 
iNOM =9%a.t. capitalizado quinzenalmente r = 6 
iNOM =9%a.t. capitalizado mensalmente r = 3 
i Taxa unitária de juros i=0,09 
n Prazo da aplicação n=3 anos 
t 
Número inteiro de capitalizações 
que ocorrem no prazo n da aplicação 
iNOM =9%a.t. capitalizado diariamente t = 3*360=1080 
iNOM =9%a.t. capitalizado semanalmente t = 3*48=144 
iNOM =9%a.t. capitalizado quinzenalmente t = 3*24=72 
iNOM =9%a.t. capitalizado mensalmente t = 3*12=36 
 
Fórmulas de juros compostos – taxa de juros nominal 
t
r
i
PVFV 





 1
 
Onde descrevemos as variáveis associando-as as grandezas: 
FV = valor futuro, saldo, montante, valor presente mais os juros capitalizados no prazo 
PV= valor presente 
t= número de capitalizações no prazo na aplicação 
r= número de capitalizações na taxa de juros nominal 
 
Dessa fórmula derivamos as seguintes fórmulas: 
t
r
i
FV
PV








1
 
r
PV
FV
i
t















 1
1
 














r
i
PV
FV
n
1ln
ln
 














 11
t
r
i
PVJ
 
 
3 
 
 
EXEMPLO 2: Determine o valor de resgate de um capital de $5.000,00 é aplicado durante 1 ano e 6 meses a taxa 
de 12% ao semestre capitalizada mensalmente . 
 
Elementos do problema 
FV=? 
PV=$5.000,00 
n= 1ano e 6meses = 12+6meses=18meses 
Inominal= 12% ao semestre capitalizada mensalmente 
r=capitalizações mensais ocorre no semestre= 6 
t= capitalizações mensais ocorre no prazo=18 
 
 
 
 Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: O saldo, valor futuro da aplicação será de $7.141,23 
 
EXEMPLO 3: Determine o valor presente de uma aplicação durante 600 dias a taxa de 12% ao trimestre 
capitalizada mensalmente que produziu o valor de resgate de R$1.234,56 . 
 
Elementos do problema 
PV=? 
FV= R$1.234,56 
n= 600 dias 
Inominal= 12% ao trimestre capitalizada mensalmente 
r=3 capitalizações mensais no trimestre 
t=
 
 
 capitalizações mensais em 600 dias 
 
Resposta: Deve-se aplicar $563,44. 
 Solução: 
t
r
i
FV
PV








1
 
 
EXEMPLO 4: Quanto tempo deve permanecer aplicado um capital de R$ 780,00 visando um resgate no valor de 
R$975,45 sabendo que a taxa da aplicação é de 15%a.a capitalizado bimestralmente? 
 
Elementos do problema 
PV= 
FV= 
n= ? 
Inominal= 15%a.a capitalizado ao bimestre 
r= 
t= 
 
Resposta: 9 bimestres de prazo. 
 Solução: 














r
i
PV
FV
n
1ln
ln
 
 
EXEMPLO 5: Um capital de R$ 850,00 permaneceu aplicado por 8 semestre gerando no final um valor de resgate 
de R$975,45, sabendo que a taxa da aplicação é uma taxa nominal anual capitalizada diariamente, determine o 
valor da taxa regada por essa aplicação. 
 
Elementos do problema 
PV= 
FV= 
n= 
Inominal=? 
r= 
t= 
 
Resposta: 3,44%a.a. capitalização diária 
 
 Solução: 
r
PV
FV
i
t















 1
1
 
 
 
 
 
 
4 
 
 
 
 
EQUIVALÊNCIA (conversão) ENTRE A TAXA EFETIVA E TAXA NOMINAL 
Duas taxas são equivalentes quando aplicadas sobre o mesmo capital (valor presente) durante o 
mesmo tempo produzem a mesma quantia de juros. Isto significa que as expressões dos juros dos 
dois períodos devem ser iguais. Essa afirmação nos fornece a seguinte igualdade no caso de 
desejarmos determinar qual a equivalência entre a taxa de juros EFETIVA 
EFi
 e a taxa de juros 
NOMINAL 
NOMi
: 
 
Assim, podemos expressar a equivalência entre essas duas taxas têm as seguintes expressões: 
Para determinar a TAXA EFETIVA sendo conhecida a taxa nomina 
11 






n
t
NOM
EF
r
i
i
 
 
Pare determinar a TAXA NOMINAL sendo conhecida a taxa efetiva 
 
  rii t
n
EFNOM 



 11
 
 
EXEMPLO 6: Um capital de R$ 850,00 permaneceuaplicado por 270 dias a uma taxa nominal de 8,70% a.a 
capitalizada mensalmente, determine a taxa efetiva anual. Ou seja, se a capitalização é realizada anualmente qual 
deveria ser a taxa? 
Temos duas possibilidades de solução para essa situação. 
1ª solução: calcular o FV dessa aplicação estipulando um prazo para aplicação conforme a unidade de tempo da 
taxa efetiva que desejamos, assim se desejamos a taxa anual o prazo deve ser de 1ano, 2anos ou ... anos. Depois 
calcular pela fórmula de taxa da capitalização composta a taxa para esse prazo conforme a unidade de tempo que 
desejamos a taxa efetiva, PV e FV calculado. Ou seja: 
Elementos do problema 
PV= R$ 850,00 
FV= ? 
n= 1ano 
Inominal= 8,7%a.a capitalizado mensalmente 
r= 
t= 
 
 
 Solução: 
t
r
i
PVFV 





 1
 
12
12
087,0
100,850 





FV
 
12
12
087,0
100,850 





FV
 
97,926
0905543,100,850


FV
FV 
 
Agora usando o FV encontrado determinar a 
taxa pela capitalização anual, ou seja uma taxa 
efetiva de capitalização anual 
5 
 
11
1







n
n
PV
FV
PV
FV
i
 
1
00,850
97,926
1 i
 
1
00,850
97,926
1 i
 
aai
i
i
%06,9
09055294,0
109055294,1





 
2ª solução: Usar a fórmula que generaliza esse processo onde temos que estipular um prazo para aplicação 
conforme a unidade de tempo da taxa efetiva que desejamos, assim se desejamos a taxa anual o prazo deve ser de 
1ano, 2anos ou ... anos. Ou seja: 
Elementos do problema 
PV= R$ 850,00 
FV= 
n= 1ano 
inominal= 8,7%a.a capitalizado mensalmente 
r= 
t= 
 
iefetiva= ______%a.a capitalizada anualmente ou 
simplesmente ______%a.a 
 Solução: 
11 






n
t
NOM
EF
r
i
i
 
1
12
087,0
1
1
12






EFi
 
 
 
aai
i
i
i
EF
EF
EF
EF
%06,9
0905543,0
100725,1
100725,01
12
12




 
 
 
EXEMPLO 7: Se no exemplo anterior desejamos determine a taxa efetiva mensal, se faz necessário estipular um 
prazo para aplicação conforme a unidade de tempo da taxa efetiva que desejamos, assim se desejamos a taxa 
mensal o prazo deve ser de 1mes, 2 meses ou ... meses. Ou seja: 
Elementos do problema 
PV= 
FV= 
n= 1 mes 
Inominal= 8,7%a.a capitalizado mensalmente 
r= 
t= 
 
 
iefetiva= ______%a.m capitalizada mensalmente ou 
simplesmente ______%a.m 
 Solução: 
11 






n
t
NOM
EF
r
i
i
 
1
12
087,0
1
1
1






EFi
 
 
 
ami
i
i
i
EF
EF
EF
EF
%73,0
00725,0
100725,1
100725,01
1




 
 
6 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 8: Qual a taxa efetiva mensal equivalente a taxa nominal de 70% a.s. capitalizada diariamente? 
 
É importante destacar que na conversão entre taxas efetivas e nominais, devemos estipular um prazo de 
tempo conforme a unidade de tempo que descreve a taxa efetiva. Assim, neste exemplo como a taxa efetiva é 
mensal, devemos pensar o prazo na unidade meses, por exemplo, 12 meses. 
 
Supondo que o prazo é de 12 meses teremos que: 
Elementos do problema 
 
n= 12 meses 
Inominal= 70%a.semestre capitalizado diariamente 
r=quantas capitalizações diárias ocorrem no 
semestre=180 dias 
t= quantas capitalizações diárias ocorrem em 12 
meses=360 dias 
 
 
iefetiva= ______%a.m capitalizada mensalmente ou 
simplesmente ______%a.m 
11 






n
t
NOM
EF
r
i
i
 
1
180
70,0
1
12
360






EFi
 
  1...0038888,01 30 EFi
 de 
  1...0038888,1 30 EFi
 
1...12349054,1 EFi
 
...12349054,0EFi
 
..%35,12 maiEF 
 
Para confirmar o resultado acima, suponha a aplicação de R$1.000,00 durante dois anos na taxa efetiva calculada 
e na taxa nominal. Os dois montantes devem ser iguais, verificando: 
 
Taxa efetiva de 12,35%a.m. 
Prazo de 2 anos= 24 meses 
Taxa nominal 70% a.s. capitalizada diariamente 
Prazo de 2 anos= 720 dias 
 niPVFV  1
 
 24...12349054,011000 FV
 
 2412349054,11000FV
 
...)3555882909,16(1000FV
 
59,355.16FV
 
t
r
i
PVFV 





 1
 
720
180
70,0
11000 





FV
 
 720....0038888,011000 FV
 
 720....0038888,11000FV
 
 ....35558829,161000FV
59,355.16FV
 
 
EXEMPLO 9: Qual a taxa nominal mensal capitalizada diariamente equivalente a taxa efetiva de 34%a.t.? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
 
EXEMPLO 10: Complete a tabela abaixo para determinar o montante/valor futuro da aplicação de $700,00 nas 
respectivas taxas nominais e prazos indicados na tabela. 
 
 
Taxa nominal Capitalização Prazo 
Taxa 
proporcional da 
capitalização 
Capitalizações 
no prazo 
Valor futuro 
3%a.s. 
capitalizado 
mensalmente 
 
5 anos 
 
12%a.a 
capitalizado 
mensalmente 
 
60 meses 
 
7%a.m. 
capitalizado ao 
dia 
 
5 anos 
 
15%a.a 
capitalizado 
semestralmente 
 
60 meses 
 
35%a.a 
capitalizado 
diariamente 
 
5 anos 
 
25%a.s 
capitalizado 
trimestralmente 
 
300 dias