Álgebra Linear Unidade 5 Sistemas de Equações Lineares

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Prof.: Marcelo Duarte 
 
 
Álgebra Linear 
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Unidade 5 – Sistemas de Equações 
• O que é uma equação? 
• O que é uma equação linear? 
• Para que servem? 
• O que representam? 
• Aplicações práticas? 
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Unidade 5 – Sistemas de Equações 
• Equação Linear: 
 
– a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b 
 
• x1, x2, ..., xn são variáveis; 
• a1, a2, ..., an são os respectivos coeficientes das variáveis; 
• b é o termo independente. 
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Unidade 5 – Sistemas de Equações 
• Sistema de Equações Lineares: 
 
– Conjunto de equações lineares: 
 
 
a11x1 + a12x2 + ... +a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2
⋮
am1x1 +am2x2+ ... +amnxn=bm
 
 
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• Solução de um Sistema de Equações Lineares: 
 
– Deve-se encontrar as raízes das equações lineares. 
• Valores das variáveis que transformam todas as equações lineares 
do sistema, simultaneamente, em identidade: 
 
 
x1 + 0 + ... + 0 = bx1
0 + x2 + ... + 0 = bx2
⋮
0 + 0 + ... +xn=bxm
 
 
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• Solução de um Sistema de Equações Lineares: 
 
– Observações: 
1) Sistemas equivalentes – admitem a mesma solução. 
 
– Exemplo: 
 
 
3x + 6y = 42
2x − 4y = 12
 e 
x + 2y = 14
x − 2y = 6
 
 
– Para ambos, x = 10 e y = 2 
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• Solução de um Sistema de Equações Lineares: 
 
– Observações: 
2) Um sistema de equações lineares se transforma em um sistema 
equivalente quando se efetuam as seguintes operações: 
a) Permutação de duas equações; 
b) Multiplicação de uma equação por um número real diferente de zero; 
c) Substituição de uma equação por sua soma com outra, previamente 
multiplicada por um número real diferente de zero. 
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Unidade 5 – Sistemas de Equações 
• Solução de um Sistema de Equações Lineares: 
 
– Observações: 
3) Quando em um sistema de equações os termos independentes 
são todos nulos, o sistema é chamado homogêneo: 
 
 
2x1 + 2x2 = 0
3x1 − 4x2 = 0
 
 
– Todo sistema linear homogêneo tem pelo menos uma solução, denominada 
“solução trivial”: 
• xi = 0, i = 1, 2, ..., n. 
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• Solução de um Sistema com n equações e n variáveis: 
 
1. Método de Gauss-Jordan: 
1) Coloca-se ao lado da matriz dos coeficientes das variáveis, 
separada por um traço vertical, a matriz coluna dos termos 
independentes: 
 
 
 
 
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• Solução de um Sistema com n equações e n variáveis: 
 
1. Método de Gauss-Jordan: 
2) Transforma-se, por meio de operações adequadas, a matriz dos 
coeficientes na matriz identidade, aplicando-se, 
simultaneamente, as mesmas operações, à coluna dos termos 
independentes. 
3) Após a transformação no item 2, a matriz dos termos 
independentes será a solução do sistema. 
 
 
 
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• Solução de um Sistema com n equações e n variáveis: 
 
2. Método da Matriz Inversa (Escalonamento): 
• Seja o sistema de n equações lineares com n variáveis: 
 
 
 
 
 
 
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• Solução de um Sistema com n equações e n variáveis: 
 
2. Método da Matriz Inversa (Escalonamento): 
• Fazendo: 
 
 
 
 
 
 
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• Solução de um Sistema com n equações e n variáveis: 
 
2. Método da Matriz Inversa (Escalonamento): 
• O sistema poderá ser escrito sob a forma matricial: A . X = B 
• Havendo a matriz inversa de A = A-1, e multiplicando ambos os 
termos da igualdade por A-1, tem-se: 
• A-1 . A . X = A-1 . B 
• I . X = A-1 . B 
• X = A-1 . B 
 
 
 
 
 
 
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• Solução de um Sistema com n equações e n variáveis: 
 
3. Regra de Cramer (mais simples): 
• Para o sistema: 
a1x +b1y= c1
a2x +b2y= c2
 
• Define-se a matriz incompleta do sistema, como sendo a matriz 
dos coeficientes de x e y: 
 
𝑎1 𝑏1
𝑎2 𝑏2
 
 
• c1 e c2 são os termos independentes do sistema. 
 
 
 
 
 
 
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• Solução de um Sistema com n equações e n variáveis: 
 
3. Regra de Cramer (mais simples): 
• O determinante da matriz incompleta será: D = 
𝑎1 𝑏1
𝑎2 𝑏2
 
• O determinante da matriz obtida com a troca dos coeficientes de x pelos 
termos independentes, na matriz incompleta, será: Dx = 
𝑐1 𝑏1
𝑐2 𝑏2
 
• O determinante da matriz obtida com a troca dos coeficientes de y pelos 
termos independentes, na matriz incompleta, será: Dy = 
𝑎1 𝑐1
𝑎2 𝑐2
 
• A solução é dada pelas razões: 
• 𝑥 = 
𝐷𝑥
𝐷
 𝑒 𝑦 = 
𝐷𝑦
𝐷
 
 
 
 
 
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• Solução de um Sistema com n equações e n variáveis: 
 
3. Regra de Cramer (mais simples): 
• A regra pode ser usada para qualquer sistema n x n, desde que D ≠ 0. 
• Assim: 𝑥1 = 
𝐷1
𝐷
; 𝑥2 =
𝐷2
𝐷
; 𝑥3 =
𝐷3
𝐷
; … ; 𝑥𝑛 =
𝐷𝑛
𝐷
 
• Exemplo: 
 
 
 
 
 
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• Solução de um Sistema com n equações e n variáveis: 
 
3. Regra de Cramer (mais simples): 
• Matriz incompleta: 
 
 
 
• Seu determinante será: 
 
 
 
 
 
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• Solução de um Sistema com n equações e n variáveis: 
 
3. Regra de Cramer (mais simples): 
• Dx1, Dx2 e Dx3 serão: 
 
 
 
 
 
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Unidade 5 – Sistemas de Equações 
• Solução de um Sistema com n equações e n variáveis: 
 
3. Regra de Cramer (mais simples): 
• x1, x2 e x3 serão: 
 
 
 
 
 
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• Lista de Exercícios: 
 
– Resolver exercícios 1 (todas as letras), 2b, 2d e 2e 
 
 
 
 
 
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 Bibliografia: 
 
• Básica: 
 
– BOLDRINI, J. L. et al. Álgebra Linear. 3ª ed. São Paulo: Harbra, 1993. 
– STEINBRUCH, Alfredo & WINTERLE, Paulo. Álgebra Linear. 2ª ed. São 
Paulo: Atlas, 2001. 
– LIPSCHUTZ, Seymor; LIPSON, Marc. Álgebra Linear – Coleção Schaum. 
4ª ed. São Paulo: Bookman, 2011. 
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 Bibliografia: 
 
• Complementar: 
 
– ANTON, Howard. Álgebra Linear com aplicações. 8ª ed. Ed. Bookman, 2001. 
– CALLIOLI, C.; DOMINGUES, H.; COSTA, R. Álgebra Linear e aplicações. Rio de Janeiro: 
Saraiva, 2007. 
– KOLMAN, Bernard; HILL, David R. Introdução à Álgebra Linear Com Aplicações. Editora 
LTC, 2006. 
– SHOKRANIAN, Salahoddin. Exercícios em álgebra linear. Ed. Ciência Moderna, 2009. 
– STRANG, Gilbert. Álgebra linear e suas aplicações. 4ª Ed. São Paulo: Cengage Learning, 
2010. 
 
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