Noçoes basicas de erros

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MOÇAMBIQUE
FACULDADE DE ENGENHARIAS
Disciplina: Métodos Numéricos
AULA TEÓRICA 1: NOÇÕES BÁSICAS SOBRE ERROS
INTRODUÇÃO A ERROS
A análise numérica trata do estudo da aproximação de problemas por cálculo aproximado, onde os erros associados a essa aproximação, se podem classificar:
Erros inerentes: São os erros contidos nos próprios dados. Ao resolvermos um problema, se os dados que possuímos estiverem afectados de erros, esses erros transmitem-se aos resultados finais.
Erros de Método: Outro tipo de erros, que derivam da utilização de determinado método que aproxima o problema.
Erros Computacionais: São os erros específicos resultantes da utilização de uma máquina finita. Ainda que os dados sejam correctos e que o método seja exacto, certas operações efectuadas pela máquina não podem ser executadas com exatidão, gerando-se este tipo de erros.
ERROS ABSOLUTOS, RELATIVOS E PERCENTUAIS
Erro absoluto ( )
Erro absoluto Ea é o módulo da diferença entre um valor exacto x de um número e seu valor aproximado .
Onde x é o valor exacto e é o valor aproximado.
Erro Relativo (Er)
Erro relativo Er é o modulo do quociente entre o erro absoluto Ea e o valor exacto x, ou o valor aproximado isto na pratica, se .
Erro percentual (Ep)
Erro percentual Ep é a representação percentual do erro relativo.
Exemplo 1. Determine os erros absolutos relativos e percentuais nos itens a) e b).
ERROS DE ARREDONDAMENTOS E TRUNCAMENTO
Erro de arredondamento
Arredondar um número na casa é desconsiderar as casas de tal forma que:
 seja a ultima casa se ;
 seja a ultima casa se .
Erro de truncamento
Truncar um número na casa é desconsiderar as casas 
Exemplo 2. Arredondar na quarta casa decimal, sendo que 
Exemplo 3. Aproximar truncando na quarta casa decimal, sendo que 
O erro de truncatura surge cada vez que se substitui um procedimento matemático infinito por um processo finito ou discreto.
Exemplo 4. Sabendo-se que pode ser escrito como , faca a aproximação de através de um truncamento apos quatro termos da somatória.
ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS E EXACTOS
1.3.1 Algarismos significativos
Define-se algarismos significativos de uma medida como todos os algarismos que temos certeza (os exactos) e mais um duvidoso (sempre o algarismo duvidoso é o último da direita).
Qualquer que seja o instrumento de medição, sua precisão está limitada na sua fabricação. No caso de uma escala, p. ex., na maioria das vezes a leitura do valor de uma grandeza é intermediária a dois traços consecutivos da escala.
Figura 1. Medida de um objecto com uma régua graduada em centímetro.
Na leitura do comprimento do objecto AB, podemos afirmar com certeza que ele possui 8cm exacto, mas a fracção de 1cm a mais dos 8cm não podemos afirmar com certeza qual é.
Esta fracção não se pode medir, mas pode ser avaliada ou estimada pelo experimentador dentro de seus limites de percepção.
Se três experimentadores fossem anotar o comprimento AB, todos os três anotariam os 8cm exactos mas poderiam avaliar a fracção do 1cm restante de formas diferentes, como: 0.7cm, 0.8cm, 0.6cm e nenhum dos três estaria errado.
Exemplo 5:
15.5cm temos 3 algarismos significativos (1 e 5 são exactos e o 5 é o duvidoso)
21.31m/s temos 4 algarismos significativos (2, 1 e 3 são exactos e 1 é duvidoso)m
1.6*10-19 temos 2 algarismos significativos.
É importante salientar que a quantidade de algarismos significativos de uma determinada medida não se altera a quando de uma transformação de unidades.
Exemplo: a medida do objecto AB é 8.7cm se converter esta unidade para o m ter-se-á 0.087m, em ambas as medidas do objecto tem-se 2 algarismos significativos. 
NB. Os dígitos ou algarismos de um número contam-se da esquerda para a direita, a partir do primeiro não nulo, e são significativos todos os exactos e somente o primeiro duvidoso.
1.3.2 Algarismos exactos
Diz-se que um dado valor aproximado x de um número x, tem m algarismos exactos se o erro absoluto desse número for inferior a , onde i é o número de dígitos da parte inteira.
Podemos a partir da fórmula do erro absoluto, deduzir a fórmula que relaciona o erro absoluto com o número de algarismos exactos:
1.4 Representação em vírgula flutuante
 1.4.1 Notação científica
Começamos por ver como representamos um qualquer número real. Um número real e uma classe de equivalência de sucessões de Cauchy de racionais. Como tal, pode admitir várias representações, mas normalmente tomamos como representante dessa classe uma sucessão de racionais que são múltiplos de uma potência de 10 (base decimal):
No caso da notação científica, um número representa-se através do sinal, da mantissa e do expoente, na base decimal. O primeiro dígito da mantissa deve ser diferente de zero (o zero é representado à parte) e os outros variam entre 0 e 9.
 1.4.2 Vírgula flutuante
A representação de números inteiros não oferece dificuldade e pode ser feita exactamente desde que a máquina de cálculo possa guardar todos os algarismos que compõem o número.
Para números reais a representação pode ser em vírgula fixa, por ex. 3.14159, 123.4567, 0.0014 Neste tipo de representação é predefinido o número de dígitos da parte inteira e da parte decimal da quantidade em causa. É óbvio que este tipo de representação pode não garantir a ordem de grandeza dos números. Por exemplo, o valor 10500.12 não pode ser representado em vírgula fixa, sem que ocorra uma deturpação da sua ordem de grandeza, numa máquina que só retenha 4 dígitos para a parte inteira.
Por esta razão a representação mais comum é a de vírgula flutuante, ou floating-point. A representação do número na forma de vírgula flutuante é:VF (10, n, t1,t2) e é o conjunto dos números
Onde:
 ..é uma fracção na base b, chamada de mantissa
n ……………..Número máximo de dígitos da mantissa
t …………….Expoente que varia em um intervalo dado pelos limites da máquina utilizada varia de t1 á t2. Os números assim representados estão limitados por:
Overflow: Acontece se o valor do expoente t for superior a t2.
Underflow: Acontece se o valor do expoente t for inferior a t1.
Exemplo 6: considere o sistema VF (10,4,-4,4) represente neste sistema os números abaixo e se necessário use o truncamento:
432124
-0.0013523
125.64
0.00034 
1.4.3 Aritmética do ponto flutuante
Para um dado sistema de representação nu mérica, temos agora que definir as operações aritméticas elementares neste sistema. Qualquer que seja a definição final, estas operações têm que ser compatíveis com as operações aritméticas conhecidas, em particular, para números que são exactamente representáveis no nosso sistema, estas têm que coincidir com as operações aritméticas clássicas. 
O problema é que, por exemplo, dados dois números pode acontecer que
. E esta afirmação é válida para as outras operações aritméticas.
A solução deste problema envolve uma aproximação (normalmente, a mesma aproximação que é feita para a representação), logo, introduz mais erros, que têm de ser contabilizados para termos uma ideia de quão fiáveis são estas operações.
	
Ou seja, dados dois números pertencentes ao sistema, primeiro calculamos o resultado da operação aritmética com os algoritmos habituais. Em geral, o resultado não esta normalizado, nem vai pertencer ao sistema, por isso, normalizamos e voltamos a aplicar o processo de aproximação.
Exemplo 7: calcular, em VF (10,4,2,T), , para x=1.256879 e y=0.985441
1.5 Propagação de erros de arredondamento
A questão é saber como se propagam os erros existentes nos números que fazem parte de um cálculo aritmético. Interessa saber se esses erros vão ser ampliados ou reduzidos, e quais as operações do cálculo que maior influência têm na amplificação dos erros. 
A fórmula fundamental do cálculo da propagação de erros pode ser obtida do teorema do valor médio, ou do teorema de Taylor. Se f é uma função com várias variáveis x1; x2; x3; …; xn então o máximo erro possível em f será dada pela expressãoabaixo:
Exemplo 8. Calcular a precisão com que é medida a área dum círculo dado valores abaixos:
 
1.5.1 Aplicação da fórmula de propagação de erros às operações elementares
Soma
Subtraçãoç
Multiplicação
Divisão