09 Multiplicadores de Lagrange

Prévia do material em texto

Cálculo II
Multiplicadores de Lagrange.
Idéia Geométrica
Determinar os valores extremos 
 
 
sujeita à restrição da forma
( , )f x y
( , )g x y k=
0 0 0 0( , ) ( , )
para algum escalar 
f x y g x yl
l
Ñ = Ñ
Método dos Multiplicadores de 
Lagrange
Para determinar os valores máximos e 
mínimos de sujeita a 
[supondo que esses valores extremos 
existam, sobre a superfície 
 ]: 
 (a) determine todos os valores de 
( , , )f x y z ( , , )g x y z k=
0gÑ ¹
( , , )g x y z k=
, , e tal quex y z l
( , , ) ( , , )
( , , )
f x y z g x y z
g x y z k
lÑ = Ñì
í =î
(b) Calcule em todos os pontos 
que resultaram no passo (a). O maior valor 
desses valores será o valor máximo e o 
menor será o valor mínimo.
Uma caixa retangular sem tampa é feita de 
 
 papelão. Determine o volume 
máximo dessa caixa. 
f ( , , )x y z
Exemplo 1
212m
Exemplo 2
Determine os valores extremos de 
 no círculo2 2( , ) 2f x y x y= + 2 2 1.x y+ =
Exemplo 3
Determine os valores extremos de 
 no disco2 2( , ) 2f x y x y= + 2 2 1.x y+ £
Exemplo 4
Determine os pontos da esfera
 que estão mais próximos 
e mais distantes do ponto 
 
2 2 2 4x y z+ + =
(3,1, 1).-
Duas Restrições
( , , ) ( , , ) ( , , )f x y z g x y z h x y zl mÑ = Ñ + Ñ
Exemplo 5
Determine o valor máximo da função
 na curva de 
interseção do plano com o 
cilindro 
 
( , , ) 2 3f x y z x y z= + +
1x y z- + =
2 2 1.x y+ =
	Slide 1
	Slide 2
	Slide 3
	Slide 4
	Slide 5
	Slide 6
	Slide 7
	Slide 8
	Slide 9
	Slide 10