Capítulo_1_-_O_Ponto_no_Plano

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Capítulo 1 O Ponto no Plano 
Geometria Analítica 
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CAPÍTULO 1 
O Ponto no Plano 
 
 
 
1.1 Introdução 
 
A geometria cartesiana descoberta por Pierre de Fermat e René Descartes, por volta de 
1636, foi de grande importância na Matemática, permitindo estudar problemas da Geometria 
Clássica por meio de métodos algébricos e reciprocamente, interpretar e resolver geometricamente 
problemas algébricos. 
 
1.2 Coordenadas Cartesianas 
 
Consideremos dois eixos 𝑥 e 𝑦 perpendiculares em 𝑂, os quais determinam o plano 𝛼. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exemplo1. Construa e represente os pontos 𝐴(2,0), 𝐵(−2,−3), 𝐶(1,−4), 𝐷(0,−3), 
𝐸(−1,0), 𝐹(1,5; 0), 𝐺(0,0), 𝐻(3,2), 𝐼(−5/2,9/2), no plano cartesiano, lembrando que, no par 
ordenado, o primeiro número representa a abscissa e o segundo a ordenada do ponto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo2. Determine as coordenadas dos pontos indicados no plano cartesiano escrevendo assim 
os pares ordenados. 
 
 
 
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1.3 Posições de um Ponto em Relação ao Plano Cartesiano 
 
Os eixos 𝑥 e 𝑦 dividem o plano cartesiano em quatro regiões angulares chamadas 
quadrantes, que recebem os nomes indicados na figura a seguir. 
 
Um ponto 𝑃 pertencente ao plano 𝑥𝑦 em como consequência imediata as seguintes conclusões. 
 𝑃 ∈ 1° quadrante ⟺ 
 𝑃 ∈ 2° quadrante ⟺ 
 𝑃 ∈ 3° quadrante ⟺ 
 𝑃 ∈ 4° quadrante ⟺ 
 𝑃 ∈ x (eixo das abscissas) ⟺ 
 𝑃 ∈ y (eixo das ordenadas) ⟺ 
 𝑃 ∈ 𝑟 (bissetriz dos quadrantes ímpares) ⟺ 
 𝑃 ∈ 𝑠 (bissetriz dos quadrantes pares) ⟺ 
 
Exemplo 3. Dados os pontos 𝐴(2,50), 𝐵(−20,−20), 𝐶(174,−714), 𝐷(0,455), 𝐸(−1,0), 
𝐹(0; 432), 𝐺(0,0), 𝐻(−0,5; 2), 𝐼(𝜋, −𝜋) e 𝐽(5,5) no plano cartesiano. Indique quais são 
pertencentes: 
(a) Ao primeiro quadrante 
(b) Ao segundo quadrante 
(c) Ao terceiro quadrante 
(d) Ao quarto quadrante 
(e) Ao eixo das abscissas 
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(f) Ao eixo das ordenadas 
(g) À bissetriz dos quadrantes ímpares 
(h) À bissetriz dos quadrantes pares 
 
1.4 Distância entre Dois Pontos 
 
Se os pontos 𝑃(𝑥, 𝑦) e 𝑅(𝑥′, 𝑦) tem a mesma ordenada 𝑦 então a distâncias 𝑑(𝑃, 𝑅) 
entre eles é igual à distância 
|𝑥′ − 𝑥| = √(𝑥 − 𝑥′)2 
entre suas projeções sobre o eixo das abscissas. 
 
 
 
 
 
 
 Analogamente, se 𝑃(𝑥, 𝑦) e 𝑆(𝑥, 𝑦′) têm a mesma abscissa 𝑥 então a distâncias 
𝑑(𝑃, 𝑆) entre eles é igual à distância 
|𝑥′ − 𝑥| = √(𝑥 − 𝑥′)2 
entre suas projeções sobre o eixo das ordenadas. 
 
 
 
 
 
 
 Se, entretanto, 𝑃(𝑥, 𝑦) e 𝑄(𝑢, 𝑣) têm abscissas e ordenadas diferentes então, 
considerando o ponto 𝑆(𝑢, 𝑦), vemos que 𝑃𝑆𝑄 é um triângulo retângulo cuja hipotenusa é 𝑃𝑄. 
Como 𝑃 e 𝑆 têm a mesma ordenada, quanto 𝑆 e 𝑄 têm a mesma abscissa, segue-se que 
𝑑(𝑃, 𝑆) = |𝑥 − 𝑢| e 𝑑(𝑆, 𝑄) = |𝑦 − 𝑣| 
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Pelo Teorema de Pitágoras, podemos escrever 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A fórmula da distância entre dois pontos, dada em termos das coordenadas desses pontos, 
serve de partida para um grande número de resultados da Geometria Analítica, vejamos alguns 
exemplos. 
 
 Exemplo 4. Calcule a distância entre os pontos 𝐴(−2,5) e 𝐵(4,−3). 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 5. Calcule a distância do ponto 𝑃(3,−4) à origem do sistema cartesiano. 
 
 
 
 
 
 
 
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Exemplo 6. Sendo 𝐴(3,1), 𝐵(4,−4) e 𝐶(−2,2) vértices de um triângulo, classifique-o quanto 
aos seus lados em: 
 Triângulo equilátero: possui os três lados com medidas iguais; 
 Triângulo isósceles: possui dois lados com medidas iguais; 
 Triângulo escaleno: possui os três lados com medidas diferentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.5 Razão entre Segmentos Colineares 
 
Dados três pontos colineares 𝐴, 𝐵 e 𝐶 (com 𝐴 ≠ 𝐵 ≠ 𝐶), chama-se razão entre os 
segmentos orientados 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ e 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ o número real 𝑟 tal que: 
𝑟 =
𝐴𝐵̅̅ ̅̅
𝐵𝐶̅̅ ̅̅
 
Sendo 𝑟 o quociente entre as medidas algébricas de 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ e 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗, temos: 
 Se 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ e 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ têm o mesmo sentido, então a razão 𝑟 é positiva; 
 Se 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ e 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ têm sentidos opostos, então a razão 𝑟 é negativa. 
 
Tomes 𝐴(𝑥𝐴, 𝑦𝐴), 𝐵(𝑥𝐵, 𝑦𝐵) e 𝐶(𝑥𝐶 , 𝑦𝐶) referidos ao plano cartesiano. 
 
 
 
 
 
 
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 O feixe de paralelas 𝐴1𝐴, 𝐶1𝐶 e 𝐵1𝐵, determina, sobre as retas 𝐴𝐵 e 𝑂𝑥, segmentos 
proporcionais, então 
(1) 𝑟 =
𝐴𝐵̅̅ ̅̅
𝐵𝐶̅̅ ̅̅
 
De modo análogo 
(2) 𝑟 =
𝐴𝐵̅̅ ̅̅
𝐵𝐶̅̅ ̅̅
 
 
Como (1) é igual a (2) temos 
𝑟 =
𝐴𝐵̅̅ ̅̅
𝐵𝐶̅̅ ̅̅
 
 
1.6 Coordenadas do Ponto Divisor 
 
Calculemos as coordenadas do ponto divisor 𝐵(𝑥𝐵, 𝑦𝐵). 
 
 
 
 
 
 
 
1.7 Ponto Médio 
 
As coordenadas do ponto médio de um segmento são as médias aritméticas das 
respectivas coordenadas dos extremos. Dado o segmento orientado 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗, se 𝐵 for seu ponto médio. 
 
 
 
 
 
 
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Exemplo7. Dados os pontos 𝐴(3,7), 𝐵(5,11) e 𝐶(6,13), calcular a razão entre os segmentos 
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ e 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗, calcule pelas projeções no eixo 𝑂𝑥 e 𝑂𝑦. 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 8. Obter as coordenadas do ponto 𝐶 da reta 𝐴𝐵⃡⃗⃗⃗ ⃗, sabendo que 𝐴 = (1,5), 𝐵 = (4,17) 
e 𝑟 =
𝐴𝐶̅̅ ̅̅
𝐶𝐵̅̅ ̅̅
= 2. 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 9. Calcule o ponto médio do segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ quando 𝐴 = (7,−1) e 𝐵 = (−3,11). 
 
 
 
 
 
 
1.8 Atividades 
Exercício 1. Calcule a distância entre os pontos 𝐴(1,3) e 𝐵(−2,1). 
 
Exercício 2. Calcule a distância do ponto 𝑃(5,−12) à origem do sistema cartesiano. 
 
Exercício 3. Calcule o perímetro do triângulo 𝐴𝐵𝐶, sendo dados 𝐴(3,1), 𝐵(−1,1) e 𝐶(−1,4). 
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Exercício 4. Prove que o triângulo cujos vértices são 𝐴(2,2), 𝐵(−4,−6) e 𝐶(4,−12) é 
retângulo. 
 
Exercício 5. Determine 𝑥 de modo que o triângulo 𝐴𝐵𝐶 seja retângulo em 𝐵. São dados: 
𝐴(−2,5), 𝐵(2,−1) e 𝐶(3, 𝑥). 
 
Exercício 6. Calcule o ponto médio do segmento de reta 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ quando 𝐴 = (1,3) e 𝐵 = (−2,1). 
 
Exercício 7. Calcule a razão 
𝐴𝐶̅̅ ̅̅
𝐶𝐵̅̅ ̅̅
, sendo dados os pontos 𝐴(1,4), 𝐵(0,5; 3) e 𝐶(−2,−2). 
 
Exercício 8. Dados 𝐴(5,3) e 𝐵(−1,−3), seja 𝐶 a interseção da reta 𝐴𝐵 com o eixo das 
abscissas. Calcule a razão 
𝐴𝐶̅̅ ̅̅
𝐶𝐵̅̅ ̅̅
. 
 
Exercício 9. Determine as coordenadas dos pontos que dividem o segmento 𝐴𝐵 em três partes 
iguais, sabendo que 𝐴 = (−1,7) e 𝐵 = (11, −8). 
 
Exercício 10. Calcule o comprimento da mediana 𝐴𝑀 do triângulo 𝐴𝐵𝐶 cujos vértices são os 
pontos 𝐴(0,0), 𝐵(3,7) e 𝐶(5,−1).