p2_calc1_2011-2_T06

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UFRRJ - ICE - DEMAT
Nome: Matr´ıcula:
Disciplina: IC241 - Ca´lculo I Turma: T06
Prof.a: Aline Data: 07/11/2011
2a Prova de Ca´lculo I
1a Questa˜o: Calcule os limites abaixo, justificando suas respostas. (1,0 pt cada item)
Obs: Nessa questa˜o, na˜o sera˜o aceitos ca´lculos usando a Regra de L’Hoˆspital.
(a) lim
x→+∞
√
x2 + x + 1−
√
x2 − 1
(b) lim
x→3
tg (x− 3)
x2 − 9
(c) lim
x→pi
f(x), onde f : R → R e´ uma func¸a˜o tal que |f(x)− 4| ≤ sen 2x para todo x ∈ R.
2a Questa˜o: Fac¸a o que se pede nos itens abaixo. (1,0 pt cada item)
(a) Dada a func¸a˜o f(x) =
3
√
x + e tg x
ln x + cos x
, calcule f ′(x).
(b) Dada a equac¸a˜o sen (xy) = x2 − y, encontre dy
dx
derivando implicitamente.
3a Questa˜o: Determine os valores de A e B que tornem a func¸a˜o abaixo cont´ınua em
x = 1, justificando sua resposta. (2,0 pt)
f(x) =


6x−B , se x < 1,
B , se x = 1,
(x− A)2 + B , se x > 1.
4a Questa˜o: Usando o Teorema do Valor Intermedia´rio, mostre que a func¸a˜o
f(x) = x2 − 5x tem pelo menos uma raiz real entre −1 e 0. (1,0 pt)
5a Questa˜o: A areia cai de uma esteira transportadora a uma taxa de 10 m3/min,
formando um monte no formato de um cone. A altura do monte de areia sempre tem
3
8
do diaˆmetro da base.
A que taxa crescera´ a altura do monte quando ele tiver 4 m de altura? Responda em
m/min. (2,0 pt)
Lembrete: Volume de um cone de base circular: V =
1
3
pir2h.
Questa˜o Extra: Usando a definic¸a˜o precisa de limite, prove que lim
x→6
(
1
4
x + 3
)
=
9
2
.
(1,0 pt)
Boa Prova!