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Gabarito da Primeira Prova de Ca´lculo I - 2014
Unifesp- 1o semestre - 24/05/2014
[01] Se f(x) = x2 − 2x + 3, calcule f(a+h)−f(a)h
Resposta: 2a + h− 2.
[02] Quando uma pessoa tosse, o raio da traque´ia diminui,
afetando a velocidade do ar. Se r0 = 1 e´ o raio normal da
traque´ia, a relac¸a˜o entre a velocidade v do ar e o raio r da
traque´ia e´ dada por uma func¸a˜o da forma: v(r) = 2r2(r0−r).
O raio para o qual a velocidade do ar e´ ma´xima e´:
Resposta: 23
[03] Encontre o limite, se ele existir, de
lim
x→5
5− x
|5− x|
Resposta: O limite na˜o existe.
[04] Encontre o limite abaixo:
lim
x→−∞
√
x2 − 9
2x− 6
Resposta: − 12
[05] Considere func¸a˜o f(x) = 43−x . A equac¸a˜o da reta
ass´ıntota vertical e´:
Resposta: x = 3
[06] Calcule y′ se y e´ dada implicitamente por:
xy4 + x2y = x + 3y.
Resposta: y′ = 1−y
4−2xy
4xy3+x2−3
[07] Se f(t) =
√
4t + 1 podemos dizer que f ′′(2) e´
Resposta: − 427
[08] Ache a derivada da func¸a˜o
G(u) = ln
(√
5u + 6
5u− 6
)
Resposta: G′(u) = − 3025u2−36
[09] Encontre o valor ma´ximo absoluto de y =
√
36− x2 no
intervalo de [−6, 6].
Resposta: 6
[10] Quantos pontos de inflexa˜o tem o gra´fico da func¸a˜o
f(x) = 12x3 + 14x2 − 7x− 9
Resposta: 1
Questa˜o 11 Calcule a derivada das func¸o˜es abaixo
(a) (1,0 ponto) y =
e
1
x
x2
(b) (1,0 ponto) y =
√
xcos
√
x
Soluc¸a˜o:
(a)
y′ =
(
d
dxe
1
x
)
x2 − e 1x · 2x
(x2)2
=
e
1
x
d
dx
1
x · x2 − 2xe
1
x
x4
=
e
1
x
(− 1x2 ) · x2 − 2xe 1x
x4
=
−e 1x (1 + 2x)
x4
(b)
y′ =
(
d
dx
√
x
)
cos
√
x +
√
x
(
d
dx
cos
√
x
)
=
1
2
√
x
cos(
√
x) +
√
x
(
−sen(√x) d
dx
√
x
)
=
cos(
√
x)−√xsen(√x)
2
√
x
.
Questa˜o 12 (3,0 pontos) Para a func¸a˜o f(x) = x3 − x2 − x + 1:
(a) Determine ass´ıntotas verticais e horizontais, se existirem.
(b) Determine a primeira derivada, os intervalos em que f(x) e´ crescente ou decrescente, e os ma´ximos e mı´nimos
locais.
(c) Determine a segunda derivada, os pontos de inflexa˜o e os intervalos em que f(x) tem concavidade para cima ou
para baixo.
(d) Fac¸a o esboc¸o do gra´fico de f(x).
Soluc¸a˜o:
1
(a) Na˜o existem ass´ıntotas horizontais, nem verticais. O que podemos determinar sa˜o os limites nos extremos:
lim
n→∞x
3 − x2 − x + 1 = lim
n→∞x
3
1−
�
�
��
0
1
x
−
�
�
��
0
1
x2
+
�
�
��
0
1
x3
 = lim
n→∞x
3 = +∞
lim
n→−∞x
3 − x2 − x + 1 = lim
n→−∞x
3
1−
�
�
��
0
1
x
−
�
�
��
0
1
x2
+
�
�
��
0
1
x3
 = lim
n→−∞x
3 = −∞
(b) A primeira derivada e´ dada por
f ′(x) = 3x2 − 2x− 1
onde os pontos cr´ıticos sa˜o tais que
3x2 − 2x− 1 = 0⇒ x = 2±
√
4 + 12
6
⇒ x = 1 ou x = −1
3
.
A ana´lise do sinal da derivada nos permite dizer que os valores em que a func¸a˜o e´ crescente e´ x ∈ (−∞,− 13 )∪(1,+∞)
e decrescente em x ∈ (− 13 , 1).
O diagrama tambe´m nos permite dizer que em x = − 13 temos um ma´ximo local e em x = 1 um mı´nimo local,
portanto a func¸a˜o tem seu valor mı´nimo f(1) = 0 e seu valor ma´ximo em f(− 13 ) = − 127− 19 + 13 +1 = −1−3+9+2727 =
32
27 . Esse fato tambe´m e´ confirmado pelo teste da derivada segunda, pois
f ′′(x) = 6x− 2
Portanto
f ′′(−1
3
) < 0
f ′′(1) > 0.
(c) Determine a segunda derivada, os pontos de inflexa˜o e os intervalos em que f(x) tem concavidade para cima ou
para baixo. A derivada segunda e´ dada por
f ′′(x) = 6x− 2
e o ponto onde a derivada segunda e´ nula nos da´ o ponto de inflexa˜o, no caso x = 13 ( a func¸a˜o nos da´ f
(
1
3
)
=
1
33 − 132 − 13 + 1 = 1−3−9+2727 = 1627 ). A ana´lise da concavidade vem do sinal desta derivada segunda:
Logo ela tem concavidade para baixo em x < 13 e para cima em x >
1
3 .
(d) O esboc¸o do gra´fico e´ dado abaixo
2