Aula 4 Transformada de Laplace

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EQU 104 – Instrumentação e Controle de Processos
Aula 4 – Transformada de Laplace
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Profª. Fernanda Raquel Carvalho
fernanda.enq@gmail.com
EQU 104 - Instrumentação e Controle de Processos
Aula 4
Transformada de Laplace
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TRANSFORMADA DE LAPLACE
 Importante método analítico para resolução de Equações Diferenciais Ordinárias
(EDO) lineares.
Aplicação para EDO não lineares? Deve linearizar primeiramente.
 Permite analisar sistemas de controle linear.
 Predição de resposta transiente para diferentes entradas.
Utilização:
➢ Desenvolvimento de modelos de entrada-saída que são muito úteis para propósitos de
controle.
➢ Análise qualitativa de como os processos químicos reagem às várias influências
externas.
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3.1 DEFINIÇÃO
 A Transformada de Laplace de uma função, f(t), é definida como:
Onde F(s) é o símbolo da Transformada de Laplace, s é a variável independente complexa,
a é o operador da Transformada, e f(t) é alguma função do tempo, t.
 A função, f(t), deve ser contínua em 0 < t < ∞.
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3.1 DEFINIÇÃO
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3.1 DEFINIÇÃO
 A transformada de Laplace é uma operação linear (Princípio da Superposição):
 PROPRIEDADES
➢ Soma de duas funções:
➢ Multiplicação por constante:
➢ A Transformada de Laplace da soma de funções é a soma das Transformadas
individuais e, em adição, multiplicação por constate pode ser retirada do operador.
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3.2 TRANSFORMADA DE LAPLACE DE ALGUMAS FUNÇÕES
BÁSICAS
 FUNÇÃO CONSTANTE (PASSO)
➢ Para f(t) = a (constante).
 FUNÇÃO EXPONENCIAL
➢ Para f(t) = e-bt.
 
s
a
s
a
e
s
a
tdeaaL stst 







 0)( 0
0
    
bs
e
bs
tdetdeeeL tbstsbstbtbt










11
)( 0
00
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3.2 TRANSFORMADA DE LAPLACE DE ALGUMAS FUNÇÕES
BÁSICAS
 FUNÇÃO PASSO UNITÁRIO
➢ Para:
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3.2 TRANSFORMADA DE LAPLACE DE ALGUMAS FUNÇÕES
BÁSICAS
 FUNÇÃO RAMPA 
➢ Para f(t) = Kt.
   
 
  







































2
0
2
000
0
0
0
0
1
00
1
s
Ke
s
K
dte
s
K
e
s
Kt
dtetK
udvvuvdu
e
s
vtdud
tdevdtu
dtetKtKL
t
t
stst
t
t
stst
st
st
st
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3.2 TRANSFORMADA DE LAPLACE DE ALGUMAS FUNÇÕES
BÁSICAS
 FUNÇÃO PULSO 
➢ Para:
A Transformada de Laplace para esta função é:
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3.2 TRANSFORMADA DE LAPLACE DE ALGUMAS FUNÇÕES
BÁSICAS
 FUNÇÃO IMPULSO
➢ Considere que a duração de uma função pulso possa diminuir, tendendo à zero,
enquanto a altura tende à infinito. Esta função é chamada de função impulso, ou função
de Dirac, e é representada por δ(t).
➢ Ela é definida como sendo igual a zero em
qualquer tempo, exceto para t = 0.
A transformada de Laplace desta função é:
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3.2 TRANSFORMADA DE LAPLACE DE ALGUMAS FUNÇÕES
BÁSICAS
 FUNÇÃO DIFERENCIAL
➢ Derivada primeira de uma função:
➢ Derivada segunda de uma função:
➢ Integral de uma função entre instantes 0 e t: 
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EXERCÍCIO 1
 Observe a representação gráfica:
Assinale a opção que descreve a transformada da função mostrada.
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3.2 TRANSFORMADA DE LAPLACE DE ALGUMAS FUNÇÕES
BÁSICAS
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3.2 TRANSFORMADA DE LAPLACE DE ALGUMAS FUNÇÕES
BÁSICAS
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3.2 TRANSFORMADA DE LAPLACE DE ALGUMAS FUNÇÕES
BÁSICAS
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3.3 SOLUÇÃO DE EDO POR TRANSFORMADA DE LAPLACE
 PROCEDIMENTOS:
1. Aplique a TL em ambos os lados da EDO.
2. Rearranje algebricamente as equações no domínio 
de s e resolva para a variável de saída.
3. Fatore a resposta por frações parciais.
4. Aplique a Transformada inversa de Laplace e 
obtenha a resposta no domínio do tempo.
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3.4 TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE
➢ O processo matemático de se passar da expressão com variáveis complexas para
expressão no tempo é chamado transformada inversa. A notação da transformada
inversa é:
➢ Se uma transformada F(s) não puder encontrada na tabela, então deve-se expandir em
frações parciais e escrever F(s) em termos de funções simples de "s" nas quais as
transformadas são conhecidas.
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EXERCÍCIO 2
 Resolva a equação diferencial utilizando a Tranformada de Laplace.
Resp.: 
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3.4 TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE
 EXPANSÃO POR FRAÇÕES PARCIAIS
➢ Rearranje F(s) em uma série de funções simples.
➢ Tome a transformada inversa de cada uma das funções simples.
)()(2)(1)( sNsss FFFF  
     )(1)(21)(11)( sNsst FLFLFLf   
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3.4 TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE
 EXPANSÃO POR FRAÇÕES PARCIAIS
➢ Fatores lineares no denominador:
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EXERCÍCIO 3
 Resolva a equação diferencial utilizando a Tranformada de Laplace.
3 2
3 2
6 11 6 4
0 0 0 0
d y d y dy
y
dt dt dt
y( )= y ( )= y ( )=
   
 
➢ RESOLUÇÃO:
Aplique a TL de ambos os lados e substitua as condições iniciais:
Rearranje:
3 2 46 11 6 ( )s Y(s)+ s Y(s)+ sY(s) Y s =
s

3 2
4
( 6 11 6)
Y(s)=
s s s s  
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EXERCÍCIO 3
Fatore o denominador de Y(s):
Faça a decomposição em frações parciais:
Cálculo das constantes:
Multiplique ambos os lados por s e faça s = 0
))(s+)(s+)=s(s+s++s+s(s 3216116 23
31 2 44
1 2 3 1 2 3
αα α α
s(s+ )(s+ )(s+ ) s s s s
   
  
=
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EXERCÍCIO 3
Para α2, multiplique ambos os lados por (s+1) e faça s= -1 (repita o mesmo procedimento
para α3, e α4)
2 3 4
2
2 2
3
α , α , α    
2 2 2 2 / 3
( + )
3 1 2 3
Y(s)=
s s s s
 
  
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EXERCÍCIO 3
Aplique a Transformada Inversa de Laplace:
➢ Este método pode ser usado para EDO de qualquer ordem, tendo que necessariamente
fatoraro denominador do polinômio (equação característica)
➢ Para raízes repetidas ou imaginárias, deve-se usar um procedimento modificado.
2 32 22 2
3 3
2
 0 (0) 0.
3
t t ty(t)= e e e
t y(t) t y
    
   
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3.4 TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE
 EXPANSÃO POR FRAÇÕES PARCIAIS
➢ Fatores lineares repetidos no denominador:
+ + + + +
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3.5 PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA DE LAPLACE
 Outra utilidade da transformada de Laplace é a análise do denominador da
transformada para determinar o comportamento dinâmico do sistema em estudo. Por
exemplo, . O denominador pode ser fatorado em (s+2)(s+1).
 Usando a técnica de frações parciais
A resposta passo do processo terá os termos exponenciais e-2t e e-t, os quais indicam que
y(t) irá se aproximar de zero.
 Entretanto, se
O sistema será instável e terá uma resposta transiente envolvendo os termos e2t e e-t. O
termo e2t é não limitado para valores altos de tempo.
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1
2  ss
Y(s)=
12
21


 s
α
s
α
Y(s)=
))(s(sss
Y(s)=
21
1
2
1
2 


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3.5 PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA DE LAPLACE
 TEOREMA DO VALOR FINAL
Teorema: Se uma transformada de Laplace é multiplicada por s, o valor do produto
fazendo s tender a zero é o valor da transformada inversa com t tendendo a infinito.
 TEOREMA DO VALOR INICIAL
Teorema: Se uma transformada de Laplace é multiplicada por s, o valor do produto
fazendo s tender a infinito é o valor da transformada inversa com t tendendo a zero.
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EXERCÍCIO 4
 Aplique os Teoremas do valor final e do valor inicial na seguinte equação:
𝑌 𝑠 =
5𝑠 + 2
𝑠(5𝑠 + 4)
(Resp.: y(0) = 1; y(∞) = 0,5)
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3.5 PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA DE LAPLACE
 TEMPO MORTO
➢ Funções que apresentam tempo morto representam um
caso importante em modelagem e controle de processos.
➢ Estas funções são encontradas em problemas de controle
por causa do tempo necessário para que um fluido
percorra uma tubulação ou um equipamento.
Na figura é mostrado o comportamento da função f(t) (sem
tempo morto) e de fd(t) (com tempo morto).
A função passo unitário S(t – t0) é incluída para explicitar que 
fd(t) = 0 para valores de t < t0.
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3.5 PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA DE LAPLACE
 TEMPO MORTO
➢ Transformada Inversa de Funções com Tempo Morto:
1 – Inverter F(s) da maneira usual, ou seja, aplicar a expansão em frações parciais e obter
f(t).
2 – Obter y(t) = f(t – t0)S(t –t0) pela substituição do argumento t por (t – t0), e
multiplicando toda a função pela função passo unitário.
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EXERCÍCIO 5
 Encontrar a transformada inversa de
Resposta:
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BIBLIOGRAFIA
 SEBORG, D. E; EDGAR, T. F., MELLICHAMP, D. A. Process dynamics and 
control. 2.ed. John Wiley & Sons, Inc., 2004 - Capítulo 3