semana_07f

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Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Ca´lculo 1
Lista de Fixac¸a˜o – Semana 6
Temas abordados : Regra da cadeia; Derivac¸a˜o Impl´ıcita; Derivada de func¸o˜es inversas
Sec¸o˜es do livro: 3.6, 3.7, 3.8 e 3.9
1) Calcule a derivada de cada uma das func¸o˜es abaixo.
(a) f(x) = cos(x+ x2)
(c) f(x) = sen((x+ 1)2(x+ 2)) (d) f(x) = (3x3 + 4x2 − 4)3/4
(e) f(x) = arcsen(2x) (f) f(x) =
√
x+
√
2x
(h) f(x) =
x3 − 3x2
(x4 + 1)5/2
(i) f(x) = arctan(3x2 + 1)
(l) f(x) = arccos
(
1
x2 + 1
)
2) Suponha que f e´ deriva´vel e g(x) = f 2(cosx). Sabendo que f(0) = 1 e f ′(0) = −1/2,
calcule g′(pi/2).
3) Seja g uma func¸a˜o deriva´vel e f(x) = (cos x)g2
(
tan
x
x2 + 2
)
. Sabendo que g(0) = 1/2
e g′(0) = 1, calcule f ′(0).
4) Seja x = f(y) definida implicitamente pela equac¸a˜o x2 − x√xy + 2y2 = 10 para x > 0 e
y > 0.
(a) Encontre uma expressa˜o m(x, y) para o coeficiente angular da reta normal ao
gra´fico de f(y), para os pontos onde x3/2 − 8y3/2 6= 0.
(b) Sabendo-se que o ponto (4, 1) pertece ao gra´fico da curva acima,
calcule lim
x→4±
m(x, 1).
(c) Interprete geometricamente o resultado do item (b).
5) Considere y = f(x) definida implicitamente por x4−xy+ y4 = 1. Calcule f ′(0), sabendo
que f e´ uma func¸a˜o positiva.
Lista de Fixac¸a˜o da Semana 6 - Pa´gina 1 de 2
6) Considere a curva cuja equac¸a˜o e´ (2− x)y2 = x3.
(a) Obtenha a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico da curva em (1, 1).
(b) Obtenha as equac¸o˜es das retas tangentes ao gra´fico da curva nos pontos em que
x = 3/2.
RESPOSTAS
1) (a) f ′(x) = −(1 + 2x) sen(x+ x2)
(b) f ′(x) = [(x+ 1)2 + 2(x+ 1)(x+ 2)] cos((x+ 1)2(x+ 2))
(c) f ′(x) =
3
4
(3x3 + 4x2 − 4)−1/4(9x2 + 8x)
(d) f ′(x) =
2√
1− 4x2
(e) f ′(x) =
(
1 +
1√
2x
)
1
2
√
x+
√
2x
(f) f ′(x) =
(x4 + 1)5/2(3x2 − 6x)− (x3 − 3x2)(5/2)(x4 + 1)3/2(4x3)
(x4 + 1)5
(g) f ′(x) =
6x
9x4 + 6x2 + 2
(h) f ′(x) =
2x
(x2 + 1)2
√
1− (x2 + 1)−2
2) 1
3) 1/2
4) (a) m(x, y) =
3x1/2y − 4xy1/2
x3/2 − 8y3/2 (b) ±∞
5) 1/4
6) (a) y = 2x− 1 (b) y = 3√3x− 3√3 e y = −3√3x+ 3√3
Lista de Fixac¸a˜o da Semana 6 - Pa´gina 2 de 2