EDO's por série

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Definição 16 (Pontos Singulares e Ordinários).
Dizemos que um ponto x0 é um ponto ordinário ou não-singular da equação diferencial (7.1), se p(x) e q(x) são funções analíticas em x0. Caso contrário, o ponto é chamado ponto singular da equação.
Como consequência se P, Q e R são polinômios sem fatores
comuns, um ponto é
um ponto ordinário se P ()= 0, ou
um ponto singular se P (= 0.
Teorema 26 (Existência de Soluções em Serie de Potencias).
Se é um ponto ordinário da equação diferencial (7.2), podemos sempre encontrar duas soluções LI na forma de
série de potencias centrada em :
A série converge para uma solução em , onde R é, no mínimo, a distância do ponto ao ponto singular mais próximo, real ou complexo. E a solução geral para a equação diferencial é 
Definição 17 (Pontos Singulares Regulares e Irregulares).
Dizemos que um ponto singular x = x0 em (7.1) é um ponto singular regular se
 e 
tiverem series de Taylor convergentes em torno de x0, ou seja, as funções acima definidas são analíticas. Caso contrário, o ponto é dito singular irregular.
	Obs.: no caso em que os coeficientes de (7.1) são polinômios sem fatores comuns, como consequência da Definição 17, um ponto singular é regular se os limites
 e 
existem. Caso contrário, o ponto é dito irregular.
Teorema 27 (Frobenius).
 (7.5)
Se é um ponto singular regular da equação (7.1), então existe pelo menos uma solução em série na forma 
(7.11)
em que deve ser determinado. A série convergira pelo menos em algum intervalo 
Como parte da solução, temos que determinar:
os valores de para os quais a equação (7.5) tem uma solução da forma (7.11)
A relação de recorrência para os coeficientes 
O raio de convergência da série