APLICAÇÃO DE CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL NA ENGENHARIA CIVIL

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APLICAÇÃO DE CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL NA ENGENHARIA CIVIL
Resumo
Na rotina de um Engenheiro Civil há uma variedade de problemas em que precisa de conhecimento em diversas áreas de atuação, Calculo Diferencial e Integral tem uma extrema importância, pois é um caminho para a solução de variados problemas. Um Engenheiro busca ter o menor custo e tempo na construção e com melhor uso dos materiais, ou seja, encontrar um desempenho de usos máximos e desperdícios mínimos, e as taxas de variações. Sendo assim, iniciamos esse estudo de derivadas e suas aplicações para demostrar na pratica a solução de problemas decorrentes no dia-a-dia de um engenheiro e outros profissionais envolvidos. Muito associado à engenharia, usamos o calculo para obter o resultado de cargas, volumes, áreas, momentos de inércia e deformações, soluções de estruturas de equações elásticas, centros de gravidade, resultantes de carregamento. Um exemplo simples é preciso calcular o preço mínimo de uma obra, e para isso muita vezes a curva do custo é uma equação de grau “n”, fazendo à derivada e igualando a zero, assim poderá encontrar o preço mínimo. Concluímos que o fundamental uso das aplicações de derivadas na engenharia civil se da pelo sistemático e preciso instrumento de cálculos e equações físicas que representa o comportamento.
A engenharia civil, está fortemente ligada ao uso de derivadas, com elas podemos realizar vários tipos de estudo e aplica-lás transformando em uma função. Podendo assim serem utilizadas para diversas áreas, como está relacionada a taxa de variaçao e também as outras áreas, como: tempo, volume, temperatura, resistêndencia, área, ou seja, qualquer quantidade que possa ser representada por uma função. No ramo da construção civil, o uso das derivadas estão sempre presentes nos desenvolvimentos de projetos de estuturas, hidráulicas, topográficos e geotécnicos, pois sem elas seria impossível calcular o dimensionamento de lajes, colunas e vigas. Uma de suas aplicações que será abordada neste trabalho é sua utilização no dimensionamento de uma viga. O dimensionamento de uma viga tem de grande importância é a determinação dos esforços de força cortante e momento fletor. Primeiramente deve ser calculado os esforços principais que atuam na estrutura, onde iremos achar o Momento Fletor e só depois então é feito seu dimensionamento onde são verificadas as dimenções necessarias para suportar os esforços solicitados. Utilizando o cálculo diferencial e integral, encontramos as suas funções que possibilitam calcular o momento fletor e a força cortante que atuam na viga naquele momento. Ao derivar, vamos encontrar outra função que irá apresentar o Esforço Cortante daquele trecho. A aplicação ocorre em diversas áreas de conhecimento, tendo um papel de extrema importância, sendo uma porta para a solução de diversos problemas, sua utilização na engenharia civil se estende por diversas áreas e matérias como conhecimento essencial. 
 
Palavras-chave: Projetos de estrutura; hidráulicos; topográficos; geotécnicos.
O Cálculo Diferencial e Integral é uma fonte de inspiração criativa e 
crítica, uma vez que atualiza a compreensão do fenômeno científico contribuindo de 
maneira expressiva para o resgate do conhecimento no campo da matemática e 
suas ramificações CDI (Cálculo Diferencial e Integral). Procuramos apresentar as 
idéias dos principais teóricos no ramo do cálculo, no contexto histórico em que elas 
foram forjadas demonstrando como originou-se o Cálculo Diferencial e Integral e 
suas aplicações no ensino da matemática. 
Para desenvolver esta pesquisa, baseamos nossos estudos em fontes 
bibliográficas e em um questionário sobre o ensino e estudo de Cálculo Diferencial e 
Integral entre os alunos das primeiras fases do Curso de Ciência da Computação da 
Faculdade Fabrai (Faculdade Brasileira de Informática) com campus na cidade de 
Belo Horizonte. Desenvolvemos assim, a hipótese de que o Cálculo Diferencial e 
Integral não recebe a devida atenção, entre os estudantes, pelo fato de sua história 
ser desconhecida pela maioria das pessoas e pelo grau de dificuldade que esta 
matéria apresenta não só para os leigos como também para os iniciados na 
matemática. 
Sendo o Cálculo Diferencial e Integral a base para o desenvolvimento dos 
estudos nas áreas de conhecimento que tem por atividade principal o uso de cálculo, 
como por exemplo, a Matemática, Ciência da Computação, Engenharia Civil, Física, 
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entre outros, nos intrigou saber que o mesmo não recebe a devida atenção pelo fato 
de seu ensino não ser nem um pouco atraente, aos olhos dos estudantes, que dizer 
das pessoas que não dominam a matemática. 
A construção desta poderosa ferramenta matemática que é o Cálculo é 
resultado de diversas contribuições de muitos matemáticos em diferentes períodos 
históricos. Cada teórico, ao seu tempo, desenvolveu novas idéias e aperfeiçoou os 
métodos para o estudo e a aplicação do Cálculo em diferentes áreas do 
conhecimento, podendo ser aplicado desde a Biologia até ao estudo da Eletricidade, 
entre outros. 
Assim, buscamos apresentar neste trabalho a contribuição de cada 
teórico para o desenvolvimento do estudo do cálculo até os dias atuais quando o 
Cálculo Diferencial e Integral torna-se uma ferramenta indispensável, quer pelo 
estudo do Cálculo propriamente dito, quer pelo fato de ser o Cálculo a base para o 
desenvolvimento das tecnologias de informática, o que é crucial num mundo cada 
vez mais digitalizado. 
Apresentamos, desta forma, os três pilares básicos do Cálculo, quais 
sejam: Construção de Quadraturas, Método de Exaustão e o Teorema Fundamental 
do Cálculo com a sua respectiva importância e aplicação ao longo dos tempos e as 
contribuições necessárias para que os mesmos chegassem até os nossos dias da 
forma como são apresentados. 
Em relação ao estudo do Cálculo, os estudantes não conseguem 
entender a importância do mesmo no início do curso e o índice de reprovação é 
creditado ao grau de dificuldade dos exercícios com Cálculo. Entretanto, são poucos 
os estudantes que se interessam pela origem e construção do Cálculo, atendo-se 
tão somente a aplicação prática do Cálculo. Do qual deduzimos que, cursar a 
 8
disciplina de Cálculo Diferencial e Integral sem preocupar-se com a dimensão maior 
do Cálculo que é a sua construção desde o princípio e suas múltiplas aplicações, 
nos mais diversos ramos da ciência, torna seu conhecimento limitado e pouco 
prazeroso. Ainda que deva ser levado em consideração que muitas vezes, os 
métodos utilizados no ensino de Cálculo Diferencial e Integral são pouco 
motivadores. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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HISTÓRIA DA CONSTRUÇÃO DO CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 
 
O conhecimento formal vem sendo construído à séculos e se estrutura em 
regras que precisam ser reformuladas. Estas regras não podem ser ministradas 
através de um ensino rigoroso e restrito a uma determinada matéria, isolada de 
outras ciências, encerrando um grave erro sob dois aspectos: de um lado priva-se o 
estudante de uma correta apreciação da matéria, cujo valor mais autêntico reside 
nas idéias e criatividade, e não apenas no rigor ou encadeamento lógico das 
demonstrações. 
A criatividade está ligada a imaginação, tanto em literatura, em música ou 
qualquer arte. De outro lado, o ensino isolado não corresponderia a realidade 
histórica do fato, as exigências de desenvolvimento de teorias e métodos 
matemáticos em física, astronomia e nas demais ciências. 
As contribuições dos matemáticos para o nascimento do Cálculo são 
inúmeras. Muitos deles, mesmo que de forma imprecisa ou não rigorosa, já 
utilizavam conceitos do Cálculo para resolver vários problemas como por exemplo, 
Cavalieri, Barrow, Fermat e Kleper. Neste tempo ainda não havia uma 
sistematização, no sentido de uma construção logicamente estruturada. 
A união das partes conhecidas e utilizadas até então, aliada ao 
desenvolvimentoe aperfeiçoamento das técnicas, aconteceu com Newton e Leibniz, 
que deram origem aos fundamentos mais importantes do Cálculo: as derivadas e as 
integrais. Assim podemos dividir o Cálculo em duas partes; uma relacionada às 
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derivadas ou cálculo diferencial e outra parte relacionada as integrais ou cálculo 
integral. 
Estudando a origem do Cálculo pode-se perceber a evolução e o 
desenvolvimento de teorias, que são necessárias aos educadores, buscando 
posicionamento e reflexão sobre o desenvolvimento do conhecimento podendo 
interferir mais adequadamente na prática pedagógica. 
Desta maneira o educador pode conquistar seus alunos para o estudo 
desta área, porque ela é interessante e pode ser ensinada e aprendida com prazer, 
dando oportunidade para melhoria na educação e maior compreensão do 
pensamento humano. 
O Cálculo Diferencial e Integral é uma parte importante da matemática, 
diferente de tudo que o aluno ingressante na Universidade já estudou, ele é 
dinâmico. Trata da variação, de movimento e de quantidades que mudam, tendendo 
a outras quantidades. É uma das grandes realizações do intelecto humano. 
Inspirados por problemas de astronomia, Newton e Leibniz, desenvolveram as idéias 
do cálculo, há 300 anos. Desde então, cada século vem demonstrando o poder do 
cálculo, ao iluminar questões da matemática, das ciências físicas, engenharia e 
ciências sociais e biológicas. 
A derivada e a integral são duas noções básicas do Cálculo Diferencial e 
Integral. Do ponto de vista geométrico, a derivada está ligada ao problema de traçar 
a tangente a uma curva enquanto que a integral está relacionada com o problema de 
determinar a área de certas figuras planas, mas também possui muitas outras 
interpretações possíveis. Na realidade, a grande descoberta de Newton e de Leibniz 
foi que a Matemática, além de lidar com grandezas, é capaz de lidar com a variação 
das mesmas. 
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Os primeiros problemas que aparecem na História relacionado com as 
integrais são os problemas de quadratura. Um dos problemas mais antigos 
enfrentados pêlos gregos foi a medição de superfícies a fim de encontrar suas 
áreas. Quando os antigos geômetras começaram a estudar as áreas de figuras 
planas, eles a relacionavam com a área do quadrado, por ser esta figura plana mais 
simples. Assim buscavam encontrar um quadrado que tivesse a área igual a da 
figura em questão. A palavra quadratura é um termo antigo que se tornou sinônimo 
do processo de determinar áreas. 
Quadraturas que fascinavam os geômetras eram as de figuras eram as de 
figuras curvelíneas, como o círculo, os as figuras limitadas por arcos de outras curvas. Hipócrates de Chios 440 a.C. realizou as primeiras quadraturas da história, 
quando estudou as lúnulas. Antifon, por volta de 430 a.C., procurou encontrar a 
quadratura do círculo através de uma seqüência infinita de polígonos regulares 
inscritos; primeiro um quadrado, depois um octógono, em seguida um 
hexadecágono, e assim por diante. No entanto havia um problema, esta seqüência 
nunca poderia ser concluída. Apesar disso, esta foi uma idéia genial que deu origem 
ao método de exaustão. 
As primeiras idéias do Cálculo surgiram na Grécia Antiga há 2500 anos 
atrás. Naquela época os gregos já sabiam calcular a área de qualquer região 
poligonal, dividindo-a em triângulos e somando as áreas obtidas. Para o cálculo de 
áreas de regiões planas limitadas por curvas, eles usavam o chamado Método da 
Exaustão, atribuído a Eudoxo (406 –355 a.C.), desenvolvido e aperfeiçoado por 
Arquimedes (287 –212 a.C.), grande matemático da escola de Alexandria. 
O método da exaustão consiste em “exaurir” a figura dada por meio de 
outras de áreas e volumes conhecidos. O caso mais conhecido é o famoso problema 
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da quadratura do círculo, isto é, o problema de obter um quadrado com a mesma 
área de um círculo de raio r dado. Uma primeira aproximação para a área do círculo 
é dada pela área do quadrado inscrito no círculo. Com o acréscimo de quatro 
triângulos isósceles convenientes, obtemos o octógono regular inscrito no círculo, 
cuja área fornece uma aproximação melhor à área do círculo. 
 
 
 
Fonte: História Integrais. Disponível em: <www.cepa.if.usp.br> 
 
Continuando com o processo de acrescentar novos triângulos, tomamos 
um polígono regular de 16 lados. Do ponto de vista geométrico, é possível observar 
que já se tem a impressão de termos exaurido o círculo, embora saibamos que 
existem algumas áreas que não foram cobertas. Continuamos a exaurir o círculo 
para obter aproximações cada vez melhores para a área do círculo, através de polígonos regulares inscritos de 2n lados. Usando um procedimento similar a este, 
com polígonos inscritos e circunscritos, Arquimedes calculou a área do círculo de 
raio unitário mostrando que a área A (=Pi) está compreendida entre: 
3+10/71=3,140845<A<3+1/7=3,142857. 
O inconveniente do método de exaustão de Arquimedes é que para cada 
novo problema havia a necessidade de um tipo particular de aproximação. Por 
exemplo, para obter a área de uma região localizada sob um segmento de parábola 
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ACB. Arquimedes, usou como primeira aproximação o triângulo ABC, em que C foi 
tomado de modo que a reta tangente à parábola que passa pelo ponto C seja 
paralela à reta AB. 
 
 
De modo semelhante são escolhidos os pontos D e E e construídos os triângulos ACD e BCE. Fonte: História Integrais. Disponível em: <www.cepa.if.usp.br> 
 
 
 
Na seqüência foram construídos mais triângulos com as mesmas propriedades que os outros obtidos nos passos anteriores. Fonte: História Integrais. Disponível em: <www.cepa.if.usp.br> 
 
 
Observa-se que tais triângulos estão exaurindo a área da região parabólica. Fonte: História Integrais. Disponível em: <www.cepa.if.usp.br> 
 
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Arquimedes é considerado o maior dos matemáticos da antigüidade e um 
dos três maiores de todos os tempos, ele fez uma significativa contribuição ao 
Cálculo ao achar a área da região limitada por uma parábola e uma reta, fazendo a 
soma das áreas de infinitos triângulos. Arquimedes descobriu que a área da região 
limitada por uma parábola, cortada por uma corda qualquer é igual a 4/3 da área do triângulo que tem a mesma altura e que tem a corda como base1. Arquimedes gerou 
também a soma com infinitos termos, mas ele conseguiu provar rigorosamente o seu 
resultado, evitando, com o método da exaustão, a dificuldade com a quantidade 
infinita de parcelas. Foi a primeira vez que se calculou soma com infinitos termos. 
A contribuição seguinte para o Cálculo Integral apareceu somente ao final 
do século XVI quando a mecânica levou vários matemáticos a examinar problemas 
relacionados com o centro de gravidade. Em 1606 em Roma Luca Valerio publicou 
“De quadratura parabolae” onde utilizou o mesmo método grego para resolver 
problemas de cálculo de áreas desse tipo. Kepler, em seu trabalho sobre o 
movimento dos planetas, teve que encontrar as áreas de vários setores de uma 
região elíptica. Este método consiste em pensar na superfície como uma soma de 
linhas sendo que o mesmo na prática apresentava muita imprecisão. 
Analogamente, para calcular volumes de sólidos, pensava na soma de 
fatias planas, deste modo calculou o volume de muitos sólidos tridimensionais, 
formados pela revolução de uma região bidimensional ao redor de um eixo. Para o 
cálculo de cada um desses volumes subdividia-se o sólido em várias fatias, 
chamadas infinitésimos, e a soma desses infinitésimos se aproximava do volume 
desejado. 
Os matemáticos que posteriormente contribuíram para o nascimento do 
Cálculo Integral foram Fermat e Cavalieri. Em sua obra mais conhecida “Geometria 
 
 1 SEMMONS, George F. Cálculo com geometria analítica. São Paulo: Mc Graw-Hill, 1988. Vol. 2. 
 15
indivisibilibus continuorum nova”, Cavalieri desenvolveu a idéia de Kleper sobre 
quantidades infinitamentepequenas. Aparentemente, Cavalieri, pensou na área 
como uma soma infinita ou segmentos indivisíveis. 
O problema do movimento estava sendo estudado desde a época de 
Galileu. Tanto Torricelli como Barrow consideraram o problema do movimento com 
velocidades variadas. A derivada da distância era a velocidade e a operação inversa 
partindo da velocidade levada a distância. A partir deste problema a idéia de 
operação inversa da derivada desenvolveu-se naturalmente e a idéia de que a 
integral e a derivada eram processos inversos era familiar a Barrow. Embroa Brrow 
nunca tenha anunciado formalmente o Teorema Fundamental do Cálculo, estava 
trabalhando em direção ao seu resultado; foi Newton, entretanto, quem continuando na mesma direção formulou o Teorema2. 
O Cálculo Diferencial e Integral foi criado por Issac Newton (1642-1727), e 
Wilhelm Leibniz (1646 –1716). O trabalho destes cientistas foi uma sistematização 
de idéias e métodos surgidos principalmente ao longo dos séculos XVI e XVII, os 
primórdios da chamada era da Ciência Moderna, que teve início com a Teoria 
Heliocêntrica de Copérnico ( 1473 –1543). O que permitiu a passagem do método de 
exaustão para o conceito de integral foi a percepção que em certos casos, a área da 
região pode ser calculada sempre com o mesmo tipo de aproximação por 
retângulos. 
 
 
 2 História de Integrais. Disponível em <www.cepa.if.usp.br> Acesso em: 06 maio 2004. 
 16
 
Fonte: História Integrais. Disponível em: <www.cepa.if.usp.br> 
 
Esta foi uma descoberta conceitual importante, mas em termos práticos, a 
descoberta fundamental foi a possibilidade de exprimir a integral de uma função em 
termos de uma primitiva sendo a definição de integrais muito abstrata e não é um 
instrumento adequado para calcular integrais, razão pela qual o cálculo de integrais 
geralmente é feito mediante o Teorema Fundamental do Cálculo, que só o nome já 
diz sobre a importância do mesmo. 
Este teorema permite exprimir a integral de uma função em termos de 
outra função conhecida como primitiva e esta notável descoberta de Newton e 
Leibniz no século XVII, forneceu ao Cálculo uma ferramenta eficaz para o cálculo da 
maioria das integrais que aparecem no cotidiano. Principalmente como 
conseqüência do Teorema Fundamental do Cálculo as integrais foram simplesmente 
vistas como derivadas “reversas”. Na mesma época da publicação das tabelas de 
integrais de Newton, Johann Bernoulli descobriu processo sistemáticos para integrar 
todas as funções racionais, o que é chamado método das frações parciais. 
Estas idéias serão aqui expostas mas observamos que o conceito de 
integral pode ser introduzido de várias formas, todas elas tendo em comum a mesma 
idéia geométrica, mas que se diferenciam pelo rigor matemático utilizado. Neste 
caso ocorre um problema usual em Matemática: quanto menos rigorosa ou formal é 
a conceituação de um objeto matemático, mais simples é a sua compreensão, 
 17
porém é mais inadequada ou de conhecimento inatingível para um ser humano 
comum, em função das propriedades que decorrem do processo conceitual utilizado. 
A idéia ou o conceito de integral foi formulado por Newton e Leibniz no século XVII, 
mas a primeira tentativa de uma conceituação precisa foi feita por volta de 1820, 
pelo matemático francês Augustin Louis Cauchy. 
Os matemáticos antigos lidaram com esta idéia de aproximação e limites 
de modo intuitivo por dois séculos. Percebiam a falta do mesmo nível de rigor 
ensinado pêlos gregos antigos para poderem justificar formalmente os 
procedimentos, e até mesmo evitar contradições e erros que fizeram, mas a 
humanidade precisou esperar até o século XIV, para que este rigor fosse finalmente 
encontrado por Augustin Louis Cauchy (1789-1857), que criou uma definição formal 
de limite. Os estudos de Cauchy foram incompletos mas muito importantes por terem 
dado início à investigação sobre os fundamentos do Cálculo Integral, levando ao 
desenvolvimento da Análise Matemática e da teoria das funções. 
 
 
 
 
 
Cauchy usou o seguinte processo para definir a integral de uma função real. Seja f:[a,b] R limitada não negativa. Fonte: História Integrais. Disponível em: <www.cepa.if.usp.br> 
 
Por volta de 1854, o matemático alemão Bernhard Riemann (1826-1866) 
realizou um estudo bem mais aprofundado sobre a integral e em sua homenagem a 
integral estudada por ele passou a receber o nome de Integral de Riemann. Tal 
nome serve para distinguir essa integral de outras que foram introduzidas mais 
 18
tarde, como por exemplo, a Integral de Lebesgue. A forma usada para introduzir o 
conceito de Integral de Riemann nos cursos de Cálculo é a versão devida a Cauchy. 
O que justifica isto é que, ela é simples e bastante acessível aos alunos de um curso 
inicial de Cálculo, além de atender aos propósitos de um curso desta natureza. 
Nos cursos de Análise Matemática apresenta-se uma versão mais 
refinada, a Integral de Darboux-Riemann, usando os conceitos de soma inferior, 
soma superior, integral inferior e integral superior, que correspondem ao método de 
exaustão usando, respectivamente, polígonos inscritos e polígonos circunscritos. 
Mas, para que ninguém alimente idéias equivocadas, observamos que as diversas 
definições da Integral de Riemann mencionadas são equivalentes e a diferença 
entre elas se situa na adequação das definições para a obtenção das propriedades 
da referida Integral. 
O Cálculo Diferencial e Integral Nasceu motivado por alguns poucos 
problemas, mas a abstração e a sofisticação das idéias que a partir dali foram 
desenvolvidas fez com que ele se tornasse hoje um assunto fundamental, com 
aplicações não só em Matemática, mas também em Física, química, Estatística, 
Economia e muitas outras áreas do conhecimento. O cálculo Diferencial é usado na 
determinação de órbitas de astros, satélites mísseis, na análise de crescimento de 
populações, seja de seres humanos de bactérias ou outra qualquer, em medida de 
fluxos, seja fluxo sangüíneo, ou de carros em estradas, ou de águas em canos; em 
importantes problemas de otimização, tais como achar as quantidades ideais de 
produção que minimizam custos, quais as que maximizam lucros, determinar qual a 
melhor maneira de empilhar pacotes sob certas condições, como construir 
reservatórios com máxima capacidade custo fixado, como achar o melhor caminho 
de modo a minimizar o tempo de percurso, qual o melhor lugar ângulo para construir 
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um teto com certas características entre outros. Por este motivo o Cálculo Diferencial 
e Integral um instrumento indispensável de pensamento em quase todos os campos 
da ciência pura e aplicada. Os métodos e as aplicações do cálculo estão entre as 
maiores realizações intelectuais da civilização, uma conquista cultural e social, e não 
apenas científica. 
O cálculo tem sido tão bem sucedido por causa de seu extraordinário 
poder de reduzir problemas complicados a regras e procedimentos simples. É a 
matemática dos movimentos e das variações. Onde há movimento ou crescimento e 
onde forças variáveis agem produzindo acelerações, o cálculo é a matemática a ser 
empregada. 
Inventado inicialmente para atender as necessidades matemáticas, 
basicamente mecânicas dos cientistas dos séculos XVI e XVII. O cálculo diferencial 
lidou com o problema de calcular taxas de variações. Ele permitiu que as pessoas 
definissem os coeficientes angulares de curvas calculassem a velocidade e a 
aceleração de corpos em movimento e determinassem os ângulos que seus 
canhões deveriam a ser disparados para obter maior alcance, além de se prever 
quando os planetas estariam mais próximos ou distantes de si. O cálculo integral 
lidou com o problema de determinar uma função a partir de informações a respeito 
de sua taxa de variação. Permitiu que pessoas calculassem a posição futura de um 
corpo a partir de sua posição atuale do conhecimento das forças que atuam sobre 
ele, determinassem o volume e a massa de sólidos arbitrários. 
O cálculo foi inventado no século XVII, como instrumento para resolução 
de problemas que envolviam movimento. A geometria a álgebra e a trigonometria, 
aplicam-se a objetos que se movem com velocidade constante, os métodos do 
cálculo são entretanto, necessários para estudar as órbitas dos planetas, para 
 20
calcular o vôo de um foguete, para predizer a trajetória de uma partícula carregada 
através de um campo eletromagnético e, de modo geral, para tratar de todos as 
aspectos do movimento. 
Embora o cálculo tenha sido criado para resolver problemas de física, tem 
inúmeras aplicações em outros campos. Uma das razões de sua versatilidade é o 
fato de que a derivada se aplica ao estudo das taxas de variação em geral, e não só 
do movimento. Por exemplo, um químico pode utilizá-la para prever o resultado de 
diversas reações químicas; ao biólogo ela é útil na pesquisa da taxa de crescimento 
de bactérias numa cultura; o eletricista emprega-a para descrever a variação da 
corrente num circuito elétrico; os economistas aplicam-na a problemas de lucros e 
perdas. 
Outro conceito fundamental do cálculo é o de integral definida, que 
também encontra inúmeras aplicações nas ciências. O físico utiliza-o para 
determinar o trabalho necessário para distender ou comprimir uma mola. Por meio 
dele o engenheiro calcula o centro de massa ou o momento de inércia de um sólido. 
Ao biólogo permite calcular o fluxo de sangue numa artéria. Os matemáticos utilizam 
a integral definida para investir conceitos como áreas de superfícies volumes de 
sólidos geométricos e comprimento de curvas. 
A derivada e a integral definida exprimem-se em termos de certos 
processos de limites. A noção de limite é a idéia inicial que separa o cálculo das 
partes mais elementares da matemática. Issac Newton (1642-1727) e Gotfried 
Wilhelm, Leibniz (1646 –1716), descobriram a ligação entre derivada e integrais. Em 
razão disso, e de suas outras contribuições para o assunto são considerados os 
inventores do cálculo. 
 
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TEORIAS MATEMÁTICAS A RESPEITO DO CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 
 
Segundo Michael White, o pensamento europeu do século XVI era 
controlado por duas forças poderosas: A igreja Católica Romana, liderada pelo papa, 
e a antiga filosofia dominada pelas idéias do grego Aristóteles. As idéias de 
Aristóteles já se perpetuavam por dois mil anos e eram irrefutáveis e, 
convenientemente seu ponto de vista coincidia com as raras citações da bíblia. A 
Ciência e a Filosofia nada mais eram do que a repetição daquilo que Aristóteles 
havia ensinado. Qualquer descoberta realizada por um pesquisador tinha que estar em conformidade com a visão católica, na visão de mundo herdada dos gregos3. 
Em 1543, Nicolas Copérnico sugere que a teoria de Aristóteles sobre o 
universo estava errada, contrariando as afirmações de Aristóteles e da bíblia na 
concepção de Aristóteles. Foi nesta Atmosfera que nasceu Galileu Galilei, um 
homem da renascença interessado em aceitar novas idéias e pontos de vista 
progressistas. Galileu, além de pesquisar o sistema de funcionamento do Universo, 
trabalhou com diversas áreas, realizando estudos sobre mecânica e movimentos, 
som e luz. Produzindo um de seus melhores livros, “Discursos e Demonstrações Matemáticas sobre suas novas Ciências”4. 
 
 3 WHITE, Michael. Personagens que mudaram o mundo. Os grandes cientistas. Galileu Galilei. Rio de Janeiro: Globo, 1991. 4 WHITE, 1991. 
 
 22
Johannes Kleper nesta mesma época descobriu que a terra e os planetas 
giravam em tono do sol, numa mesma órbita elíptica, transformando a velha 
descrição geométrica do firmamento em uma astronomia dinâmica. Kleper escreveu 
um relatório que chamou a atenção de Galileu e Tycho Brache, logo sendo enviado 
para juntar-se a Tycho numa equipe de pesquisa científica num observatório fora de 
praga, sendo que após um ano de estudo, Tycho morreu e Kleper continuou como 
sucessor de Tycho, usando suas corretas e extraordinárias observações astronômicas5. 
Assim Kleper pôde deduzir três leis fundamentais dos movimentos dos 
planetas que mais tarde capacitou Issac Newton para formular suas teorias de força 
da gravidade. Kleper também explanou a ótica moderna postulando a teoria do raio 
de luz para explicar a visão. Galileu Galilei (1564-1642) e Johnnes Kleper segundo 
Envist Casser já tinham concebido a idéia de lei natural, em toda a sua amplitude e 
profundidade, porém faltava mostrar que os casos particulares de suas descobertas 
podiam ser estendidas para todo universo. 
A obra de Issac Newton, cumpriu esta tarefa no século XVII, descobrindo 
leis físicas aplicáveis ao universo, como a lei da gravidade, razão, razão inversa e 
fórmulas de modo preciso e racional que mais tarde foram trabalhadas pelo 
matemático alemão George Friedrich, que influenciou largamente a geometria das análises6. 
Leibnitz Gottfried Wilhelm (1646-1716) distingui-se, em 1675, como 
inventor do Cálculo Diferencial e Integral. Em 1661, Leibnitz, teve contato com os 
ensinamentos dos homens que revolucionaram, a ciência e a filosofia como: Galileu, 
Francis Bacon, Thomas Hobbes, Renné Descartes que contribuíram para sua tese 
 
 5 História do Cálculo. Enciclopédia Britânica 1998, p 809-810. 6 WHITE, Michael. Galileu/Newton. Coleção Os Pensadores. São Paulo: Nova Cultural, 1987. 
 23
de bacharelado “O princípio do indivíduo”. Entendendo que o indivíduo não haveria 
de ser explanado como matéria somente ou como uma forma mas preferência como “ser” (entidade toda)7. 
Já em 1666 escreveu, “A arte da combinação” na qual ela formulou um 
modelo que serviu de teoria inicial para algumas invenções modernas como 
calculadora e computadores. Desenvolveu um princípio da razão suficiente (nada 
ocorre sem uma razão), envolvendo problemas à ótica, espaço e movimento que 
foram publicados em 1671. (Hypothesis Physyca Nova). 
Foi em 1675, que Leibnitz formulou o fundamento do Cálculo Diferencial e 
Integral. Com sua descoberta ele parou de considerar o tempo e o espaço como 
substâncias. Começando a desenvolver o conceito da extensão e movimento não 
poderia ser descoberta simplesmente com o estudo da natureza. Sendo assim a lei 
básica do movimento não poderia ser descoberta simplesmente com o estudo da 
natureza. 
Criticando a formulação Cartesiana das Leis do Movimento, conhecida 
como mecânica. Leibnitz tornou-se em 1676, fundador de uma nova formulação 
conhecida como Dinâmica que substitui a energia cinética para a conservação dos 
movimentos. Leibnitz continuou seu trabalho, propôs que a educação fosse mais 
prática, trabalhou com pressão hidráulica, moinhos de vento, lâmpadas, submarinos, 
relógios e vários inventos, como bomba de água movida a moinho de vento. Em 
1685 publicou “New Method for Grea test and Least”. Novo método para o máximo e 
o mínimo que era uma exposição do seu Cálculo Integral. 
Segundo Geraldo Ávila, o desenvolvimento científico que nasceu o 
cálculo foi um contexto que as idéias foram surgindo e se desenvolvendo, 
 
 
 24
gradualmente, nas obras de vários cientistas, merecendo especial destaque os 
nomes de Issac Newton (1642-1727) e Gottfried Wilhelm Leibnitz (1646-1716), que 
de fato: Newton e Leibnitz vieram mais tarde e realizaram, independentemente um do outro, o que unifica os conceitos de derivada e integral8. 
De acordo com Swokowski, o cálculo foi descoberto no século XVII como 
instrumento para investigar problemas que envolveram movimento. Para estudar 
objetos que se movem a velocidade constantes e ao longo da trajetóriaretilínea ou 
circulares, a álgebra e a trigonometria podem ser suficientes, mas se a velocidade 
varia ou se a trajetória é irregular o cálculo torna-se necessário. Uma descrição 
cuidadosa de movimento exige definições precisas de velocidades (espaço 
percorrido) na unidade de tempo e aceleração (taxa de variação da velocidade). 
Estas definições podem ser obtidas utilizando-se um dos conceitos fundamentais do cálculo: a derivada9. 
Ambos os conceitos de derivada e integral são definidos por processos de 
limites. A noção de limite é a idéia inicial que separa o cálculo da matemática 
elementar. Sir Issac Newton (1642–1727) e Gottfried Leibnitz (1646-1716), 
descobriram independentemente a conexão entre derivadas e integrais e a invenção 
do cálculo é atribuída a ambos. Porém, muitos outros matemáticos deram 
importantes contribuições ao desenvolvimento do cálculo nos últimos 300 anos. 
O Cálculo Diferencial e Integral, que atingiram o ápice do 
desenvolvimento com Newton e Leibnitz (Fermat, Descartes, Barrow) e outros que já 
aplicavam o método das grandezas infinitamente pequenas sendo de Leibnitz o 
 7 Cálculo, História do Nova Enciclopédia Barsa. Rio de Janeiro: Encyclopédia Britânica do Brasil Publicações Ltda, 1998 V. 3 p. 63. 8 ÁVILA, Geraldo. Cálculo 1 Funções de uma Variável. 6ªed. Rio de Janeiro: Ltc Livros técnicos e científicos AS, 1994. 355pg. 9 SWOKOWSKI, E. W. Cálculo com Geometria Analítica. Rio de Janeiro: Associação Brasileiro de Direitos Reprográficas, 1994. 
 
 25
cânon de novos cálculos completando as teses fundamentais com uma série de 
regras. Newton (1642-1727), mediante seus estudos e descobertas no campo da 
mecânica confirmou o método do Cálculo Diferencial e Integral, traçando-lhe uma nova perspectiva para sua aplicação prático–científica10. 
Segundo Lowis Leithold, verifica-se que no entanto, não foi antes do 
século XIX que os processos do Cálculo receberam fundamentação sólida por parte 
de matemáticos como Bernhard Bolzano (1781-1848), Augustin Lowis Cauchy (1789-1857), Karl Weierstrass (1815-1897) e Richard Dedekinol (1836-1916)11. 
De acordo com Carl. Boyer, Bernhard Bolzano (1781-1848), foi um padre 
tcheco cujas opiniões teológicas desagravam a igreja e cuja matemática foi 
injustamente desconhecida por seus contemporâneos mas possuía semelhança de suas aritmetizações do Cálculo de suas definições de limite e derivada12. 
Publicando importantes trabalhos, em 1817, Rein Anallytescher, exigindo 
um conceito não geométrico de continuidade de uma curva ou função enunciando 
propriedades importantes dos conjuntos infinitos em uma obra póstuma de 1850, 
“Paradoxien des Unidllichen”, a obra de Cauchy semelhantes as idéias de Bolzano, 
aparecia ligado a muitos teoremas sobre séries infinitas, que foi despertada a 
consciência dos matemáticos para a necessidade de vigilância com relação a 
convergência. 
Boyer deixou claro que vários critérios de convergência com o nome de 
Cauchy e que somente perto do fim de sua vida, tomou conhecimento do importante 
conceito de “Convergência Uniforme”. O prolífico Cauchy contribuiu para quase 
tantos campos quanto o seu contemporâneo Gauss. Sendo prova Geral de um dos 
 
 10 ENGELS, Friedrich. A dialética da natureza. 6ªed. São Paulo: Paz e Terra, 2000. 238p. 11 LEITHOLD, Lowis. O Cálculo com Geometria Analítica.3ed.São Paulo: Habra, 1994. 12 BOYER, Carl Benjamin. História da matemática. 2ªed. São Paulo: Edgard Blucher, 2001. 488p. 
 
 26
mais belos e difíceis teoremas de Fermat, no entanto em 1811, uma de suas 
primeiras memórias, ele apresentou uma generalização a fórmula poliedra de 
Descartes–Eules. Cauchy, fundou também a teoria matemática da elasticidade e 
contribuiu para mecânica celeste. Cauchy, também se preocupou com a matemática 
pura, destacando cada vez mais os processos do cálculo diferencial e integral nos 
seus trabalhos. A partir desta época intensificavam as investigações sobre os 
fundamentos do cálculo levando ao desenvolvimento a análise matemática e da teoria das funções13. 
W. Karl (1815-1897), matemático alemão, foi um dos fundadores da teoria 
das funções de um determinado intervalo. Por sua vez, Richard Dedekind (1831
1916), matemático alemão, um dos fundadores da álgebra moderna, em seus 
Ensaios Reunidos publicou importantes estudos sobre os números irracionais. Estes 
dois matemáticos trouxeram juntos aos seus trabalhos, mais fundamentações sólidas ao Cálculo Diferencial e Integral14. 
Bernhard interessou-se pêlos problemas concernentes a teoria dos 
números primos, função elíptica e geométrica. Dominado cálculo e a teoria dos 
números de “Andri Marie Legedrie”, interessou-se pela física experimental e filosofia 
natural. Deduziu princípios universais de fenômenos naturais e concluiu que a teoria 
da matemática poderia garantir conexão entre magnetismo, gravidade leve e 
eletricidade, surgindo a teoria de campo no qual o espaço envolvido por cargas 
magnéticas, começando a desenvolver uma idéia original para a física matemática moderna15. 
 
 13 BOYER, 1994 14 Dedekind, Richard. Nova Enciclopédia Barsa. Rio de Janeiro: Encyclopédia Britânica do Brasil Publicações Ltda, 1998 V. 5 p. 85-6. 15 Cálculo, História do Nova Enciclopédia Barsa. Rio de Janeiro: Encyclopédia Britânica do Brasil Publicações Ltda, 1998 V. 3 p. 62 
 27
Em 1851, com a dissertação “Princípios para a teoria geral das funções 
da variável complexa”, travada de princípios teóricos sobre a relação entre números 
complexos variáveis. Sendo uma das maiores descobertas dos dezenove centro 
matemáticos da época. Riemam baseou seu trabalho mais especificamente nas 
idéias geométricas que nos cálculos algébricos. Desenvolveu um estudo muito 
profundo da geometria, escreveu “As hipóteses que foram o princípio da geometria”. 
Num estudo independente formulou a geometria Euclideana que era uma alternativa 
para suas fórmulas e a de Gauss. 
De acordo com Geraldo Ávila, foi por volta de 1584, o emitente 
matemático alemão Bernhard Riemam (1826-1866) realizou um estudo aprofundado 
da integral, como nunca fora empreendido antes. Devido a isso, as somas usadas na 
definição da integral são chamadas “somas de Riemam” e a própria integral de 
Riemam, deixando uma obra matemática da maior importância em que revela idéias brilhantes e profundas16. 
Luís Roberto Dante, observa que um dos ramos da matemática que mais 
auxiliaram a resolução de problemas das mais variadas Ciências, como Física, 
Astronomia, Engenharia, Biologia, entre outras, foi o Cálculo Diferencial e Integral 
observando que nasceu na época de Galileu Galilei (1564-1642), Johamnes Kleper 
(1571-1630) e foi sistematicamente mais tarde, de modo independente um do outro, 
por Issac Newton (1642-1727) e Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716). 
Posteriormente, o Cálculo Diferencial e Integral recebeu contribuições valiosas de Augustin – Lowis Caurchy ( 1789-1857) e de G.F.B Riemam ( 1826-1866)17. Hoje, o 
 
 16 ÁVILA, 1994. 
 17 DANTE, Luís Roberto. Didática de resolução de problemas de matemática. São Paulo: Ática, 1989. 176p. 
 
 28
cálculo Diferencial e Integral é a ferramenta, por excelência de praticamente todas 
as ciências. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 29
O ENSINO DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL: ANÁLISES E SUGESTÕES 
 
Os estudantes das primeiras fases do curso de Ciência da Computação 
da Faculdade Fabrai, que responderam ao instrumento de pesquisa (Anexo A) sobre 
o Cálculo Diferencial e Integral comprovaram nossa hipótese de que os alunos não 
dão a devida atenção a esta matéria por desconhecer suas origenshistóricas e 
conseqüente desenvolvimento das teorias que culminaram com a atual forma de 
trabalhar com o Cálculo Diferencial e Integral. Ainda podemos destacar a falta de 
conhecimento com relação a aplicação prática do Cálculo nas diversos ramos do 
conhecimento científico. 
Entretanto, outro fator responsável por estas dificuldades no aprendizado 
do Cálculo, refere-se tanto a metodologia aplicada pelos professores da disciplina, 
quanto pela tradicional falta de interesse dos acadêmicos nos processos iniciais de 
aprendizado do Cálculo, que são fundamentais para a resolução dos problemas que 
são colocados diante deles posteriormente. Se o acadêmico não entender bem a 
base, terá imensa dificuldade em resolver os problemas envolvendo o Cálculo 
Diferencial e Integral. 
Na opinião dos acadêmicos, uma das principais dificuldades está na falta 
de segurança dos professores na hora de ministrar estes conteúdos, o que pode 
refletir falta de preparo para trabalhar um tema de suma importância na área de 
Cálculo. Geralmente os professores não costumam realizar junto aos acadêmicos a 
construção histórica das teorias envolvendo o Cálculo, limitando-se a ensinar o 
Cálculo simplesmente pela resolução dos problemas propostos, o que torna o 
aprendizado monótono e nada interessante, ainda que trate-se de um conteúdo 
 30
fundamental para o desenvolvimento profissional, principalmente dos acadêmicos 
que cursam matemática. 
A falta desta construção histórica das teorias do Cálculo, faz com que os 
alunos não despertem o interesse para esta questão que poderia tornar o ensino do 
Cálculo mais interessante, pois teriam oportunidade de refletir sobre a forma como 
se chegou aos métodos para resolução dos problemas que envolvem esta disciplina. 
Sendo que a maior dificuldade dos alunos estaria logo no início, quando não se dá a 
devida atenção ao estudo de limites, base para o estudo do cálculo, principalmente 
quando refere-se a taxa de variação de movimento e quantidades. A derivada e a 
integral são noções básicas para o estudo do Cálculo, uma vez que estes conteúdos 
não tenham sido bem assimilados, os acadêmicos encontraram grandes dificuldades 
em concluir a disciplina. 
Devemos por outro lado, ponderar que para o professor de matemática 
seria mais fácil se o Cálculo não fosse uma disciplina que exigisse muita prática. 
Para o professor fica difícil ministrar aulas diferentes do método tradicional, pois para 
o aprendizado do Cálculo é necessário muita disposição e vontade por parte dos 
acadêmicos em desenvolver atividades voltadas ao Cálculo. Segundo Ávila “quase 
tudo que se aprende é devido ao estudo individual em livros. Muito pouco se 
aprende em sala de aula. As aulas servem para orientar o aluno e disciplinar seu estudo”18. 
Essa é uma das disciplinas que mais exige aplicação por parte dos 
estudantes pelo fato de ser a base para as demais disciplinas que envolvam Cálculo 
em cursos universitários, além de ser uma disciplina que se deve começar com uma 
base sólida para o seu perfeito entendimento é necessário a realização de muitos 
 
 18 ÁVILA, 1994. 
 
 31
exercícios para resolução de problemas. Assim, ao professor muitas vezes cabe o 
papel de orientar, mas se os estudantes não buscarem um estudo sistemático não 
conseguiram atingir o pleno conhecimento da matéria, o que reflete-se 
posteriormente em outras disciplinas quando o aluno não conseguiu entender 
perfeitamente o Cálculo Diferencial e Integral. 
Apesar de muitas vezes o Cálculo ser associado a algo imensamente 
difícil e complicado, é importante lembrar que o Cálculo foi inventado e construído 
para facilitar a vida das pessoas, o que nos faz refletir que, caso o estudante saiba a 
forma como o Cálculo foi construído historicamente e suas amplas aplicações, seu 
estudo pode tornar-se prazeroso, pois além de exercitar o intelecto, permite 
visualizar a solução de problemas práticos e de situações até então não imaginadas 
pelos estudantes, nas quais o Cálculo pode ser aplicado como solução. 
Uma das causas de o Cálculo ser visto como algo difícil, está relacionado 
com a construção da aprendizagem desde que a criança matricula-se na escola, 
uma vez que os professores do Ensino Fundamental não desenvolvem com as 
crianças a curiosidade em saber como o teve origem o conhecimento que está 
sendo estudado. É muito difícil o professor que faz a construção histórica de 
conhecimentos matemáticos. Sendo a matemática uma disciplina onde o 
conhecimento é acumulativo e seqüencial, seria necessária que desde as séries 
iniciais fosse desenvolvido o gosto das crianças em perceber que a matemática é 
mais que um amontoado de números e resolução de “continhas”, mas 
principalmente uma forma de raciocinar sobre determinadas situações. 
Assim temos a prática de que importa saber para que serve determinado 
tipo de operação matemática, mas não nos preocupamos em saber a forma como 
originaram-se as mesmas. Logo, os estudantes seguem os programas estipulados 
 32
para cada série, sem saber ao certo porque se deve estudá-los, o que também 
dificulta o aprendizado sobre a sua aplicação, ou popularmente falando o para que 
serve. Esta forma de aprendizado está tão arraigada na nossa prática docente que 
os alunos passam toda a sua vida escolar preocupados e interessados em fórmulas, 
dicas e macetes para rápida solução de determinados problemas, do que com o 
conceito ou a construção histórica da própria matemática em si, o que reduz o 
conhecimento matemático apenas a mais uma matéria do currículo. 
Com base nas respostas dadas pelos acadêmicos da Faculdade Fabrai, 
podemos observar que o índice de reprovação na disciplina de Cálculo Diferencial e 
Integral é creditado a dificuldade que os acadêmicos encontram até mesmo nas 
operações básicas matemáticas, apresentando um número considerável de 
desistências e um razoável número de reprovações, reflexo inclusive do elevado 
número de pessoas que ficam em exame nesta disciplina. Uma das causas destas 
dificuldades está associada a um Ensino Médio de qualidade questionável, 
geralmente cursando em condições não ideais. 
Outro fator responsável pelas dificuldades na disciplina de Cálculo 
Diferencial e Integral, é dado pelo fato de que na maioria dos cursos os créditos 
disponíveis à disciplina de matemática são insuficientes, ou seja, o tempo destinado 
ao aprendizado destes conceitos é menor do que o realmente necessário, fazendo 
com que os professores limitem-se tão somente a aplicação de contas sem levar em 
consideração a construção histórica de uma disciplina tão importante para os 
estudos matemáticos. 
Com base nas informações coletados com o questionário haveria uma 
melhoria no processo de ensino e aprendizagem se os créditos destinados a esta 
disciplina, nos cursos em que a matemática é uma matéria básica para o 
 33
desenvolvimento das demais disciplinas, fossem aumentados, isso permitiria ao 
professor qualificar suas aulas, sendo que o mesmo teria um tempo maior a 
disposição dos estudantes, tanto para desenvolver as explicações teóricas 
necessárias, quanto para preparação e utilização de recursos didáticos que 
facilitassem a compreensão por parte dos acadêmicos dos conteúdos da disciplina 
de Cálculo Diferencial e Integral e ainda, acompanhar e orientar de maneira mais 
freqüente os seus educandos na resolução dos exercícios. 
Outra sugestão freqüente dos acadêmicos do Curso de Ciências da 
Computação, refere-se ao preparo dos profissionais que trabalham com esta 
disciplina, pois na visão dos discentes os professores geralmente são inseguros e 
não apresentam um completo domínio da matéria (ainda que o possuam), tornando 
assim os próprios estudantes inseguros a respeito da disciplina, pois ficam em 
dúvida sobre o modo correto de proceder, gerando confusões de entendimento que 
a princípio poderiam ser evitadas.Acreditamos que essa lacuna na prática docente poderia em parte ser 
solucionada com a criação de uma disciplina que se ocupasse com a história da 
matemática e a conseqüente construção de conceitos matemáticos ao longo dos 
tempos. Estes conteúdos permitiriam aos profissionais um leque mais amplo de 
conhecimento e a possibilidade de variar suas explicações de acordo com a 
dificuldade de cada grupo de estudantes, uma vez que dominar vários aspectos de 
uma mesma ciência nos permite versatilidade maior nas formas de abordagem. 
Esta nossa proposição, caso levada em consideração, permitiria aos 
profissionais da área matemática entrar em contato com uma nova forma de 
entender a prática docente nesta disciplina, desde as séries iniciais até o ensino 
universitário, pois via de regra os estudantes do ensino fundamental e médio vêem a 
 34
matemática com o estigma de uma disciplina difícil. Este mito da dificuldade na 
matemática, infelizmente foi por muitos anos sustentado por alguns colegas de 
profissão como meio de fazer os alunos manterem a ordem em sala de aula não 
pelo interesse no conteúdo ministrado, mas pelo medo da repreensão advinda com 
a dificuldade da matéria e das avaliações. 
O que entendemos ter sido um equívoco em tempos ainda recentes deve 
ser repensado, pois em nossa visão, enquanto os estudantes pensarem na 
matemática como sinônimo de dificuldade não conseguiremos avançar no 
conhecimento matemático junto a eles. Assim, entendemos que está mais do que na 
hora de realizarmos uma auto-avaliação de nossas práticas docentes e procurarmos 
uma nova abordagem para a matemática no ensino fundamental e médio, onde os 
estudantes consigam perceber onde podem aplicar e qual a utilidade da matemática 
na vida cotidiana. Desta forma a matemática poderia tornar-se muito prazerosa de 
ser aprendida. Com isso, poderíamos dar início a um processo de mudanças na 
visão que os alunos tem da matemática, entendendo a mesma, não mais como algo 
difícil e distante, mas que está presente e é indispensável na vida cotidiana de cada 
um de nós. 
Este conjunto de sugestões, caso colocado em prática, poderia 
representar um novo relacionamento dos estudantes com a disciplina de 
matemática, atraindo inclusive, maior número deles para estudos universitários nas 
áreas que demandem cálculo nas ciências exatas. Neste caso, com uma nova forma 
de relacionamento entre professor, aluno e disciplina, poderia refletir-se num melhor 
aproveitamento da disciplina de Cálculo Diferencial e Integral na universidade, 
reduzindo a desistência e a reprovação na mesma. 
 35
É notório por parte de alguns colegas de profissão, o desejo de uma 
mudança nos métodos de ensino e na forma de se trabalhar os conceitos 
matemáticos e suas possíveis aplicações. Entretanto, muitos estão, por comodidade, 
ou mesmo convicção, presos a um tempo em que o importante era saber calcular e 
tirar notas boas, mesmo que pouco depois o aluno não lembre-se mais nem como 
resolveu determinado problema. Esta discussão é presente não só na matemática, 
mas também em outras disciplinas. Na verdade, hoje os professores começam a 
perceber que, o que o aluno não vê necessidade de utilizar e nem como utilizar, não 
é interessante de ser aprendido, assim, fica claro que é importante aprender e 
utilizar no dia a dia os conhecimentos, do contrário, continuaremos a freqüentar a 
escola apenas para cumprir uma formalidade. 
Existe hoje, um número já considerável de colegas que estão trilhando 
novos caminhos no ensino da matemática e estes devem ser exemplos a multiplicar
se, pois será preciso um certo espaço de tempo para que os novos métodos sejam 
aceitos e praticados por um número maior de profissionais da área de matemática. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 36
 
 
 
CONSIDERAÇÕES FINAIS 
 
O Cálculo pode ser dividido em duas partes: uma que se relaciona a 
derivadas ou Cálculo Diferencial e outra parte que se relaciona ao Cálculo Integral. 
Com o estudo de sua origem podemos perceber sua evolução aliado ao 
desenvolvimento de suas teorias, as quais são de suma importância aos educadores 
que buscam um novo posicionamento na prática do ensino de matemática e de certa 
forma refletem sobre o desenvolvimento do conhecimento humano, podendo 
interferir na prática pedagógica. O professor, desta forma, tende a conquistar seus 
alunos ao estudo do Cálculo Diferencial e Integral dando oportunidade para que os 
mesmos possam apresentar uma maior compreensão do pensamento humano com 
relação a atividade de Cálculo. 
A história do Cálculo Diferencial e Integral nos mostra como a sua 
construção foi dificultosa e demorada, pois desenvolveu-se desde tempos anteriores 
ao cristianismo, com pensadores como Arquimedes, Hipócrates e Antifon, e tiveram 
seu acabamento durante o século XIX, tendo neste entremeio de vários séculos as 
contribuições de personagens que ficaram amplamente conhecidos no mundo da 
ciência como por exemplo: Leibintz, Newton, Cauchy, Riemann. Logo, é interessante 
perceber que, se a formação e construção dos raciocínios para os estudos de 
Cálculo Diferencial e Integral levaram tanto tempo para serem estabelecidos, seria 
interessante que esta história fosse de domínio dos estudantes universitários que 
optam pelo curso de Matemática, e também pelos acadêmicos das demais áreas de 
 37
ciências exatas, uma vez que acreditamos ser esta uma condição para que o estudo 
de Cálculo torne-se um pouco mais aprazível. 
A insegurança da maior parte dos docentes que trabalham com a 
disciplina de Cálculo Diferencial e Integral é fator preocupante, pois sua possível 
falta de experiência associada a aparente falta de domínio, transmite aos discentes 
a sensação de um aprendizado falho e cheio de lacunas. Isto torna-se prejudicial no 
sentido de que, o Cálculo é a base para o desenvolvimento dos trabalhos em muitos 
dos cursos da área que lidem com ciências exatas. Estas preocupações estão 
presentes entre os acadêmicos que foram alvo de nosso questionário, mas são 
facilmente observados em qualquer cursos universitário de qualquer universidade ou 
faculdade brasileira. 
Entendemos que para o ensino de matemática como um todo, e 
especificamente para o ensino do próprio Cálculo, se faz necessário um 
aperfeiçoamento ainda maior dos professores no que diz respeito ao conhecimento 
da construção histórica do Cálculo. Acreditamos que se o aluno conhece a origem 
de um determinado conteúdo o mesmo sente-se mais atraído em aprendê-lo. Assim, 
pode-se desenvolver uma metodologia de ensino onde os alunos possam ter 
conhecimento de como as teorias relacionadas ao Cálculo foram formuladas ao 
longo dos tempos e suas respectivas utilidades. 
Contudo parece difícil responder a pergunta: o que é Cálculo Diferencial e 0
Integral? Mas na realidade não existe uma resposta simples. Podemos considerá-lo 
como o estudo de limites, derivadas e integrais, porém isso só faria encará-lo como 
se só o conhecêssemos nas definições dos termos empregados. Por este motivo, o 
desafio de compreender e ensinar Cálculo Diferencial e Integral é ainda maior, 
forçando os profissionais que atuam nesta área, em especial os matemáticos, a 
 38
buscarem uma revisão tanto quanto possível, urgente dos métodos até aqui 
utilizados no ensino desta disciplina. De outro modo, não será possível encontrar 
uma solução para que o ensino e aprendizado do Cálculo torne-se algo prazeroso e 
estimulante de ser estudado. 
Hoje o Cálculo e suas extensões na Análise Matemática estão muito mais 
abrangentes e os físicos, matemáticos e astrônomos que inventaram esta disciplina 
ficaram surpresos e maravilhados ao observar a quantidade de problemas que ela 
resolve e a variedade de campos que utilizavam o Cálculo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 39
 
 
 
REFERÊNCIAS 
 
BIBLIOGRÁFICAS 
 
ÁVILA, Geraldo .Cálculo I. Rio de Janeiro: LCT/ EDU, 1978. 
 
______. Introduçãoao Cálculo. Rio de Janeiro: JC, 1998.273pg. 
 
______. Cálculo 1 Funções de uma Variável. 6ed. Rio de Janeiro: Ltc Livros técnicos e científicos AS, 1994. 355pg. 
 
BOYER, Carl Benjamin. História da matemática. 2ªed. São Paulo: Edgard Blucher, 2001. 488p. 
 
BOULOS, Paulo. Cálculo Diferencial e Integral.V1. São Paulo : Makron Books, 1999. 375pg. 
 
Cálculo, História do Nova Enciclopédia Barsa. Rio de Janeiro: Encyclopédia Britânica do Brasil Publicações Ltda, 1998 V. 3 p. 62 
 
DANTE, Luís Roberto. Didática de resolução de problemas de matemática. São Paulo: Ática, 1989. 176p. 
 
Dedekind, Richard. Nova Enciclopédia Barsa. Rio de Janeiro: Encyclopédia Britânica do Brasil Publicações Ltda, 1998 V. 5 p. 85-6. 
 
ENGELS, Friedrich. A dialética da natureza. 6ªed. São Paulo: Paz e Terra, 2000. 238p. 
 
FINNEY, Thomas. Cálculo e Geometria Analítica. V.4.Rio de Janeiro : Livros Técnicos Científicos,1998. 
 
GWINN, Robert P. The New Encyclopedia Britânica. Vol. VI. Rio de Janeiro: Encyclopédia Britânica, 1995. p. 809-810. 
 
 40
______. The New Encyclopedia Britânica. Vol. VI. Rio de Janeiro: Encyclopédia Britânica, 1993. p.62. 
 
HARIKI, Seiji. Administração – Economia- Contabilidade- Matemática Aplicada. São Paulo: Saraiva, 1999. 
 
HOFFMANN, Laurence. Cálculo 1 Um Curso Moderno e suas Aplicações. 2ed. Rio de Janeiro: Aplifiada, 1990.572pg. 
 
HUGLES, Deborah et al. Cálculo e Aplicações. São Paulo: Edgard Bulcher, 1999. 329p. 
 
KOLMAN, Bernard. Introdução a álgebra linear com aplicações. 6ªed. Rio de Janeiro: LTC, 1994. 
 
KUELKAMP, Nilo. Cálculo 1. Florianópolis :UFSC, 1999. 470p. 
 
LEITHOLD, Lowis. O Cálculo com Geometria Analítica.3ed.São Paulo: Habra, 1994. 
 
NEWMAN, Edward K. Matemática e Imaginação. Rio de Janeiro : Zahar, 1968. 
 
Povos. Nova Enciclopédia Barsa. Rio de Janeiro: Encyclopédia Britânica do Brasil Publicações Ltda, 1998. V. 1 p. 334. 
 
SEMMONS, George F. Cálculo com geometria analítica. São Paulo: Mc Graw-Hill. 2 Volumes, 1988. 
 
STEWART, James. Cálculo Vol. 2 4ª ed. São Paulo: Ed. Pioneira, 2001. 1.151p. 
 
SWOKOWSKI, E. W. Cálculo com Geometria Analítica. Rio de Janeiro: Associação Brasileiro de Direitos Reprográficas, 1994. 
 
THOMAS, George B. Cálculo. Vol 1. 10ª ed. São Paulo: Ed. Addison Wesley, 2002. 660p. 
 
WHITE, Michael. Personagens que mudaram o mundo. Os grandes cientistas. Galileu Galilei. Rio de Janeiro: Globo, 1991. 
 
WHITE, Michael. Galileu/Newton. Coleção Os Pensadores. São Paulo: Nova Cultural, 1987.