MDC e MMC

Prévia do material em texto

MDC e MMC
1 - MDC - MÁXIMO DIVISOR COMUM
Definição: dados dois números inteiros a e b não nulos, define-se o máximo divisor comum - MDC, como sendo o maior inteiro que divide simultaneamente a e b.
O MDC de dois números será indicado por MDC (a, b).
Óbvio que se tivermos o MDC de n números inteiros a1, a2, a3, ... , an , indicaremos por 
MDC (a1, a2, a3, ... , an)
Exemplos:
1 - Determine o MDC dos inteiros 10 e 14.
Os divisores positivos de 10 são: 1, 2, 5, 10.
Os divisores positivos de 14 são: 1, 2, 7, 14.
Os divisores comuns, são, portanto: 1 e 2.
Portanto, o máximo divisor comum é igual a 2 e, indicamos:  MDC(10,14) = 2.
2 - Determine MDC (4, 10, 14, 60)
Os divisores positivos de 4 são: 1, 2, 4
Os divisores positivos de 10 são: 1, 2, 5, 10
Os divisores positivos de 14 são: 1, 2, 7, 14
Os divisores positivos de 60 são: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 60
Os divisores comuns são, portanto: 1 e 2.
Portanto o MDC é igual a 2, ou seja: MDC (4, 10, 14, 60) = 2
Notas:
1.1 - um número inteiro positivo p  1 é denominado número primo, se e somente se os seus divisores positivos são 1 e p. Pode-se provar que o conjunto dos números primos é um conjunto infinito.
Sendo P o conjunto dos números primos, podemos escrever:
P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 61, ... }
Observa-se que 2 é o único número par que é primo.
1.2 - todo número inteiro maior do que 1, que não é primo, pode ser decomposto num produto único de fatores primos. Esta afirmação é conhecida como o Teorema Fundamental da Aritmética - TFA.
Exemplos:
15 = 5.3
40 = 5.8 = 5.2.2.2 = 5.23
120 = 40.3 = 5.2.2.2.3 = 5.23.3
240 = 2.120 = 2.5.2.2.2.3 = 5.24.3
Na prática, podemos usar o seguinte esquema:
Seja o caso de 240 acima. Teremos:
	240
	|2
	120
	|2
	60
	|2
	30
	|2
	15
	|3
	5
	|5
	1
	|
Então: 240 = 2.2.2.2.3.5 = 24.3.5
A decomposição de um número em fatores primos, é conhecida também como fatoração , já que o número é decomposto em fatores de uma multiplicação.
Usando o dispositivo prático acima, vamos fatorar o número 408.
Teremos:
	408
	|2
	204
	|2
	102
	|2
	51
	|3
	17
	|17
	1
	|
Então: 408 = 2.2.2.3.17 = 23.3.17 
1.3 - O método de decomposição de um número num produto de fatores primos, sugere uma nova forma para o cálculo do MDC de dois números inteiros não nulos, a e b, ou seja, para o cálculo de MDC (a,b).
Assim, seja calcular o MDC de 408 e 240.
Como já vimos acima, temos:
408 = 2.2.2.3.17 = 23.3.17
240 = 2.2.2.2.3.5 = 24.3.5
Tomando os fatores comuns elevados aos menores expoentes, teremos:
MDC (408, 240) = 23.3 = 8.3 = 24 , que é o MDC procurado.
Portanto, MDC (408, 240) = 24.
1.4 - o MDC do exemplo anterior, poderia ser também determinado pelo método das divisões sucessivas, cujo dispositivo prático é mostrado a seguir:
	 
	1
	1
	2
	3
	408 |
	240 |
	168 |
	72 |
	24
	
	168 |
	72|
	24|
	0
	 
Para entender o dispositivo prático acima, basta observar que:
408:240 = 1 com resto 168
240:168 = 1 com resto 72
168:72 = 2 com resto 24
72:24 = 3 com resto zero.
Portanto o MDC procurado é igual a 24, conforme já tínhamos visto antes.
1.5 - se o MDC de dois números inteiros a e b for igual à unidade, ou seja, MDC (a,b) = 1, dizemos que a e b são primos entre si, ou que a e b são co-primos. 
Ou seja:
MDC (a, b) = 1  a e b são primos entre si (co-primos).
 a e b são primos entre si   (co-primos).
Exemplo: MDC (7, 5) = 1  5 e 7 são primos entre si.
2 - MMC - MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM
Definição: dados dois números inteiros a e b não nulos, define-se o mínimo múltiplo comum - MMC, indicado por MMC (a,b) , como sendo o menor inteiro positivo, múltiplo comum de a e b.
Exemplo:
Determine o MMC dos inteiros 10 e 14.
Os múltiplo positivos de 10 são: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 110, ...
Os múltiplos positivos de 14 são: 14, 28, 42, 56, 70, 84, 98, 112, 126, 140, ...
Portanto, o mínimo múltiplo comum é igual a 70 e, indicamos:  MMC(10,14) = 70.
Dos exemplos anteriores, vimos que: MDC (10,14) = 2 e MMC(10,14) = 70. Observe que:
10.14 = 2.70 = 140 =  MDC(10,14) . MMC(10,14)
Pode-se provar que, dados dois números inteiros positivos a e b, teremos sempre que o produto desses números é igual ao produto do MDC pelo MMC desses números, ou seja:
MDC(a,b) . MMC(a,b) = a . b
Observe que se dois números inteiros positivos a e b são primos entre si 
(co-primos), o MDC entre eles é igual a 1, ou seja MDC (a, b) = 1 e, portanto, teremos:
1.MMC(a,b) = a . b  MMC(a, b) = a . b , ou seja:
	O Mínimo Múltiplo Comum de dois números primos entre si é igual ao produto deles.
Exemplos:
MMC(3, 5) = 3.5 = 15 
MMC(7, 5, 3) = 7.5.3 = 105
Dois exercícios simples:
1 - O máximo divisor de dois números é igual a 10 e o mínimo múltiplo comum deles é igual a 210. Se um deles é igual a 70, qual o outro?
Solução:
Ora, pelo que vimos acima, 10.210 = 70.n  n = 30.
2 - Encontre um par ordenado (m,n) de números inteiros, que verifique a relação 
MDC(180, 1200) = 180m + 1200n.
Solução:
Inicialmente, vamos determinar o MDC entre 180 e 1200:
Os divisores positivos de 180 são:
1, 2, 3, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 30, 60, 90 , 180. 
Os divisores positivos de 1200 são:
1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 25, 30, 40, 50, 60, 80, 100, 120, 150, 200, 300, 400, 600, 1200.
Portanto, o máximo divisor comum - MDC - de 180 e 1200 é igual a 60, ou seja:
MDC(180, 1200) = 60
Nota: poderíamos, é claro, determinar o MDC por qualquer um dos métodos indicados neste texto.
Sabemos que DIVIDENDO = DIVISOR x QUOCIENTE + RESTO
Ora, dividindo 1200 por 180, obteremos quociente 6 e resto 120.
Então, é lícito escrever: 1200 = 6.180 + 120
Aqui, vou usar um artifício: como 120 = 180 - 60, então poderemos escrever: 1200 = 6.180 + (180 - 60).
Então, 1200 = 6.180 + 180 - 60 = 6.180 +1.180 - 60
Colocando o 180 em evidencia, fica:
1200 = 180(6 + 1) - 60, ou finalmente,
1200 = 180.7 -  60 
1200 - 180.7 = -  60
Multiplicando ambos os membros por ( - 1), fica:
- 1200 + 180. 7 = 60
180.7 - 1200 = 60
180.7 + 1200( - 1) = 60
Comparando com os dados do enunciado da questão, teremos:
MDC (180, 1200) = 180m + 1200n = 60
Logo,  vem imediatamente que m = 7 e n = -1,  e portanto, o par ordenado (7, -1) é uma solução inteira da equação 180m + 1200n = 60.
	.Agora resolva este:
Se MDC (210, 1225) = 210a + 1225b, pede-se determinar um par (a,b) de números inteiros, que satisfaça a igualdade acima.
Resp: a = 6 e b = - 1.
Veja mais exercícios de MDC e MMC , visitando os arquivos Exercícios de Aritmética I e Exercícios de Aritmética II. 
Paulo Marques, Feira de Santana - BA, 23 de janeiro de 2000 - revisado e ampliado em 28/08/2009.
VOLTAR
Livro de Teoria dos Números
 (Parte 9 de 10)
Usando o algoritmo da divisão, podemos escrever: 15 = 6.2 + 3 3 = 15(1) + 6(–2) (1) Achemos o mdc(3, 3).Como o mdc(3, 3) = 3,vamos escrever 3 como combinação de 3 e 3: 3 = 3(2) + 3(–1) Substituamos o valor de 3 encontrado na igualdade (1) nesta última igualdade: 3 = 3(2) + [15(1) + 6(–2)](–1) 3 = 3(2) + 15(–1) + 6(2). Como escrever 9 como combinação linear de x, y e z, devemos multiplicar por 3 esta última igualdade, obtendo:
	1
	1 3 
	24 8
	0 
9 = 3(6) + 15(–3) + 6(6) 9 = 6(6) + 3(6) + 15(–3). Logo, x = 6, y = 6 e z = –3
04) 14x + 7y + 21z = 4 Como o mdc(14, 7, 21) = 7 e 7 não divide 4, então a equação não tem solução inteira.
Solução: 5) Como o mdc(45, 21) = 3, então, 3.mmc(45, 21) = 45.21. Logo, mmc(45, 21) = 315. 6) Como mdc(83, 68) = 1, então, 1.MMC(83, 68) = 8.8. Logo, mmc(83, 68) = 5644. 7) Como mdc(120, 110) = 10 , então, 10.mmc(210, 110) – 210.110. Logo, mmc(210, 110) = 1320
08) O mdc de dois inteiros positivos a e b é 8 e na sua determinação pelo algoritmo de Euclides os quocientes sucessivamente obtidos foram 2, 1, 1 e 4. Calcular a e b. Resolução: Temos o seguinte esquema:
Sabemos que se o mdc é 8, o último resto é zero e o penúltimo é 8. Assim, temos: 2 1 1 4 8 8 0 Como8 é o divisor, 4 o quociente e zero o resto, achamos o dividendo desta divisão:
4 x 8 + 0 = 32. Logo o número anterior a oito é 32. Deste modo 32 será o outro resto Temos o seguinte esquema:
2 1 1 4 32 8 32 8 0 Tendo 32 para divisor, 1 para quociente e 8 para resto, o próximo dividendo será:
32 x 1 + 8 = 40. De modo semelhante, encontramos os outros números:
09) Usando o algoritmo de Euclides, determinar: a) mdc(624, 504, 90). Solução:
Pelo processo anterior acha-se o mdc(624, 504) que é 24. A seguir acha-se o mdc(24, 90) que é 6. R: 6.
Determinar os inteiros positivos a e b sabendo: 10) ab = 4032 e o mmc(a, b) = 336. 1) mdc(a, b) = 8 e o mmc(a, b) = 560. Soluções:
10) Como mmc(a, b) = 336, temos 336 = ak1 e 336 = bk2 .Multiplicando membro a membro estas duas igualdades, temos: 336 x 336 = abk1k2. Substituindo o valor de ab = 4032 nesta última igualdade, temos: 112896 = 4032 k1k2 ou k1k2 = 28. Assim, como k1 e k2 são primos entre si, devemos procurar dois inteiros primos entre si, cujo produto é 28. Encontramos k1 = 1 e k2 = 28, k1 = 4 e k2 = 7. Com estes valores temos a = 336 e b = 12 e a = 84 e b = 48.
1) Temos: mdc(a, b)mmc(a, b) = ab. Então ab = 8560. Temos, portanto um problema já resolvido sobre mdc. A resposta será: a = 8, b = 560; a = 16, b = 280; a = 40, b = 112; a = 56, b = 80.
12) Se a soma de dois números é 320 e o mínimo múltiplo comum entre eles é 600, quais são esses números? Qual é o máximo divisor comum entre eles? Solução: Se X e Y são os números procurados, eles devem ser divisores de 600, logo devem pertencer ao conjunto D(600): R: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 25, 30, 75, 100, 120, 150, 200, 300, 600}. Pares de números deste conjunto que somam 320, são: 300 e 20 ou 200 e 120. O primeiro par não serve, pois MMC (300, 20) = 300. Os números que servem são X = 200 e Y = 120, pois MMC (200, 120) = 600 e MDC (200, 120) = 40.
13) Se a diferença entre dois números naturais é 126 e o máximo divisor comum entre eles é 18, quais são esses números? Solução: Se X e Y são os números procurados, eles devem ser múltiplos de 18 e podem ser escritos na forma X = 18a e Y = 18b onde a e b devem ser determinados. Assim: 18a - 18b = 126, de onde segue que 18(a - b) = 18×7, o que é equivalente a: a - b = 7. Tomando a = 8 e b = 1 teremos X = 144 e Y = 18.
14) Se a soma de dois números naturais é 420 e o máximo divisor comum entre eles é 60, quais são esses números? Solução: Sejam X e Y os números procurados. Se MDC(X, Y)=60, os números X e Y devem ser múltiplos de 60, logo podem ser escritos na forma X = 60a e Y = 60b onde a e b são números inteiros positivos. Assim: 60a + 60b = 420, o que garante que a + b = 7. Devemos escolher números naturais tal que a + b = 7, e assim, temos várias opções. Se a = 6 e b = 1 então X =360 e Y = 60 Se a = 5 e b = 2 então X = 300 e Y = 120 Se a = 4 e b = 3 então X = 240 e Y = 180 Se a = 3 e b = 4 então X = 180 e Y = 240 Se a = 2 e b = 5 então X = 120 e Y = 300 Se a = 1 e b = 6 então X = 60 e Y = 360
Questões Propostas 01) Usando o algoritmo de Euclides, determinar o mdc (306, 657).
02) Usando o algoritmo de Euclides, determinar: a) mdc(285, 675, 405). R: 5. b) mdc(209, 299, 102). R:- 1. c) mdc(69, 398, 253). R: 23.
03) Usando o algoritmo de Euclides, achar inteiros x e y que verifiquem a seguinte igualdade: mdc(56, 72) = 56x + 72y.
	a) 78x + 32y = 2
	e) 238x + 51y = 3 
	b) 104x + 91y = 13
	f) 52x + 13y = 1 
	c) 31x + 19y = 7
	g) 145x + 58y = 87 
	d) 42x + 26y = 16
	h) 17x + 5y = -2 
04) Achar inteiros x e y que verifiquem a seguinte igualdade:
05) Achar inteiros x, y e z que verifiquem a igualdade 198x + 288y + 512z = mdc(198, 288, 512). R: x = -5, y = -217, z = 124. 06) Calcular as soluções de todos os itens abaixo podendo ser obtidas a partir da propriedade mdc(a,b).mmc(a, b) = a.b. a) mmc(83, 68) R: 5644 b) mmc( 120, 110) R: 1320 c) mmc(86, 71) R: 6106 d) mmc(224, 192) R: 1344 e) mmc(1287, 507) R: 16731 f) mmc(143, 227) R: 32461 g) mmc(306, 657) R: 22338
07) Determinar a e b se, a + b = 589 e mmc a b
R: a = 57 e b = 532; a = 217 e b = 372. 08) Demonstrar que se a e b são inteiros positivos tais que o mdc(a, b) = mmc(a, b) então a = b.
09) Sendo a e b inteiros positivos, demonstrar quo o mdc(a, b) sempre divide o mmc(a, b).
10) Quais os dois menores números pelos quais devemos dividir 252 e 234 para que os quocientes obtidos sejam iguais? R: 7 e 9. 1) Quais os números compreendidos entre 100 e 300 divisiveis ao mesmo tempo por 6, 9 e 15? R: 180 e 270. 12) Quais os dois números de três algarismo divisiveis ao mesmo tempo por 8, 9 e 10? R: 360 e 720. 13) Quais os dois menores números pelos quais devemos multiplicar 30 e 54 para que os produtos obtidos seja iguais? R: 9 e 5.
14) Calcular o número que, dividido por 12, 40 e 60 deixa sempre o mesmo resto 5? R: 125. 15) A editora do livro “Matemática” recebeu pedidos de três livrarias sendo que um pedido de 1300 livros, o segundo pedido de 1950 livros e o terceiro pedido de 3900 livros. A editora deseja remeter em n pacotes iguais de tal forma que n seja o menor possível. Calcule o valor de n. R: 650 livros em cada pacote, num total de 1 pacotes.
16) Três peças de tecido medem respectivamente, 180m, 252m e 324m. Pretende-se dividir em retalhos de igual comprimento. Qual deverá ser esse comprimento de modo que o número de retalhos seja o menor possível? Em quantos pedaços as peças serão dividas? R: O comprimento é de 36 m e o número de peças serão de 5, 7 e 9 pedaços.
17) Duas rodas dentadas se engrenam uma a outra, a primeira tem 48 dentes e demora 4 segundos em cada volta, a segunda tem 104 dentes. Colocam-se em movimento e se pergunta ao cabo de quanto tempo, se encontram na mesma posição inicial? R: 52 segundos.
18) Dois ciclistas correm sobre uma pista circular, partindo ao mesmo tempo de uma mesma linha. O primeiro realiza uma volta completa, em 30 minutos e o segundo em 36 minutos. Quantas voltas deverão dar cada um, para que tornem a encontrar-se, sobre a linha de partida? R: 6 e 5.
19) Um remédio deve ser tomado diariamente em intervalos regulares. O fabricante quer que a duração desses intervalos seja um número inteiro de horas (como 3 horas, por exemplo, e nunca três horas e meia). Além disso, o fabricante quer que os horários em que se deve tomar o remédio não mudem de um dia para outro. Existem várias possibilidades para a duração dos intervalos que satisfazem essas exigências do fabricante. Quais são elas?
20) Os planetas Júpiter, Saturno e Urano têm período de translação em torno do Sol de aproximadamente 12, 30 e 84 anos, respectivamente. Quanto tempo decorrerá, depois de uma observação, para que eles voltem a ocupar simultaneamente as mesmas posições em que se encontram no momento de observação? R: 420 anos.
21) Duas pessoas fazendo seus exercícios diários partem de um mesmo ponto e contornam, andando, uma pista oval que circula um jardim. Uma dessas pessoas andando de forma mais acelerada dá uma volta completa na pista em 12 min, enquanto a outra, andando mais devagar, leva 20 min para completar a volta. Depois de quantos minutos essas duas pessoas voltarão a se encontrar no ponto de partida? R: 60 minutos ou 1 hora.
2) Em um certo pais as eleições para presidente ocorrem de 6 em 6 anos e para senador de 4 em 4 anos. Em 1992 essas eleições coincidiram. Dê os anos das quatro próximas vezes em que elas voltaram a coincidir. R: 2004, 2016, 2028, 2040.
23) José é daquelas pessoas que gostam de complicar as coisas. Quando lhe perguntam a sua idade, ele responde “Tenho mais de 40 anos, menos de 50 e minha idade é um múltiplo de 3 e de 8”. Qual é a idade do José? R: 48 anos.
24) De uma rodoviária, parte um ônibus da empresa X a cada 20 minutos e um da empresa Y a cada 45 minutos. Supondo que esses dois ônibus partem juntos às 8 horas da manhã, depois de quanto tempo os ônibus das duas empresas partiram juntos novamente? R: 180 minutos ou 3 horas.
25) Numa estação rodoviária, os ônibus para a cidade A partem de 6 em 6 horas, e para a cidade B, de8 em 8 horas. Numa ocasião, um ônibus para a cidade A partiu junto com outro para cidade B. Quanto tempo depois isso acontecerá de novo? R: 24 horas.
26) Da Praça da República partem, às 6 horas da manhã, dois bondes das linhas X e Y, iniciando o serviço do transporte de passageiros. Sabendo-se que o bonde X volta ao ponto de partida ao cabo de 50 minutos, e o Y, ao cabo de 45 minutos, pergunta-se a que horas os dois bondes partirão novamente juntos da praça da República?
27) Tenho três réguas divididas em partes iguais. Cada parte da primeira tem 3 m, da segunda, 5 m, e da terceira, 12 m. Coloco as três réguas uma do lado da outra, de modo que as suas extremidades coincidam. Quais são os traços de divisão das três réguas que coincidem?
	a) a = 145; b = 72
	R: s = 1 e t = -2. 
	b) a = 896; b = 143
	R: s = 64 e t = -401. 
	c) a = -123; b = 32
	R: s = 13 e t = 50. 
	d) a = -75; b = -15
	R: s = 0 e t = 1. 
	e) a = 102; b = 49
	R: s = -12 e t = 25. 
	f) a = 138; b = 24
	R: s = -1 e t = 6. 
Questões Propostas Envolvendo M.D.C e M.M.C 01) Determine s e t inteiros tais que MDC (a, b) = sa + tb para os seguintes pares de inteiros:
02) Classifique cada afirmação abaixo em Verdadeira ou Falsa, justificando: a) MDC de dois números naturais expressos por n e 2 + 1 é sempre 1, para qualquer natural n. (V). b) Considere a e b números naturais. Então MDC(a, ab + 1) = 2. (F). c) MDC de dois números naturais é sempre um divisor do MMC destes mesmos números. Se a e b são relativamente primos, MMC(a, b) = |a.b|. (V).
	Determine o mdc(a, a1)
	R: d = 1. 
	Quais as possibilidades para o mdc(a, a2)?
	R: d = (1, 2). 
	Quais as possibilidades para o mdc(a, a6)?
	R: d = (1, 2, 3, 6). 
	Quais as possibilidades para o mdc(a, 3a5)?
	R: d = (1, 5). 
03) Seja aN:
04) Determine todos os números de três algarismos divisíveis por 8, 1 e 12, simultaneamente. R: 264, 528 e 792.
05) Encontre todos os possíveis pares de números naturais cujo produto é 3600 e cujo mmc é 1200. R: a = 3 e b = 1200 ou a = 48 e b = 75.
06) Determine dois números cuja soma é 120 e o mmc é 144. R: a = 12 e b = 108 ou a = 24 e b = 96.
	a) quando dividido por 2 tem resto 1
	R: 3. 
	b) quando dividido por 3 tem resto 2
	R: 5. 
	c) quando dividido por 4 tem resto 3
	R: 7. 
	d) quando dividido por 5 tem resto 4
	R: 9. 
	e) quando dividido por 6 tem resto 5
	R: 1. 
	f) quando dividido por 7 tem resto 6
	R: 13. 
07) Achar o menor número natural que satisfaça simultaneamente as condições: g) quando dividido por 8 tem resto 7. R: 15.
h) quando dividido por 9 tem resto 8. R: 17.
	a) mmc(n, 54) = 54
	R: D(54)1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54 
	b) mmc(n, 26) = 26
	R: D(26)1, 2, 13, 26 
08) Determine todos os possíveis números naturais n tais que:
09) O mmc dois números naturais a e b é igual a 1260 e quando dividimos este mmc pelos números a e b o produto dos quocientes obtidos é igual a 90. Determine todos os números naturais a e b satisfazendo esta condição. R: a = 1260 e b = 14, a = 630 e b = 28 e a = 252 e b = 70.
10) O mmc dois números naturais é 300. Dividimos este mmc por a e b, os quocientes obtidos são tais que o seu produto vale 50. Determinem todos os pares de números a e b que satisfazem estas condições. R: a = 300 e b = 6 e a = 150 e b = 12.
(Parte 9 de 10)