AP3 metdet ii 2018 2 tutor

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Gabarito da AP3 – Me´todos Determin´ısticos II – 15/12/2018
Co´digo da disciplina EAD06077
Questa˜o 1 [1,5pts] Considere a func¸a˜o f(x) = 3(x2−1)
x2+3 . Calcule: (a) o dom´ınio de f(x); (b) f
′(x)
e (c) As assintotas.
Soluc¸a˜o: (a) Como e´ uma func¸a˜o racional a u´nica imposic¸a˜o e´ que x3 + 3 ̸= 0. Ao procurar
determinar os valores de x ∈ R tais que x2 + 3 = 0⇔ x2 = −3. Isso mostra que D(f) = R.
(b) Derivando f(x) obtemos
f ′(x) = 6x(x
2 + 3)− 3(x2 − 1)× 2x
(x2 + 3)2
= 24x
(x2 + 3)2
.
(c) Como os polinoˆmios do numerador como do denominador tem o mesmo grau temos
lim
x→−∞
3(x2 − 1)
x2 + 3 = limx→−∞
x2(3− 1/x2)
x2(1 + 3/x2) = 3 e limx→+∞ f(x) = 3.
Questa˜o 2 [1,5pt] Considere f(x) a mesma func¸a˜o da questa˜o 1. Fac¸a a ana´lise do sinal de f ′(x)
e calcule f ′′(x) depois fac¸a a analise do seu sinal.
Soluc¸a˜o: O estudo do sinal de f ′(x) e´ muito fa´cil ele depende apenas do denominador 24x, logo
f ′(x) < 0 se x < 0
Derivando outra vez temos
f ′′(x) = 24 (x
2 + 3)2 − 24x× 2 (x2 + 3)× 2x
(x2 + 3)4
= −72 (x
2 − 1)
(x2 + 3)3
.
O final de f ′′ depende so´ de −(x2−1) = (1−x2). Portanto, f ′′(x) ≥ 0 se −1 ≤ x ≤ 1 e f ′′(x) < 0
se x /∈ [−1, 1].
Me´todos Determin´ısticos II AP2 2
Questa˜o 3 [1,0pt] Considere f(x) a mesma func¸a˜o da questa˜o 1. Explique o comportamento de
f(x) e fac¸a um esboc¸o do gra´fico.
Soluc¸a˜o:
Figura 1: Esboc¸o do gra´fico de f(x) = 3(x2−1)
x2+3
Questa˜o 4 [2,0pts] Um fabricante de antenas consegue vender cada uma por R$85, 00. O custo C
(em reais) para produzir x antenas por semana e´
C(x) = 1500 + 10x+ 0, 005x2
Se o fabricante consegue produzir no ma´ximo 10 000 antenas por semana, quantas ele devera´ produzir
e vender para maximizar o seu lucro?
Soluc¸a˜o: O lucro e´ L(x) a receita menos o custo, logo
L(x) = 85x− (1500 + 10x+ 0, 005x2) = −0.005x2 + 75x− 1500⇒ L′(x) = 75− 0.01x.
Logo o ponto cr´ıtico, tal que L′(x0) = 0 e´ x0 = 7500. Avaliando
L(0) = −1500, L(10000) = 248500 e L(7500) = 279750.
Portanto, de fato, x0 = 7500 e´ um ponto de ma´ximo global.
Questa˜o 5 [1,8pt] Fac¸a o esboc¸o da regia˜o compreendida pelas curvas: y = 4x2, y = 6x − 2 e
calcule a sua a´rea.
Soluc¸a˜o: Igualando temos 4x2 = 6x− 2⇔ 4x2 − 6x+ 2 = 0⇒ x = 12 e x = 1.
A a´rea sera´ dado por
∫ 1
0,5
−4x2 + 6x− 2 dx =
[
−4x
3
3 + 3x
2 − 2x
]1
1
2
= −43 +
9
3 −
6
3 −
(
−16 +
3
4 − 2
)
=− 13 −
(
− 212 +
9
12 −
12
12
)
= − 412 +
5
12 =
1
12 .
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Me´todos Determin´ısticos II AP2 3
Questa˜o 6 [2,2pt] Fac¸a o que e´ pedido
(a) Calcule a derivada de h(t) = t+2
t ln(t2−16) .
(b) Seja y = y(x) uma func¸a˜o definida implicitamente por y2 = ln(x2+ y2). Encontre y′ em termos
de x e y.
Soluc¸a˜o: (a) Derivando obtemos
h′(t) = −2 ((t+ 2)t
2 + (t2 − 16) ln (t2 − 16))
t2 (t2 − 16) ln2 (t2 − 16)
(b) Derivando obtemos
2yy′ = 1
x2 + y2 (2x+ 2yy
′) se x2y + y3 − y ̸= 0⇒ y′ = x
x2y + y3 − y
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