Matrizes_2121.2._nano_

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MATRIZES
Álgebra Linear II
Professor: Mario Jorge
Grupo 1:
Daniel Andrade			DRE: 107352873
Geisa Santos			DRE: 111111111 
Laszlo Gióia			DRE: 111465874
Maiara Trega			DRE:107401923
Pedro da Luz			DRE: 111465719
Rayssa Cristine			 DRE: 111308527
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História
 O início das matrizes e determinantes remontam ao século II a.C. embora alguns vestígios desse assunto foi encontrado no século VI a.C. Somente no final do século XVII que as idéias reapareceram e desenvolveram até os dias atuais. Não é de estranhar que o início de matrizes e determinantes está intimamente relacionado com o estudo dos sistemas lineares. Os babilônios estudaram problemas que levam a resolução de um sistema linear de duas variáveis e duas equações, sendo que alguns destes problemas foram preservados em tabletas de argilas.
Os chineses, entre 200 a.C. e 100 a.C. chegaram muito mais perto de matrizes que os babilônios. Mas Foi Sylvester O primeiro a usar o termo "matriz em 1850.Sylvester definiu uma matriz para ser um arranjo retangular de termos e viu-os como algo que levou a vários determinantes de matrizes quadradas nela contida.
Introdução: História
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2
Definição de Matriz
 Chamamos de matriz uma tabela de elementos dispostos em linhas e colunas. Por exemplo, ao recolhermos os dados referentes a altura, peso e idade de um grupo de quatro pessoas, podemos dispô-los na tabela:
 
Introdução: Definição 
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Altura (m)
Peso (kg)
Idade (anos)
Pessoa 1
1,70
70
23
Pessoa 2
1,75
60
45
Pessoa 3
1,60
52
25
Pessoa 4
1,81
72
30
3
Introdução: Definição 
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 Ao abstrairmos os significados das linhas e colunas, temos a matriz: 
1,70	70	23
1,75	60	45
1,60	52	25
1,81	72	30
	Observe que um problema em que o número de variáveis e de observações é muito grande, essa disposição ordenada dos dados em forma de matriz torna-se absolutamente indispensável.
 Outros exemplos de matrizes são: [1] , [3 0 1]
 Os elementos de uma matriz podem ser números (reais ou complexos), funções, ou ainda outras matrizes.
 
	Sejam m ≥ 1 e n ≥ 1 dois números inteiros, chamamos de matriz uma tabela de m x n elementos distribuídos em m linhas e n colunas.
	Representamos uma matriz de m linhas e n colunas por: 
						
				 =|aij|mn ,onde {1 i  m,				 			 1 j  n} 
Introdução: Definição 
5
Introdução: Definição 
6
	Cada elemento que compõe uma matriz chama-se termo dessa matriz. Dada a matriz A=|aij|mn, ao símbolo aij que representa indistintamente todos os seus termos é chamado de termo geral dessa matriz.
	Para localizar um elemento de uma matriz dizemos a linha e a coluna (nesta ordem) em que ele está. Exemplo: Seja a matriz 
									 ,
						 			 
 o elemento que está na segunda linha e terceira coluna é 2, isto é, a23 = 2.
Tipos de Matrizes
Ao trabalhar com matrizes, observamos que existem algumas que, seja pela quantidade de linhas ou colunas, ainda, pela natureza de seus elementos, têm propriedades que as diferenciam de uma matriz qualquer. Além disso, estes tipos de matrizes aparecem frequentemente na prática e, por isso, recebem nomes especiais.
Consideremos uma matriz com m linhas e n colunas que denotamos por Am x n:
Tipos de matrizes: Definição
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Matriz Retangular
Uma matriz na qual m  n é denominada matriz retangular.
				 = A2 x 4
Matriz Linha
A matriz é de ordem 1 pro n é uma matriz-linha. 
A matriz-linha é denominada vetor-linha.
Tipos de matrizes
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Matriz Coluna
Recebe o nome de Matriz coluna toda matriz que possuir apenas uma coluna. O número de linhas é independente. A matriz-coluna é denominada vetor-coluna.
 Por exemplo:			
				 A =			 
				
Matriz Nula	
 É toda matriz do tipo m x n cujos elementos são todos nulos. Para indicar uma matriz nula utiliza-se a notação:
Tipos de matrizes
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Matriz Quadrada
Matriz quadrada é toda matriz que o número de colunas é o
mesmo do número de linhas. Por exemplo:
Quando a matriz é quadrada nela podemos perceber a
presença de uma diagonal secundária e uma diagonal
principal. 
 
Tipos de matrizes
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Matriz Diagonal
Será uma matriz diagonal, toda matriz quadrada que os
elementos que não pertencem à diagonal principal sejam
iguais a zero. Sendo que os elementos da diagonal principal
podem ser iguais a zero ou não. Por exemplo: 
Tipos de matrizes
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Matriz Escalar
A matriz diagonal que tem os elementos aij iguais entre si para
i = j é uma matriz escalar. Exemplo: 
						A =
Matriz Identidade
Para que uma matriz seja matriz identidade ela tem que ser
quadrada e os elementos que pertencerem à diagonal
principal devem ser iguais a 1 e o restante dos elementos
iguais a zero. Veja o exemplo:
					 I =  
Tipos de Matriz
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MATRIZ TRANSPOSTA
	Seja uma matriz A, de ordem m x n. A matriz transposta da matriz A, é a matriz que At de ordem n x m, que se obtém escrevendo ordenadamente as linhas de A como colunas de At, como mostramos a seguir.
Exemplos:
Tipos de matrizes
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PROPRIEDADES DA MATRIZ TRANSPOSTA
(A + B)t = At + Bt
(kA)t = kAt, sendo k Є R
(At)t = A
(AB)t = BtAt
Tipos de matrizes
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MATRIZ SIMÉTRICA
	A matriz simétrica é, obrigatoriamente, uma matriz quadrada de ordem n, onde a sua transposta é igual a ela própria. Ou seja, sendo S uma matriz de ordem n: S = St.
Exemplos:
Tipos de matrizes
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MATRIZ ANTI-SIMÉTRICA
	A matriz simétrica é, obrigatoriamente, uma matriz quadrada de ordem n, onde a sua transposta é igual a ela própria. Ou seja, sendo S uma matriz de ordem n: St = -S.
 
 
 
 
 
A =
0
-1
5
 
1
0
-3
 
-5
3
3
 
 
 
 
 
 
Exemplos:
Tipos de matrizes
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MATRIZ ORTOGONAL
	Uma matriz ortogonal, é uma matriz quadrada cuja a inversa coincide com a sua transposta.
Exemplos:
Tipos de matrizes
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MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR E INFERIOR
	A matriz quadrada A = [aij], que tem os elementos aij = 0 para i > j é uma matriz triangular superior. A matriz B = [bij] que tem os elementos bij = 0 para i < j é uma matriz triangular inferior. De uma forma simplificada, a matriz triangular superior tem como 0 todos os elementos abaixo da diagonal principal, e a matriz triangular inferior tem como 0 todos os elementos acima da diagonal principal.
Exemplos:
Tipos de matrizes
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MATRIZ OPOSTA
	A matriz oposta de uma matriz A = [aij], é uma matriz B = [bij] tal que bij = -aij. Indicamos a matriz oposta de A por –A.
Exemplos:
Tipos de matrizes
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Dado a matriz A abaixo, encontre a sua matriz transposta.
Calcule A + At = S e verifique se a matriz S é simétrica.
Calcule A - At = P e verifique se a matriz P é anti-simétrica.
 
2
5
9
A =
4
7
1
 
3
6
2
Tipos de matrizes
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Dado a matriz A abaixo, encontre a sua matriz transposta.
 
2
5
9
A =
4
7
1
 
3
6
2
 
2
4
3
At=
5
7
6
 
9
1
2
Tipos de matrizes
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2) Calcule A + At = S e verifique se a matriz S é simétrica.
 
2
5
9
A =
4
7
1
 
3
6
2
 
2
4
3
At=
5
7
6
 
9
1
2
+
=
 
4
9
12
S =
9
14
7
 
12
7
4
Nota-se que S = St. Logo a matriz S é simétrica
Tipos de matrizes
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3) Calcule A - At = P e verifique se a matriz P é anti-simétrica.
 
2
5
9
A =
4
7
1
 
3
6
2
 
2
4
3
At=
5
7
6
 
9
1
2
-
=
 
0
1
6
P=
-1
0
-5
 
-6
5
0
Nota-se que -P = Pt. Logo a matriz P é anti-simétrica
Tipos de matrizes
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Operações com Matrizes
A operação com qualquer matriz sempre resultará em outra matriz, independentemente da operação utilizada.
 
Adição e subtração de Matrizes
As matrizes envolvidas na adição e na subtração devem ser da mesma ordem. E o resultado será também outra matriz com a mesma ordem. 
Assim podemos concluir que: 
Se somarmos ou subtrairmos a matriz A com a matriz B de mesma ordem, A  B = C,
teremos como resultado outra matriz C de mesma ordem e para formar os elementos de C somaremos ou subtrairemos os elementos correspondentes de A e B, assim: a11  b11 = c11. 
Operações com Matrizes: Adição e Subtração 
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Exemplos de adição e subtração
 
Operações com Matrizes: Adição e Subtração 
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Propriedades da Adição
A adição e subtração de matrizes possui as seguintes propriedades:
Propriedade Associativa: A + (B + C) = (A + B) + C
Elemento Neutro: A – 0 = 0 – A = A ( é uma Matriz Nula, não um escalar)
Simétrico Aditivo: - A + A = A – A = 0
Comutatividade:  A + B = B + A
Operações com Matrizes: Adição e Subtração 
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Igualdade de Matrizes
Para que duas ou mais matrizes sejam consideradas iguais elas devem obedecer a algumas regras: 
• Devem ter a mesma ordem, ou seja, o mesmo número de linhas e o mesmo número de colunas. 
• Os elementos devem ser iguais aos seus correspondentes. 
Portanto, podemos concluir que: 
A matriz A2x2 é igual a matriz B se, somente se, a matriz B tiver também a ordem 2x2 e os elementos a11 = b11, a21 = b21, a12 = b12 e a22 = b22. 
 
Operações com Matrizes: Igualdade de matrizes
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Operações com Matrizes: Igualdade de matrizes
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 Veja um exemplo de matrizes: 
As matrizes A e B são iguais, pois preenchem todos os requisitos de igualdade de matrizes.
Multiplicação de matrizes por um escalar
A multiplicação por um escalar é uma das operações mais simples que podem ser feitas com matrizes.
Para multiplicar um número k qualquer por uma matriz m×n  A, basta multiplicar cada entrada aij de A por k. Assim, a matriz resultante B será também m×n e bij = k . aij.
Com isso, pode-se pensar também na noção de dividir uma matriz por um número: basta multiplicá-la pelo inverso desse número. Mas essa noção pode ser perigosa: enquanto a multiplicação entre um número e uma matriz pode ser dita "comutativa", o mesmo não vale para a divisão, pois não se pode dividir um número por uma matriz.
Operações com Matrizes: Multiplicação de matrizes por um escalar
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Operações com Matrizes: Multiplicação de matrizes por um escalar
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	É impossível somar ou subtrair escalares de matrizes.
	A multiplicação por escalar possui as seguintes propriedades:
Associativa em relação ao Escalar: 
Distributiva em relação ao Escalar: 
Distributiva em relação à Matriz: 
Elemento Neutro: 
Multiplicação de uma matriz por outra
O produto de duas matrizes é definido somente quando o número de colunas da primeira matriz é igual ao número de linhas da segunda matriz. Se A é uma matriz m-por-n e B é uma matriz n-por-p, então seu produto é uma matriz m-por-p definida como AB (ou por A · B). O produto é dado por:
Operações com matrizes: Multiplicação de uma matriz por outra
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31
Operações com matrizes: Multiplicação de uma matriz por outra
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 que é igual à soma dos produtos dos elementos da i- ésima linha de A pelos elementos da j-ésima coluna de B. Assim, nós multiplicamos todas as linhas de A por todas as colunas de B. Se A é (n×m) e B é (m×p) então C = AB é (n×p). Por exemplo,
 Então: B(3x2) x A(2x3) = D(3x3) =
 A(2x3) x B(3x2) = C(2x2) =
Operações com matrizes: Multiplicação de uma matriz por outra
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	Se A é n×m e B é m×p, onde n ≠ p, então o produto AB é definido, mas BA não é definido. Se A é n×p e B é p×n, então AB é n×n e BA é p×p. Neste caso, certamente, AB ≠ BA, como ilustrado no exemplo anterior. Se A e B são n×n então AB e BA têm o mesmo tamanho, mas, em geral: 
				 AB ≠ BA 
	Os produtos AB e BA são diferentes. Logo, a multiplicação de duas matrizes não é comutativa. Existem matrizes A e B, tais que AB = BA, porém essa não é a regra. Aqui apresentaremos dois desses casos especiais.
Operações com matrizes: Multiplicação de uma matriz por outra
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	1° Caso:		Sejam matrizes quadradas:
						 A =		 e I =
	
	AI = 			 = 
	
	IA =			 = 
	
	Como se vê:
		AI = IA = A 
	É fácil generalizar dizendo que, dadas duas matrizes A e I, de mesma ordem n, a multiplicação dessas matrizes é comutativa e a matriz produto é igual à matriz A.
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Operações com matrizes: Multiplicação de uma matriz por outra
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	2° Caso:		Sejam as matrizes quadradas:
				 
					 A =	 e B =
	AB = 			 =
	BA =		 =
	Como se vê: AB = BA = I . A matriz B que satisfaz à condição AB = BA = I , diz-se inversa de A e se representa por A-1 . A A-1 = A-1 A = I
	Assim, para saber se, dadas duas matrizes quadradas A e B, de mesma ordem, uma é inversa da outra, basta multiplicar uma pela outra e verificar se o produto é a matriz I.
Propriedades da multiplicação de matrizes
Em geral AB ≠ BA 
AI = IA = A
A(B + C) = AB + AC
(A + B)C = AC + BC
(AB)C = A(BC)
(AB)’ = B’A’
0 x A = 0 e A x 0 = 0
Operações com matrizes: Multiplicação de uma matriz por outra
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Potência de uma matriz
	Uma matriz quadrada A = [aij] pode ser multiplicada n vezes por si mesma. A matriz que resulta dessas operações, e que se representa por An, é chamada potência n da matriz A.
Operações com Matrizes: Potência de uma matriz
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Matriz Periódica
Dada uma matriz quadrada A, diz-se que A é uma matriz
periódica se An = A, sendo n  2. Se n é o menor inteiro para o
qual An = A, diz-se que o período de A é n – 1.
Ak+1= A
Matriz Idempotente
Dada uma matriz periódica A, tal que A2 = A, diz-se que A é
uma matriz idempotente. O período da matriz idempotente é 
2 – 1 = 1. 
Operações com Matrizes: Potência de uma matriz
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Matriz Nilpotente
Dada uma matriz quadrada A, se existir um número p,
inteiro e positivo, tal que = 0, diz-se que A é uma matriz
nilpotente. Se p é o menor inteiro positivo tal que = 0, diz
se que A é uma matriz nilpotente de índice p.
Ak = 0
Operações com Matrizes: Potência de uma matriz
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