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Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto de Matemática
Álgebra Linear II
Professor: Mário Jorge
Autores:
Thaiane Passeri
André Machado
Isabela Dantas
Victor Colacino
Alexandre Hosang 
1
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Parte histórica
Definições e Conceitos
Tipos Especiais
Operações
Matrizes
Bibliografia
2
O B R I G A D O !!
D Ú V I D A S ??
3
Bibliografia
http://www.matematiques.com.br/
www.ead.pep.br/moodle
Livro de Algebra Linear 
	(Boldrini/Costa)
4
Parte Histórica
 O primeiro a lhes dar um nome parece ter sido Cauchy, em 1826: tableau ( = tabela ).
O nome matriz só veio com James Joseph Sylvester, 1850. Seu amigo Cayley, com sua famosa Memoir on the Theory of Matrices, 1858, divulgou esse nome e iniciou a demonstrar sua utilidade.
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Definições e Conceitos:
Função que a cada par ordenado (i,j) no conjunto Smxn associa um número real.
Matriz Real:
 Ordem: Se a matriz A tem m linhas e n colunas, dizemos que a ordem da matriz é m×n.
 Posição de um elemento: cada elemento de uma matriz é representado pela notação aij, onde i é a linha em que ele está localizado e j a coluna.
 Diagonal principal: A diagonal principal da matriz é indicada pelos elementos da forma a(i,j) onde i=j.
 A diagonal secundária de uma matriz quadrada de ordem n é indicada pelos n elementos: a(1,n), a(2,n-1), a(3,n-2), a(4,n-3), a(5,n-4), ..., a(n-1,2), a(n,1)
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Tipos Especiais:
Número de linhas igual ao número de colunas
m = n
Matriz Quadrada:
Todos os elementos iguais a zero
Matriz Nula:
Possui apenas 1 linha (m=1)
Matriz Linha:
Possui apenas 1 coluna (n=1)
Matriz Coluna:
Todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais iguais a 0
Matriz Identidade:
Todos os elementos abaixo da diagonal principal são iguais a 0
Matriz Triangular Superior:
Todos os elementos acima da diagonal principal são iguais a 0
Matriz Triangular Inferior:
Matriz quadrada onde a(i,j) = a(j,i)
Matriz Simétrica:
7
Propriedades da Transposta:
 A transposta da transposta da matriz é a própria matriz: 				(At)t = A
 A transposta da multiplicação de um escalar por uma matriz é igual ao próprio escalar multiplicado pela transposta da matriz: (kA)t = k (At)
 A transposta da soma de duas matrizes é a soma das transpostas dessas matrizes: (A + B)t = At + Bt
 A transposta do produto de duas matrizes é igual ao produto das transpostas das matrizes na ordem trocada: (A B)t = Bt At
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Propriedades da Adição e Subtração:
 Comutativa - A + B = B + A 
 Associativa - (A + B) + C = A + (B + C) 
 
 Elemento Neutro - A + 0 = 0 + A = A 
 Elemento Oposto - A + (-A) = (-A) + A = 0 
 Transposta da Soma(A + B)T = AT + BT
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Propriedades da Multiplicação por escalar:
Multiplicação pelo escalar 1: A multiplicação do escalar 1 por qualquer matriz A, fornecerá a própria matriz A, isto é A x 1 = A
Multiplicação pelo escalar zero: A multiplicação do escalar 0 por qualquer matriz A, fornecerá a matriz nula, isto é A x 0 = 0
Distributividade das matrizes: Para quaisquer matrizes A e B de mesma ordem e para qualquer escalar k, tem-se: k(A + B) = kA + kB
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Propriedades da Multiplicação de Matrizes:
Não é comutativa – AxB é diferente de BxA
Elemento neutro – Qualquer matriz multiplicada pela identidade resulta nela própria, ou seja: A x Id = A
Associatividade – A(BxC) = (AxB)C
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Definições e Conceitos:
Função que a cada par ordenado (i,j) no conjunto Smxn associa um número real.
Matriz Real:
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Definições e Conceitos:
 Ordem: Se a matriz A tem m linhas e n colunas, dizemos que a ordem da matriz é m×n.
 Posição de um elemento: cada elemento de uma matriz é representado pela notação aij, onde i é a linha em que ele está localizado e j a coluna.
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Definições e Conceitos:
 Diagonal principal: A diagonal principal da matriz é indicada pelos elementos da forma a(i,j) onde i=j.
 A diagonal secundária de uma matriz quadrada de ordem n é indicada pelos n elementos: a(1,n), a(2,n-1), a(3,n-2), a(4,n-3), a(5,n-4), ..., a(n-1,2), a(n,1)
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Operações com Matrizes:
 Definição: Dada uma matriz A=[a(i,j)] de ordem m×n, definimos a transposta da matriz A como a matriz At = [a(j,i)]
 Exemplos:
Transposição:
 Propriedades:
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Operações com Matrizes:
 As matrizes envolvidas na adição e na subtração devem ser de mesma ordem.
 Exemplos:
Adição e Subtração:
 a11 + b11 = c11 , a12 + b12 = c12 , (...) aij + bij = cij 
 Propriedades:
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Operações com Matrizes:
 Para multiplicar uma matriz A por um escalar k, basta multiplicar por k cada um dos seus elementos
 Exemplos:
Multiplicação por Escalar:
 Propriedades:
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Operações com Matrizes:
 Número de colunas de A deve ser igual ao número de linhas de B
Amxn X Bnxp = Cmxp
Multiplicação de Matrizes:
 Propriedades:
 Exemplos:
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Tipos Especiais:
Número de linhas igual ao número de colunas
m = n
Matriz Quadrada:
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Tipos Especiais:
Todos os elementos iguais a zero
Matriz Nula:
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Tipos Especiais:
Possui apenas 1 linha (m=1)
Matriz Linha:
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Tipos Especiais:
Possui apenas 1 coluna (n=1)
Matriz Coluna:
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Tipos Especiais:
Todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais iguais a 0
Matriz Identidade:
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Tipos Especiais:
Todos os elementos abaixo da diagonal principal são iguais a 0
Matriz Triangular Superior:
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Tipos Especiais:
Todos os elementos acima da diagonal principal são iguais a 0
Matriz Triangular Inferior:
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Tipos Especiais:
Matriz quadrada onde a(i,j) = a(j,i)
Matriz Simétrica:
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