Trabalho_Matriz.ee1.2010.1

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

*
Matriz
Grupo:
Filipe Barretto
Gabriel Santos
Gustavo Gontijo
Jaime Arcanjo
Jefferson Souza
Thiago Duarte
Álgebra Linear II
Professor Mário Jorge
Turma EE1/EAM
*
Índice
1 – Introdução
1.1 – Definição
1.2 – Origem
1.3 - Representação
2 – Tipos especiais
2.1 – Matriz Identidade
2.2 – Matriz Nula
2.3 – Matriz Escalar
2.4 – Matriz Quadrada
2.5 – Matriz Transposta
2.6 – Matriz Simétrica
2.7 – Matriz Anti-Simétrica
2.8 – Matriz Triangular
2.9 – Matriz Diagonal
2.10 – Matriz Inversa
3 – Operações
3.1 – Adição
3.2 – Subtração
3.3 – Multiplicação por escalar
3.4 – Multiplicação de Matrizes
4 – Aplicações
4.1 – Elétrica
4.2 – Computação
4.3 – Mecânica
4.4 - Automóveis
5 - Exercícios
*
Introdução
Definição
Origem
Representação
*
1 – Definição:
Uma matriz real (ou complexa) é uma função que a cada par ordenado (i,j) no conjunto Smn associa um número real (ou complexo).
Uma forma comum e prática para representar uma matriz definida na forma acima é através de uma tabela contendo m×n números reais (ou complexos). Identificaremos a matriz abaixo com a letra A.
*
	2 – Origem
	O termo matriz tem a sua origem descrita no estudo de sistemas lineares de equações com os Babilônios em 300 AC. E também, podemos acrescentar os chineses nesta descoberta, que entre 200 AC e 100 AC, chegaram ainda mais perto das matrizes que os Babilônios.
	
*
3 – Representação e Estrutura de matrizes:
	Para representar uma matriz devemos colocar as linhas e colunas entre parênteses, colchetes ou entre duas barras duplas, como nos exemplos:
*
	Para efeito ilustrativo, uma matriz que possui m(i) colunas e n(j) linhas é chamada de uma matriz m×n e m e n são chamadas de suas dimensões, tipo ou ordem:
Um elemento da matriz ao lado que está na i-ésima linha e na j-ésima coluna pode ser escrito das seguintes formas: aij ou a[ij]
*
Tipos de Matrizes
Matriz Identidade
Matriz Nula
Matriz Escalar
Matriz Quadrada
Matriz Transposta
Matriz Simétrica
Matriz Anti-Simétrica
Matriz Triangular
Matriz Diagonal
Matriz Inversa
*
1 – Identidade : 
	Matriz identidade, em matemática , é uma matriz quadrada e uma matriz diagonal, cuja função é de ser o elemento neutro, na multiplicação de matrizes. É denotada por In (onde n é a ordem da matriz), ou simplesmente por I. A matriz é construída da seguinte forma: os elementos da diagonal principal têm valor um, e os demais elementos da matriz são zero.
Para qualquer matriz A, as seguintes igualdades são válidas:
 
Uma matriz identidade se apresenta da seguinte forma:
Modelo de matriz Identidade
Uma matriz identidade I é definida por:
*
2 – Matriz Nula:
 
Uma matriz nula é qualquer matriz onde todos os seus elementos são iguais a zero
São exemplos: 
*
3 – Matriz Escalar:
	Uma Matriz Escalar é toda aquela na qual m = n cujo elemento Ai,j = 0 se i diferente de j e Ai,j= X. Isto é, todos os valores são nulos, exceto os valores da diagonal principal que possuem sempre o mesmo valor
 Exemplo:
	 
	
= 2 x
*
4 - Matriz Quadrada
	Uma matriz é dita quadrada quando seu número de linhas é igual ao seu número de colunas, e são os únicos tipos de matrizes que contém determinantes, além disso toda matriz simétrica e toda matriz anti-simétrica é sempre quadrada. Matrizes quadradas podem ser singulares ou invertíveis.
	Se uma matriz real M tem o mesmo número, n, de linhas e de colunas diz-se que M é uma matriz quadrada de dimensão n. 
	
	Por exemplo, a matriz abaixo, é uma matriz quadrada de dimensão 3.
M =
*
5 - Matriz Transposta
A transposta de uma matriz é a matriz obtida pela troca das linhas pelas colunas da matriz original, de modo que a coluna j da matriz original passe a ser a linha j da matriz transposta e a linha i da matriz original passe a ser a coluna i da matriz transposta. 
	
	A transposta de uma matriz A é indicada pela notação AT ou A'. A transposta de uma matriz m x n será sempre uma matriz n x m.
*
6 – Matriz Simétrica
Em álgebra linear, uma matriz diz-se simétrica se coincidir com a sua transposta, ou seja: A = AT 
Propriedades: 
- Se A é uma matriz simétrica de ordem n, então para qualquer escalar k, a matriz k.A também é simétrica
- Se A é uma matriz quadrada de ordem n, então a matriz B = A + AT é simétrica
- Se A é uma matriz quadrada de ordem n, então a matriz B = A − AT é uma matriz anti-simétrica
Se A é uma matriz quadrada de ordem n, então A sempre pode ser decomposta como a soma de uma matriz simétrica S com uma matriz anti-simétrica T, isto é, A = S + T, onde:
Exemplo: 
 
é simétrica, pois a12 = a21 = 5, a13 = a31 = 6, a23 = a32 = 4, ou seja, temos sempre       a ij = a ij.
*
7 – Matriz Anti simétrica 
	
Uma matriz anti-simétrica é aquela com a qual sua matriz transposta coincide com sua matriz oposta:
	At = − A		
Equivalentemente, os termos aij satisfazem: aij = -aij
Exemplo:
	
*
8 – Matriz Triangular:
Uma matriz é triangular quando os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são zero.
uma matriz triangular superior é aquela em que os elementos abaixo da diagonal são zero:
- uma matriz triangular inferior é aquela em que os elementos acima da diagonal são zero:
Exemplo de matriz triangular superior
Exemplo de matriz triangular inferior
*
9 – Matriz Diagonal: 
Será uma matriz diagonal, toda matriz quadrada em que os elementos que não pertencem à diagonal principal sejam iguais a zero. Sendo que os elementos da diagonal principal podem ser, ou não, iguais a zero.
Uma matriz diagonal:
	- é simétrica
	- tem por valores próprios os elementos da diagonal e por vectores próprios os vectores da base canónica
	- tem determinante igual ao produto dos elementos da diagonal
Exemplo: 
*
10 - Matriz Inversa:
	 Uma matriz quadrada A é dita invertível quando existe outra matriz denotada A-1 tal que: 
Onde I é a matriz identidade e A-1 é a matriz inversa de A.
Exemplo de inversão de matrizes: O método tradicional de procura da inversa consiste-se em associar variáveis arbitrárias aos elementos de uma matriz e aplicar a definição:
Se queremos descobrir a inversa da matriz de dimensões 2 x 2 representada abaixo atribuir variáveis aos elementos de A-1 e resolver o sistema:
*
Operações com Matrizes
Adição
Subtração
Multiplicação por escalar
Multiplicação de Matrizes
*
Adição
 Para se somar duas matrizes, ambas precisam ter o mesmo número de linhas e colunas, resultando em uma matriz de mesmo tamanho, onde cada elemento (ij) da matriz resultado é a soma dos elementos (ij) das matrizes somadas.
Exemplo:
+
=
*
Propriedades de adição de Matrizes
Comutativa: Para quaisquer A e B ϵ Mmxn, tem-se A + B = B + A
Associativa: Para quaisquer A,B,C ϵ Mmxn, tem-se (A + B) + C = A + (B + C)
Elemento neutro: Existe um elemento 0 ϵ Mmxn tal que, para todo A ϵ Mmxn, tem-se A + 0 = A
Elemento oposto: Para todo elemento A ϵ Mmxn, existe um elemento (-A) ϵ Mmxn tal que A + (-A) = 0.
*
Subtração
 Para se subtrair duas matrizes ambas precisam ter o mesmo número de linhas e colunas, resultando em uma matriz de mesmo tamanho, onde cada elemento (ij) da matriz resultado é a subtração dos elementos (ij) das matrizes subtraídas.
Exemplo:
-
=
*
Multiplicação por escalar
 Multiplicando-se uma matriz por um número real (x), a matriz resultante possui o mesmo tamanho da matriz original, onde cada elemento (ij) da matriz resultado é equivalente a multiplicação de cada elemento (ij) da matriz original pelo número real (x).
Exemplo:
 
 
=
*
Multiplicação de Matrizes
 Para se multiplicar uma matriz Amxn pela matriz Boxp o número de colunas de A deve ser igual ao número de linhas de B, resultando em uma matriz Cmxp
A3x2 B2x2 AxB3x2
*
Aplicações
Elétrica
Computação
Mecânica
Automóveis
*
 Na engenharia elétrica, é muito difícil resolver problemas de circuitos elétricos e linhas de transmissão de energia elétrica sem matrizes.Trabalhar com uma malha de linha de transmissão é passar esse circuito para forma matricial mais fácil.
1 - Elétrica
*
As matrizes são muito utilizadas na computação para representarmos translação, rotação, escala de objetos em computação gráfica, para se resolver sistemas de equações , etc.
Reduzindo o movimento de uma figura ao de um conjunto FINITO de seus pontos
 O interesse de atingir esse objetivo está em que ele nos possibilitará reduzir o movimento rígido da figura à uma multiplicação de duas matrizes 
2 - Computação
*
Atualmente, o projeto de novas peças para automóveis é realizado através de simulações em computadores, dada a necessidade de produzir modelos novos com o menor custo e em menor tempo possíveis. O método dos elementos finitos é aplicado na modelagem das peças e no estudo das tensões produzidas sobre elas para avaliar a sua resistência (procura-se reduzir ao mínimo possível a possibilidade de que uma peça se quebre ou não funcione como deva, antes de se produzir o protótipo). Isso resulta em matrizes freqüentemente com milhares ou milhões de variáveis e são necessários algoritmos muito poderosos para se lidar com estas matrizes e resolver os sistemas lineares resultantes. 
3 - Mecânica
*
Uma aplicação de Álgebra Linear à Engenharia Automobilística: obtenção da freqüência natural do eixo traseiro de um automóvel através de métodos numéricos. Na indústria automobilística, hoje em dia, existe uma crescente necessidade de testes em componentes ainda na fase de projeto a fim de prever seu desempenho quando em condições de operação. Fenômenos vibratórios como a ressonância de componentes automotivos em relação às velocidades de rotação do motor e tipos de terreno devem ser levados em consideração, pois podem levar a estrutura a esforços e desgastes excessivos diminuindo sua vida útil ou aumentando o desconforto do usuário. O procedimento experimental utilizado pela indústria para testes sobre o comportamento vibracional envolve um alto custo no desenvolvimento do produto. Assim, é necessária a implantação de métodos numéricos simples e precisos de forma a predizer as freqüências naturais dos componentes e a faixa de sua atuação. Para tanto, o Método das Matrizes de Transferência oferece não só rapidez e precisão, como simplicidade e versatilidade. 
4 -Automóveis 
*
Exercícios
1) Monte a Matriz Quadrada de ordem 2, A = (aij) com aij = (-1)i+j . i . j.
2) Sejam A e B matrizes n x n, tais que A² = 0, B² = 0 e (A+B)² = 0. Mostre que (AB)³ = 0. 
3) A e B são matrizes de ordem n tais que AB + A + B = 0. Prove que AB = BA.
*
1) Monte a Matriz Quadrada de ordem 2, A = (aij) com aij = (-1)i+j . i . j.
*
2) Sejam A e B matrizes n x n, tais que A² = 0, B² = 0 e (A+B)² = 0. Mostre que (AB)³ = 0. 
(A+B)²
(AB)³ = AB . AB . AB
= A . BA . B . AB
BA = -AB
= A² + AB + BA + B²
= 0
= A . (-AB) . B . AB
= -A² . B . B . AB
(AB)³ = 0
*
3) A e B são matrizes de ordem n tais que AB + A + B = 0. Prove que AB = BA.
AB + A + B = 0
A . (B + I) + B = 0
A . (B + I) + B + I = I
A . (B + I) + I . (B + I) = I
(A + I) . (B + I) = I
(A + I) . (B + I) = (B + I) . (A + I)
AB + A + B + I = BA + A + B + I
AB = BA
*
Bibliografia
http://www.mat.ufmg.br/gaal/aplicacoes/aplicacoes.html
http://aulasdematem.blogspot.com/2008/06/aplicaes-de-matrizes-e-determinantes.html
Prova IMC 2003
http://www.wikipedia.com
http://ead.pep.ufrj.br/moodle