matriz_intoducao

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Matrizes 
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Introdução
	Suponhamos que o responsável pelo almoxarifado de uma empresa de produtos
químicos resolva organizar o seu estoque de reagentes. Para cada reagente contido
no almoxarifado e para cada mês do ano, ele deve destacar a quantidade
do produto em estoque.
Exercício 1 Proponha uma maneira eficiente de organizar os seguintes produtos,
onde os números entre parênteses indicam a quantidade do reagente em
estoque nos meses de janeiro, fevereiro, marco e abril, respectivamente:
 
acido clorídrico (23, 10, 17, 32);
 hidróxido de amônia (42, 13, 44, 27);
 sulfato de alumínio (12, 15, 7, 16);
A solução mais utilizada para este tipo de problema e a construção de uma
tabela, onde as linhas podem representar os reagentes e as colunas, os meses.
É possível simplificar a forma de representar o movimento do estoque na
empresa colocando apenas os respectivos resultados de cada mês, ocultando os
nomes de reagentes e meses:
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Introdução
Desta forma, se quisermos saber a quantidade em estoque do produto hidróxido de amônia no mês de marco, basta procurar o numero que esta na segunda linha e terceira coluna: 44.
Esse tipo de organização recebe o nome de matriz. Formalmente, uma matriz e um conjunto ordenado de elementos dispostos em linhas e colunas.
No exemplo acima, a matriz possui três linhas e quatro colunas. Dizemos que esta e uma matriz de ordem (ou tipo) 3x4 (lê-se três por quatro).
Em geral, uma matriz de ordem m x n possui m linhas e n colunas.
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Representação Algébrica
Começaremos com a notação: utilizaremos sempre letras maiúsculas para indicar matrizes e letras minúsculas com índices para designar seus elementos.
Exercício 4 Dada a matriz
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Representação Algébrica
determinar:
a) O elemento da segunda linha e primeira coluna;
b) O elemento da terceira linha e quarta coluna;
A matriz do exercício anterior pode ser escrita como:
onde o elemento a21 = 12 e o elemento a34 = 116.
Genericamente, uma matriz A, de ordem m x n, pode ser representada por:
Podemos também escrever:
Definição 1 (Matriz) Uma matriz A e dada por
A = (aij) m x n com 1 i m e 1 j n
onde o elemento aij e o elemento da linha i e da coluna j.
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Matrizes Quadradas
	Se o numero de linhas de uma matriz e igual ao seu numero de colunas, trata-se
de uma matriz quadrada e podemos dizer que a sua ordem e n, ao invés de n x n.
Exercício 1: Dê um exemplo de uma matriz quadrada de ordem 3. Os elementos de uma matriz quadrada de ordem n tais que i = j formam uma diagonal denominada diagonal principal. Ou seja, se A = (aij)n x n, então a diagonal principal e constituída pelos elementos aii, 1 i n.
Exercício 2: Escreva os elementos da diagonal principal da matriz do exercício 1.
A outra diagonal, qual seja, dos elementos aij tais que i + j = n + 1, e
chamada diagonal secundaria.
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Matriz Diagonal
Observe a matriz A:
Todos os elementos fora da diagonal principal são nulos. Este tipo de matriz é chamado matriz diagonal. Formalmente, uma matriz diagonal é uma matriz quadrada A = (aij)n x n , tal que aij Єє R se i = j e aij = 0, se i ≠ j.
Exerccio: Dizer se as matrizes abaixo são diagonais:
As matrizes do exercício anterior são especiais: a primeira e chamada matriz nula, que representaremos por 0, e a segunda matriz identidade, representada por In, onde n e a ordem da matriz. A matriz nula pode ter qualquer ordem, não sendo necessariamente uma matriz quadrada. Já a matriz identidade In é uma matriz diagonal (e portanto quadrada), tal que todos os elementos de sua diagonal principal possuem valor 1.
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Matriz Transposta
Se A e uma matriz de ordem m x n, denominamos a transposta de A a matriz de ordem n x m, obtida a partir de A trocando-se as linhas pelas colunas. Indica-se a transposta de A por At.
Por exemplo, a matriz transposta de:
Determine At onde:
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Igualdade de Matrizes
Dadas as matrizes A = (aij)mxn e B = (bij)pxq, podemos armar que A e B são iguais se e somente se:
1. m = p e n = q (ou seja, se elas têm a mesma ordem);
2. aij = bij para todo 1≤ i≤ m e 1 ≤ j ≤ n.
Determinar se as seguintes matrizes são iguais:
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Operações com Matrizes: Adição
A adição de duas matrizes A = (aij)mxn e B = (bij)mxn
e a matriz C = (cij)mxn dada por cij = aij + bij , (1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n).
EXEMPLO:
Dado duas matrizes, A e B, encontre a matriz C tal que: A + B = C.
C = + = 
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SUBTRAÇÃO DE MATRIZES
A subtração de duas matrizes A = (aij)mxn e B = (bij)mxn
e a matriz C = (cij)mxn dada por cij = aij - bij , (1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n).
EXEMPLO:
Dado duas matrizes, A e B, encontre a matriz C tal que: A - B = C.
C = - = 
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PROPRIEDADES DA ADIÇÃO DE MATRIZES
Para cada m e cada n, acabamos de definir uma operação binária (ou seja, que
possui dois operandos) sobre o conjunto das matrizes de ordem mxn: a adição.
Chamaremos de Mmxn o conjunto das matrizes de ordem mxn. A operação de
adição possui as seguintes propriedades:
1. COMUTATIVA - Para quaisquer A;B є Mmxn, tem-se A + B = B + A;
2. ASSOCIATIVA - Para quaisquer A;B;C є Mmxn, tem-se (A + B) + C = A + (B + C);
3. ELEMENTO NEUTRO - Existe um elemento 0 є Mmxn tal que, para todo A є Mmxn, tem-se A + 0 = A;
4. ELEMENTO OPOSTO - Para todo elemento A є Mmxn, existe um elemento ( - A) є Mmxn tal que A + ( - A) = 0.
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MULTIPLICAÇÃO DE NUMERO REAL POR MATRIZ
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MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES
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MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES
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MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES
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MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES
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Matriz Oposta
Denomina-se matriz oposta de uma matriz A = (aij)m x n a matriz ( - A) =
(a’ij) m x n cujos elementos são os simétricos dos elementos correspondentes de A,
ou seja, a’ij = - aij .
Desta forma, a subtração A - B pode ser escrita como A + ( - B).
EXEMPLO 1 - Se A e uma matriz de ordem m x n, qual e o resultado da soma
A + ( - A)?
EXEMPLO 2 - Invente duas matrizes, A e B, de ordem 4x3, e verifique se A +
B = B + A. Você acha que o resultado que você encontrou vale para qualquer
soma de matrizes?
EXEMPLO 3 - Invente três matrizes, A, B e C, de ordem 3x4, e verifique se
(A+B)+C = A+(B +C). Você acha que o resultado que você encontrou vale
para qualquer soma de matrizes?
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Tipos Especiais de Matrizes
 Uma Matriz Quadrada é toda aquela na qual m = n. Isto é, ela possui o mesmo número de linhas e de colunas. 
 Uma Matriz Linha é toda aquela na qual m = 1. Isto é, ela possui apenas uma linha.
 
 Uma Matriz Coluna é toda aquela na qual n = 1. Isto é, ela possui apenas uma coluna. 
 Uma Matriz Diagonal é toda aquela na qual m = n e cujo elemento Ai,j = 0 se . Isto é, possui todos os valores iguais à zero, exceto os elementos da diagonal principal. 
 
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Tipos Especiais de Matrizes
Uma Matriz Escalar é toda aquela na qual m = n cujo elemento Ai,j = 0 se e Ai,j = X. Isto é, todos os valores são nulos, exceto os valores da diagonal principal que possuem sempre o mesmo valor. 
 Uma Matriz Nula é toda aquela cujos elementos Ai,j = 0. Isto é, se todos os seus elementos forem nulos. 
 Uma Matriz Identidade é toda aquela na qual m = n cujos elementos Ai,j = 0 se e Ai,j = 1 se i = j. Isto é, possui todos os valores nulos, exceto os valores da diagonal principal que valem sempre 1. 
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Aplicações de Matrizes em nosso dia-a-dia.
Muitas animações que vemos no cinema utilizam matrizes. Desde o movimento dos personagens até o quadro de fundo podem ser criados por softwares que combinam pixels em formas geométricas, que são armazenadas e manipuladas. Os softwares codificam informações como posição, movimento, cor e
textura de cada pixel. Para isso, utilizam vetores, matrizes e aproximações poligonais de superfícies para determinar a característica de cada pixel. Um simples quadro de um filme criado no computador tem mais de dois milhões de pixels, o que torna indispensável o uso de computadores para realizar todos os cálculos necessários.
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HOMENAGEM AO BARILLI