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GABARITO DA LISTA DA PROFESSORA MARIA HELENA
PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS
Escreva o termo seguinte de cada uma das progressões geométricas:
(1, 2, 4, ...)
(–3, 18, –108, ...)
Solução.
a) Calculando q = 2 ÷ 1 = 4 ÷ 2 = 2. O termo seguinte será: 4 x 2 = 8.
b) Calculando q = 
 O termos seguinte será: 15 x 3 = 45.
c) Calculando q = 
O termo seguinte será: 
d) Calculando q = 18 ÷ - 3= - 108 ÷ 18 = - 6. O termo seguinte será: - 108 x - 6 = 648.
Escreva uma P.G. de quatro termos, dados a1 = 3 e q = 2.
Solução. Para encontrar os termos basta multiplicar cada um termo pela razão. Logo temos:
a1 = 3
a2 = 3 x 2 = 6 
a3 = 3 x 2 = 12 
a4 = 3 x 2 = 24
Sabendo-se que x – 4, 2x + 4 e 10x – 4 são termos consecutivos de uma P.G., calcule x de modo que eles sejam positivos.
Solução. Aplicando a propriedade para encontrar a razão, temos:
. Multiplicando os termos, (2x + 4)2 = (x - 4).(10x - 4). Resolvendo o quadrado no 1º membro e o produto no 2º, temos a equação: 4x2 + 16x + 16 = 10x2 - 4x – 40x + 16. Eliminando os simétricos e simplificando, vem: - 6x2 – 60x = 0 dividindo por (-6) e colocando “x” em evidência, temos: x (x – 10) = 0. 
Logo x = 0 ou x = 10. Se x = 0, o termo x – 4 será negativo. O problema pede termos positivos. Logo x = 10.
Sabendo-se que a sucessão (x – 1, x + 2, 3x, ...) é uma P.G. crescente, determine x.
Solução. Aplicando a propriedade para encontrar a razão, temos:
. Multiplicando os termos, (x + 2)2 = (x - 1).(3x). Resolvendo o quadrado no 1º membro e o produto no 2º, temos a equação: x2 + 4x + 4 = 3x2 - 3x. Simplificando, vem: 2x2 – 7x - 4 = 0. Resolvendo a equação, temos x = 4 ou x = - 0,5. 
i) Para x = - 0,5 temos a PG = -1,5 ; 1.5 ; -1,5 que não é crescente.
ii) Para x = 4 temos a PG = = 3 ; 6 ; 12 que é crescente. Logo a resposta é x = 4.
A soma de três termos consecutivos de uma P.G. é 21 e o produto, 216. Sabendo-se que a razão é um número inteiro, calcule esses números.
Solução. Sejam os termos: x , x.q , x.q2. Temos pela informação do problema que a soma dos termos x + xq + x.q2 = 21 e o produto (x. xq . xq2) = 216. Logo x3q3 = 216 ou (xq)3 = 216. Calculando a raiz cúbica, temos que xq = 6. Como x não é zero, pois o produto dos termos seria zero também, podemos escrever: q = 6/x. 
Substituindo na expressão da soma, temos: 
. Multiplicando a equação por x, temos: x2 + 6x + 36 = 21x ou x2 – 15x + 36 = 0. Fatorando, temos: (x – 12).(x – 3) = 0.
i) Para x = 12 temos q = 6/12 = 1/2. Nesse caso a razão não é um número inteiro.
ii) Para x = 3 temos q = 6/3 = 2. Nesse caso a razão é um número inteiro. Os termos da PG são: 3, 6, 12. A soma (3 + 6 + 12) = 21 e o produto (3 x 6 x 12) = 216. 
Classifique em crescente, decrescente ou oscilante as progressões geométricas:
(2, –4, 8, –16)
Solução.
a) Calculando q = 100 ÷ 1000 = 10 ÷ 100 = 1/10. Como q < 1 PG decrescente.
b) Calculando q = (1/4) ÷ (1/16) = (1) ÷ (1/4) = 4. Como q > 1 PG crescente.
c) Calculando q = (-4) ÷ (2) = (8) ÷ (- 4) = - 2. Como q < 0 PG oscilante.
Numa P.G. tem-se a1 = 3 e a8 = 384. Calcule:
A razão;
O terceiro termo.
Solução.
a) Utilizando a expressão do termo geral com 8 termos, temos: a8 = a1q7. Logo 384 = 3.q7. Implicando em q7 = 384/3 ou q7 = 128. Logo q é raiz sétima de 128 = 27. Logo q = 2.
b) O termo a3 = a1.q2 = 3.22 = 3 x 4 = 12.
O primeiro termo de uma P.G. é 5
, a razão é 
 e o último termo é 80. Calcule:
Quantos termos têm essa P.G.;
O seu quinto termo.
Solução.
a) Utilizando a expressão do termo geral com n termos, temos: an = a1qn-1.
Logo 80 = 5
.(
)n-1. Implicando em 80 = 5.(
)n ou (
)n = 16. Expressando a raiz como potência fracionária, temos (2)n/2 = 16 = 24. Igualando os expoentes já que a base 2 é a mesma, temos: n/2 = 4 ou n = 8.
b) O termo a5 = a1.q4 = 5
.(
)4 = 5
.4 = 20
.
Considere esta seqüência de figuras.
	Na figura 1, há 1 triângulo.
	Na figura 2, o número de triângulos menores é 4.
	Na figura 3, o número de triângulos menores é 16 e assim por diante.
	Prosseguindo essa construção de figuras, teremos quantos triângulos menores na figura 7?
Solução.
Repare que as quantidades crescem na razão q = 4. A figura 7 pode ser representada pelo termo a7 = a1.qn-1 = 1.46 = 4096 triângulos.
O oitavo e o décimo termos de uma seqüência numérica são, respectivamente, 640 e 2.560. Determine o nono termo, no caso de:
a seqüência ser uma progressão aritmética;
a seqüência ser uma progressão geométrica;
Solução.
Pela informação do problema, a8 = 640 e a10 = 2560. As propriedades para o termo situado entre esses citados são:
a) Progressão aritmética: a9 = (640 + 2560)/2 = 3200/2 = 1600.
b) Progressão geométrica: (a9)2 = (640 x 2560). Logo a9 =
= 8.10.16 = 1280.
O segundo termo de uma P.G. decrescente é 
 e o quarto é 
. Calcule o oitavo termo.
Solução.
Pela informação do problema, a2 = 
 e a4 = 
. Pela fórmula do termo geral, a8 = a1q7. Temos que a2 = a1q = 
 e a4 = a1q3 = a1q.q2 =
. Logo q2. 
=
ou q2 = 
 Então q = 
 Substituindo em a2, temos: 
=a1q = a1. 
. Logo a1 = 
 Finalizando, a8 = a1.q7 = 
Em uma P.G. de razão positiva sabe-se que 
. Determine o quinto termo dessa P.G.
Solução. Resolvendo o sistema pelo método de adição, eliminamos os termos a6 que são simétricos e temos: 2.a4 = - 320 + 192 = -128. Logo a4 = - 64. Substituindo na 2ª equação, calculamos o resultado - 64 – a6 = 192 e a6 = - 256. 
O quinto termo obedece a propriedade: 
Sabendo-se que em uma P.G. a2 + a4 = 60 e a3 + a5 = 180 calcule a6.
Solução. Escrevendo a3 = a2q e a5 = a4q, podemos equacionar a3 + a5 = 180 como a2q + a4q = 180. Colocando q em evidência, vem: q x (a2 + a4) = 180. Usando a informação do problema expressamos q x (60) = 180 ou ainda q = 3. O termo a1 é calculado usando: a1q + a1q3 = 60. Substituindo q = 3 nessa expressão, vem: 3a1 + 27a1 = 60 ou a1 = (60/30) = 2. O termo a6 pode ser calculado como: a6 = a1q5 = 2.35 = 2 x 243 = 486.
Calcule:
a soma dos cinco primeiros termos da P.G. (2, –6, 18, ...);
a soma dos seis primeiros termos da P.G. 
;
a soma dos 10 primeiros termos da P.G. (2, 4, 8, 16, ...).
Solução.
a) Calculando q = 100 ÷ 1000 = 10 ÷ 100 = 1/10. Como q < 1 PG decrescente.
b) Calculando q = (1/4) ÷ (1/16) = (1) ÷ (1/4) = 4. Como q > 1 PG crescente.
c) Calculando q = (-4) ÷ (2) = (8) ÷ (- 4) = - 2. Como q < 0 PG oscilante.
Determine a soma dos 6 termos da P.G. crescente em que os extremos são 
 e 27.
Solução. Pelas informações do problema, a1 = 
 e a6 = 27. Logo n = 6. Para encontrar q, utilizamos a fórmula do termo geral: 27 = 
.q5 o que implica em q5 = 27 x 9 = 33 x 32 = 35. Comparando as bases e expoentes conclui-se que q = 3. Aplicando na fórmula da soma: 
Calcule a soma dos termos da P.G.
Solução. Pelas informações do problema, a1 = 2 e a7 = 250. Logo n = 7. Para encontrar q, utilizamos a fórmula: q = 
/ 2 = 
. Aplicando na fórmula da soma: 
.
Escreva a P.G. cuja razão é 
 e a soma dos cinco primeiros termos é 422.
Solução. Pelas informações do problema, q = 
 e n = 7. Como S5 = 422 utilizamos a fórmula: 
 Logo, a1 = 32. 
Os termos da PG serão: (32, 48, 72, 108, 162).
Uma moça seria contratada como balconista para trabalhar de segunda a sábado nas duas últimas semanas que antecederiam o Natal. O patrão ofereceu R$ 1,00 pelo primeiro dia de trabalho e nos dias seguintes o dobro do que ela recebera no dia anterior. A moça recusou o trabalho. Se ela tivesse aceitado a oferta, quanto teria recebido pelos 12 dias de trabalho?
Solução. Pelas informações do problema, a1 = 1, q = 2 e n = 12. Utilizamos a fórmula:
 Logo, ela receberia R$4096,00. 
Uma praga atacou uma criação de aves. No primeiro dia, uma ave adoeceu; no segundo dia, duas outras aves adoeceram; no terceiro dia, adoeceram mais quatro e assim por diante, até o oitavo dia. Nenhuma das aves morreu. Sabendo-seque ao fim do oitavo dia não havia nenhuma ave sem a doença, qual é o total de aves dessa criação?
Solução. Pelas informações do problema, a1 = 1, q = 2 e n = 8. Utilizamos a fórmula:
 Logo, o total de aves é 255. 
Determine a soma dos termos das seguintes progressões geométricas infinitas:
Solução. A fórmula da PG decrescente infinita é: 
.
 Calculando q = 4/10 = 2/5. Logo 
Calculando q = (3/10)/(3/5) = 1/2. Logo 
(100, –10, 1, ...)
Calculando q = (-10)/(100) = -1/10. Logo 
Calculando q = (2/100)/(2/10) = 1/10. Logo 
A soma dos termos de uma P.G. decrescente infinita é 128 e a razão é 
. Calcule o segundo termo.
Solução. Usando a fórmula e igualando 
 Logo, 4a1 = 3 x 128. Simplificando, temos a1 = 96. Então, a2 = 96.( 
) = 24.
Uma forte chuva começa a cair na UFRRJ formando uma goteira no teto de uma das salas de aula. Uma primeira gota cai e 30 segundos depois cai uma segunda gota. A chuva se intensifica de tal forma que uma terceira gota cai 15 segundos após a queda da segunda gota. Assim, o intervalo de tempo entre as quedas de duas gotas consecutivas reduz-se à metade na medida em que a chuva piora. Se a situação assim se mantiver, em quanto tempo, aproximadamente, desde a queda da primeira gota, a goteira se transformará em um fio contínuo de água?
Solução. Repare que o primeiro pingo não possui um número que o represente. A primeira informação numérica virá 30s e será o segundo pingo. A seqüência dos momentos da goteira seriam: 30, 15, 15/2, 15/4,... Isolando o termo 30 e colocando 15 em evidência formamos uma PG decrescente ilimitada: 30 + 15(1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 +...). Usando a fórmula dentro dos parênteses, temos:
 
 Logo, a goteira será um fio em 30 + 15(2) = 60 segundos ou 1 minuto. 
O primeiro termo e a soma dos termos de uma P.G. decrescente infinita são, respectivamente, 
4 e 12. Escrever essa P.G.
Solução. Pelas informações do problema, a1 = 4 e S = 12. Aplicando a fórmula, temos: 
 
Logo, a progressão será: (4, 8/3, 16/9, 32/27, ...) 
Resolva as equações em IR:
x + 
 + ... = 9
Solução. Pelas informações do problema, a1 = x, q = 
 e S = 12. Usando a fórmula, temos: 
 Logo x = 6.
x + 
 + ... = 20
Solução. Pelas informações do problema, a1 = x, q = 
 e S = 20. Usando a fórmula, temos: 
 Logo x = 4.
Determine a fração geratriz de cada uma das dízimas periódicas:
0,4141...
Solução. A dízima pode ser escrita como uma soma infinita: 0,41 + 0,0041 + 0,000041 + ... que equivale a escrever na forma de fração: 
 Observando o termo nos colchetes, vemos que a1 = 
 e q = 
. Aplicando a fórmula da PG infinita, temos: 
 Logo 
2,333...
Solução. A dízima pode ser escrita como uma soma infinita: 2 + 0,3 + 0,03 + ... que equivale a escrever na forma de fração: 
 Observando o termo nos colchetes, vemos que a1 = 
 e q = 
. Aplicando a fórmula da PG infinita, temos: 
 Logo 
1,4333...
Solução. A dízima pode ser escrita como uma soma infinita: 1 + 0,4 + 0,03 + 0,003 + 0,0003... que equivale a escrever na forma de fração:
 Observando o termo nos colchetes, vemos que a1 = 
 e q = 
. Aplicando a fórmula da PG infinita, temos: 
 Logo 
.
Um cachorro persegue um coelho. A velocidade do coelho é 
 da velocidade do cachorro. 
A distância que os separa é de 100 metros. Nessas condições, quando o cachorro vencer os 100 metros, o coelho terá corrido 
 do que percorreu o cachorro e ficará 10 metros a sua frente. Quando o cachorro correr esses 10 metros, o coelho terá percorrido 
 dessa distância e estará 1 metro a sua frente. Quando o cachorro correr esse metro, o coelho terá corrido 10 centímetros, e assim por diante. Esse raciocínio pode levar muita gente a pensar que o cachorro nunca alcançará o coelho. Assim também pensou o coelho. Azar dele.
	Com os recursos estudados é possível determinar em que ponto o cachorro alcançará o coelho. E, então, quantos metros ele deverá correr para alcançar o coelho?
Solução. Repare que precisamos calcular a soma infinita das distâncias percorridas pelo coelho. Assim, após essa distância, que será um número real, o cachorro o alcançará. O coelho começa a correr a partir de 100m e suas distâncias subseqüentes do cachorro serão:
 COLÉGIO PEDRO II – UNIDADE ESCOLAR SÃO CRISTÓVÃO III
PG = (3, 6, 12, 24)
� EMBED Equation.3 ���
Logo, a PG infinita possui: � EMBED Equation.3 ��� e � EMBED Equation.3 ���. Utilizando a fórmula da PG infinita, temos:
� EMBED Equation.3 ���
� PAGE �1�
� PAGE �5�
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