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Profª Lilian Brazile 1 HIPÉRBOLE Hipérbole é o lugar geométrico de todos os pontos tais que a diferença das distâncias, em módulo, a 𝐹1 e 𝐹2 é constante e igual a 2𝑎. Onde, 𝑃 = (𝑥, 𝑦) é um ponto qualquer da hipérbole, 𝐹1, 𝐹2 são os focos da hipérbole, 𝐴1 e 𝐴2 são os vértices da hipérbole, 𝐵1 e 𝐵2 são os polos da hipérbole, 𝐶 = (𝑥0, 𝑦0) é o centro da hipérbole, 2𝑎 = |𝐴1𝐴2⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ | é o eixo transverso da hipérbole, 2𝑏 = |𝐵1𝐵2⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗| é o eixo conjugado da hipérbole, e 2𝑓 = |𝐹1𝐹2⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ | é a distância focal da hipérbole, Assim, temos: Na hipérbole é válida a relação: 𝒇𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 Equação vetorial de uma hipérbole é dada por: 𝑯: ||𝐹1𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗| − |𝐹2𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗|| = 2𝑎 = |𝐴1𝐴2⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ | Álgebra Linear, Vetores e Geometria Analítica 6 – Hipérbole Profª Lilian Brazile Profª Lilian Brazile 2 Equação reduzida de uma hipérbole de centro na origem 𝐶 = (0,0) é dada por: o Hipérbole com centro na origem e eixo transverso contido no eixo 𝑥: 𝑯: 𝒙𝟐 𝒂𝟐 − 𝒚𝟐 𝒃𝟐 = 𝟏 Onde: { 𝐹1 = (𝑓, 0) 𝐹2 = (−𝑓, 0) 𝐴1 = (𝑎, 0) 𝐴2 = (−𝑎, 0) 𝐵1 = (0, 𝑏) 𝐵2 = (0,−𝑏) o Hipérbole com centro na origem e eixo transverso contido no eixo 𝑦: 𝑯: 𝒚𝟐 𝒂𝟐 − 𝒙𝟐 𝒃𝟐 = 𝟏 Onde: { 𝐹1 = (0, 𝑓) 𝐹2 = (0, −𝑓) 𝐴1 = (0, 𝑎) 𝐴2 = (0,−𝑎) 𝐵1 = (𝑏, 0) 𝐵2 = (−𝑏, 0) Profª Lilian Brazile 3 Exemplos: 1) Encontre a equação vetorial, a equação reduzida e construa um esboço de uma hipérbole de focos 𝐹1 = (5,0) e 𝐹2 = (−5,0) e de vértices 𝐴1 = (3,0) e 𝐴2 = (−3,0). Como os focos e os vértices se encontram sobre o eixo 𝑥, então a hipérbole tem centro na origem e eixo transverso contido no eixo 𝑥. Equação vetorial: 𝐴1𝐴2⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = (−3,0) − (3,0) = (−6,0) 2𝑎 = |𝐴1𝐴2⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ | = √(−6)2 + 02 = √36 + 0 = √36 = 6 𝐹1𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (𝑥, 𝑦) − (5,0) = (𝑥 − 5, 𝑦) ⟹ |𝐹1𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗| = √(𝑥 − 5)2 + 𝑦2 𝐹2𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (𝑥, 𝑦) − (−5,0) = (𝑥 + 5, 𝑦) ⟹ |𝐹2𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗| = √(𝑥 + 5)2 + 𝑦2 𝐻: ||𝐹1𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗| − |𝐹2𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗|| = 2𝑎 ⟹ 𝐻: |√(𝑥 − 5)2 + 𝑦2 − √(𝑥 + 5)2 + 𝑦2| = 6 Equação reduzida: 2𝑎 = 6 ⟹ 𝑎 = 6 2 ⟹ 𝑎 = 3 𝐹1 = (5,0) ⟹ 𝑓 = 5 𝑓2 = 𝑎2 + 𝑏2 52 = 32 + 𝑏2 25 = 9 + 𝑏2 25 − 9 = 𝑏2 16 = 𝑏2 𝑏 = √16 𝑏 = 4 Profª Lilian Brazile 4 Eixo transverso contido no eixo 𝑥: 𝑥2 𝑎2 − 𝑦2 𝑏2 = 1 ⟹ 𝑥2 32 − 𝑦2 42 = 1 𝐻: 𝑥2 9 − 𝑦2 16 = 1 2) Encontre a equação vetorial, a equação reduzida e construa um esboço de uma hipérbole de focos 𝐹1 = (0,4) e 𝐹2 = (0, −4) e de vértices 𝐴1 = (0,3) e 𝐴2 = (0,−3). Como os focos e os vértices se encontram sobre o eixo 𝑦, então a hipérbole tem centro na origem e eixo transverso contido no eixo 𝑦. Equação vetorial: 𝐴1𝐴2⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = (0, −3) − (0,3) = (0, −6) 2𝑎 = |𝐴1𝐴2⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ | = √02 + (−6)2 = √0 + 36 = √36 = 6 𝐹1𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (𝑥, 𝑦) − (0,4) = (𝑥, 𝑦 − 4) ⟹ |𝐹1𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗| = √𝑥2 + (𝑦 − 4)2 𝐹2𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (𝑥, 𝑦) − (0,−4) = (𝑥, 𝑦 + 4) ⟹ |𝐹2𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗| = √𝑥2 + (𝑦 + 4)2 𝐻: ||𝐹1𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗| − |𝐹2𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗|| = 2𝑎 ⟹ 𝐻: |√𝑥2 + (𝑦 − 4)2 − √𝑥2 + (𝑦 + 4)2| = 6 Profª Lilian Brazile 5 Equação reduzida: 𝐴1 = (0,3) ⟹ 𝑎 = 3 𝐹1 = (0,4) ⟹ 𝑓 = 4 𝑓2 = 𝑎2 + 𝑏2 42 = 32 + 𝑏2 16 = 9 + 𝑏2 16 − 9 = 𝑏2 7 = 𝑏2 𝑏 = √7 Eixo transverso contido no eixo 𝑦: 𝑦2 𝑎2 − 𝑥2 𝑏2 = 1 𝑦2 32 − 𝑥2 √7 2 = 1 𝐻: 𝑦2 9 − 𝑥2 7 = 1 Profª Lilian Brazile 6 EXERCÍCIOS 1) Encontre a equação vetorial, a equação reduzida e construa um esboço de uma hipérbole de focos e de vértices dados abaixo: a) 𝐹1 = (5,0), 𝐹2 = (−5,0), 𝐴1 = (4,0) e 𝐴2 = (4,0) b) 𝐹1 = (0,6), 𝐹2 = (0, −6), 𝐴1 = (0,4) e 𝐴2 = (0, −4) c) 𝐹1 = (0,5), 𝐹2 = (0, −5), 𝐴1 = (0,4) e 𝐴2 = (0,4) d) 𝐹1 = (10,0), 𝐹2 = (−10,0), 𝐴1 = (8,0) e 𝐴2 = (−8,0)
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