Vetores e Geometria Analítica - Lista de exercícios 06

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Universidade Federal de Mato Grosso do Sul
INMA - Instituto de Matema´tica
Lista 6 - Vetores e Geometria Anal´ıtica
Prof Dr. Bruno Dias Amaro
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1. Eliminar os termos do 1ograu da equac¸a˜o x2+4y2−2x−16y+5 = 0. Resp: (x′)2+4(y′)2−12 =
0.
2. Por meio de uma rotac¸a˜o de 45o transformar a equac¸a˜o x2 − y2 = 4. Resp: x′y′ = −2.
3. Obter a nova equac¸a˜o da reta 3x − 4y + 10 = 0 quando se efetua uma rotac¸a˜o de eixos de
um aˆngulo θ tal que senθ = 3
5
. Resp: y′ − 2 = 0.
4. Eliminar o termo xy da equac¸a˜o 6x2 + 8y2 − 2√3xy − 1 = 0. Resp: 5(x′)2 + 9(y′)2 − 1 = 0.
5. Eliminar o termo xy da equac¸a˜o 5x2 + 4xy + 2y2 = 1. Sugesta˜o: tg(2θ) = 4
3
⇒ senθ =
1√
5
, cosθ = 2√
5
. Resp: 6(x′)2 + (y′)2 = 1.
6. Transformar a equac¸a˜o 5x2 + 5y2 + 6xy− 4x+ 4y− 1 = 0 em uma equac¸a˜o onde na˜o figurem
os termos do 1ograu nem o termo misto xy. Resp: 8(x′)2 + 2(y′)2 − 5 = 0.
7. Transformar a equac¸a˜o 4x2 + y2 + −4xy − 8√5x − 16√5y = 0 em uma equac¸a˜o do tipo
A(y′)2 +Bx′ = 0. Resp: (y′)2 − 8x′ = 0.
8. Determinar a equac¸a˜o da elipse com centro na origem, foco sobre o eixo das abcissas e que
passa pelos pontos A(2, 2) e B(2
√
3, 0). Resp: x
2
12
+ y
2
6
= 1
9. Determinar a a´rea do quadrado inscrito na elipse 9x2 + 16y2 = 1. (Dica: os ve´rtices do
quadrado sa˜o obtidos apartir das intersec¸o˜es das retas y = x e y = −x com a elipse.) Resp:
25
4
u.a.
10. Dada a equac¸a˜o da elipse (x+6)
2
9
+ (y−5)
2
25
= 1, determine o centro, os focos e fac¸a um esboc¸o
da elipse. Resp: O′(−6, 5), F1(−6, 9), F1(−6, 1).
11. Determinar a equac¸a˜o canoˆnica da elipse 4x2 + y2 − 40x− 12y + 120 = 0.
Resp: x
2
4
+ y
2
16
= 1
12. Obter a equac¸a˜o canoˆnica da elipse x2 +
√
3xy + 2y2 − 2 = 0. Resp: x24
5
+ y
2
1
= 1
13. Obter a equac¸a˜o canoˆnica da elipse 5x2 + 4xy + 8y2 − 9 = 0. Resp: x2
1
+ y
2
9
4
= 1
1
14. Obter a equac¸a˜o da hipe´rbole com focos em F1(0,−8) e F2(0, 8) e ve´rtices em (0, 6) e (0, 6).
Resp: y
2
36
− x2
28
= 1
15. Determinar a equac¸a˜o da hipe´rbole cuja excentricidade e´
√
5 e cuja distaˆncia focal e´ 4
√
5 .
(O centro coincide com a origem e os focos esta˜o sobre o eixo x).Resp: x
2
4
− y2
16
= 1
16. Calcular a equac¸a˜o da hipe´rbole de centro na origem e eixo real sobre o eixo das ordenadas,
que passa pelos pontos P
(
0, 6
√
5
5
)
e Q(4, 6). Resp:5y2 − 9x2 = 36
17. Uma hipe´rbole tem um de seus ve´rtices em A(3, 0) e as equac¸o˜es de suas ass´ıntotas sa˜o
2x− 3y = 0 e 2x+ 3y = 0. Determine a equac¸a˜o da hipe´rbole. Resp: 4x2 − 9y2 = 36
18. Obter a equac¸a˜o da hipe´rbole de eixos paralelos aos eixos cartesianos com focos em (1, 0) e
(1, 4) e excentricidade igual a 3. Resp: (y−2)
2
4
9
− (x−1)232
9
= 1
19. Calcular a equac¸a˜o canoˆnica da hipe´rbole x2−5xy+y2+8x−20y+15 = 0. Resp: (y′′)22
7
− (x′′)22
3
=
1
20. Determinar a equac¸a˜o da para´bola de concavidade voltada para cima, que passa pelo ponto
A(1, 2) e cujo ve´rtice e´ V (0, 0). Resp: 2x2 − y = 0.
21. Obter as coordenadas do foco e a equac¸a˜o da diretriz da para´bola 7y2 + 3x = 0. Esboce o
gra´fico. Resp: F (−3
28
, 0) e r : 28x− 3 = 0.
22. Obter as coordenadas do ve´rtice e do foco da para´bola y = −2x2 + 8x− 8. Resp: V (2, 0) e
F (2,−1
8
).
23. Uma para´bola tem foco em F (2, 4) e ve´rtice em V (−2, 2). Determinar a suaequac¸a˜o. Resp.:
(x− 2)2 = 24(y + 2).
24. Qual a equac¸a˜o do conjunto de pontos P (x, y) que sa˜o equ¨idistantes da reta y = 3 e do ponto
F (0, 0)? Resp.: x2 + 6y − 9 = 0.
25. Uma para´bola tem o foco na origem e diretriz a reta r : 2x+3y+5 = 0. Ache a sua equac¸a˜o.
Resp.: 9x2 + 4y2 − 12xy − 20x− 30y − 25 = 0
26. Obter a equac¸a˜o da para´bola sabendo-se que o foco e´ F (1, 2) e o ve´rtice coincide com a
origem. Resp.: 4x2 + 4xy + y2 − 20x+ 40y = 0
27. Dada a equac¸a˜o 16x2 − 24xy + 9y2 − 38x − 34y + 101 = 0, identifique a coˆnica, encontre
sua equac¸a˜o canoˆnica(em um sistema transladado/rotacionado) e esboce o gra´fico. Resp:
para´bola com equac¸a˜o y2 = 2x.
28. Dada a equac¸a˜o x2 + 4y2 − 2x − 16y + 13 = 0 identifique a coˆnica, encontre sua equac¸a˜o
canoˆnica(em um sistema transladado/rotacionado) e esboce o gra´fico. Resp: elipse com
equac¸a˜o x
2
4
+ y2 = 1.
2
29. Dada a equac¸a˜o x2 − 4y2 + 4x + 6y + 1 = 0 identifique a coˆnica, encontre sua equac¸a˜o
canoˆnica(em um sistema transladado) e esboce o gra´fico. Resp: hipe´rbole com equac¸a˜o
x2
3
4
− y23
16
= 1
30. Identificar a coˆnica x2 + 2xy + y2 − 2x− 2y + 1 = 0. Resp: reta ou par de retas paralelas.
31. Identificar a coˆnica 2x2 + 2xy + y2 + 8x+ 6y + 10=0. Resp: um ponto.
32. Identificar a coˆnica 2x2 + xy − y2 + 7x+ y + 6 = 0 Resp: par de retas concorrentes.
33. Identificar a coˆnica 16x2 + 9y2 − 24xy − 68x− 74y + 41 = 0 Resp: para´bola.
Bom Estudo!
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