Variáveis Aleatórias

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Introdução às variáveis aleatórias 2011/2012 
 
 
 
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Introdução às Variáveis Aleatórias 
 
 
5. Conceitos Básicos 
 
Definição 5.1. Considere-se o espaço amostral S associado a uma experiência aleatória E. 
Uma função X que associa um número real aos acontecimentos elementares do espaço de 
resultados, s  S, da forma X(s) = x é chamada de variável aleatória. 
 
Exemplo 5.1. Retome-se o exemplo 1.1. que considera uma caixa com 10 envelopes com 
prémio de 100 euros e 10 envelopes com um prémio de 500 euros. Consideremos agora a 
seguinte experiência aleatória: 
 
E: escolhem-se três envelopes ao acaso e com reposição, e regista-se o valor em euros dos 
três envelopes escolhidos. 
 
O espaço de resultados é o seguinte 
 
= S= {(100,100,100), (100,100,500), (100,500,100), (500,100,100), (500,500,100), (500,100,500), 
(100,500,500), (500,500,500)} 
 
Definimos agora a variável aleatória, v.a., X que representa a soma dos valores dos prémios 
constantes nos 3 envelopes escolhidos. 
 
A variável X é aleatória, porque a soma dos 3 valores não é conhecida a priori, ou seja, 
depende dos resultados da experiência aleatória de retirar 3 envelopes de 20, com 
reposição. 
O conjunto de todos os resultados possíveis para X é uma função dos acontecimentos que 
podem ocorrer aquando da experiência aleatória. 
 
X pode tomar os valores do seguinte conjunto: {300, 700, 1100, 1500} 
 
X= 300 quando ocorre o acontecimento (100,100,100) do espaço de resultados ; 
X = 700 quando ocorrem os acontecimentos (100,100,500), (100,500,100), (500,100,100); 
X = 1100 quando ocorrem os acontecimentos (500,500,100), (500,100,500), (100,500,500); 
X = 1500 quando ocorre o acontecimento (500,500,500). 
 
Na linguagem formal teremos 
A função X do acontecimento (100,100,100) é igual a 300, ou seja X((100,100,100))=300 ; 
X({(100,100,500), (100,500,100), (500,100,100)}=700; 
X({(500,500,100), (500,100,500), (100,500,500)}=1100 ; 
X((500,500,500))=1500 
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A variável X só pode tomar um número finito de valores, sendo 4 no total, então é uma v.a. 
discreta. Cada resultado de X terá uma probabilidade de ocorrência, como seria de esperar. 
 
 
5.1. Tipos de variáveis aleatórias 
 
Variável aleatória do tipo discreto 
Definição 5.2. Uma variável aleatória X que só pode tomar valores num conjunto finito ou 
num conjunto infinito mas numerável (contável) chama-se Variável Aleatória Discreta. 
 
São exemplos de v.a. discretas os seguintes: a v.a. referida no exemplo 1, ;o número de 
clientes na fila de uma caixa de supermercado num determinado instante; o número de 
nódoas espalhadas um tecido de 1,3m2; o número de lâmpadas que é necessário substituir 
em cada ano; o número de estudantes que anualmente conclui a unidade curricularde 
Estatística com nota acima de 12. 
 
Variável aleatória do tipo contínuo 
Definição 5.3. Uma variável aleatória X que pode tomar todos os valores num intervalo de 
números reais, isto é, um número infinito não numerável, é uma variável aleatória contínua. 
 
As variáveis contínuas são geralmente medições. 
 
São exemplos de v.a. contínuas os seguintes: a duração de vida em horas de uma lâmpada 
(a escala do tempo é uma escala contínua); o comprimento em metros da fila de clientes 
para uma certa caixa de supermercado; a área, em hectares, de floresta ardida anualmente 
na estação mais quente; o peso dos indivíduos de uma população qualquer; a idade dos 
indivíduos que são inquiridos para uma sondagem eleitoral (apesar de usarmos a idade em 
anos inteiros no dia a dia, não podemos esquecer que a idade corresponde à passagem do 
tempo, que é contínuo. Não é possível “saltar” dos 20 para os 21 anos sem passar por todos 
os instantes intermédios, ou frações de tempo, que são infinitas). 
 
Neste módulo de Introdução às Variáveis aleatórias estuda-se apenas o caso das v.a. 
discretas. 
 
5.2 Função de Probabilidade e Função de Distribuição de uma variável aleatória discreta 
 
Nas secções anteriores indicámos que o valor que uma variável aleatória toma depende do 
resultado de uma experiência aleatória. Sendo assim, é possível associar uma probabilidade 
de ocorrência a cada xi possível para X. 
Recorrendo novamente ao exemplo anterior, é possível determinar a probabilidade de X 
tomar cada um dos seus valores possíveis (300 euros, 500 euros, 1100 euros, 1500 euros). 
No fundo trata-se de calcular a probabilidade de ocorrerem determinados acontecimentos 
do espaço de resultados da experiência aleatória. 
A probabilidade de X tomar o valor 300, ou seja, a probabilidade da soma do valor dos 3 
envelopes ser igual a 300 euros é formalmente indicada por P(X=300) e significa que 
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estamos a calcular a probabilidade de ocorrer o acontecimento (100,100,100), 
P((100,100,100)).1 
Neste caso concreto a probabilidade calculada é P(X=300)=
 
 
 (uma possibilidade em 8 casos 
possíveis. 
 
É possível calcular a probabilidade anterior desta forma direta (nº de casos favoráveis/nº 
total de casos possíveis) porque as escolhas são com reposição e porque a probabilidade de 
sair 100 euros no envelope é igual à probabilidade de sair 500 euros (P(sair 100 num 
envelope)=P(sair 500 num envelope)=1/2- metade dos envelopes é de 100 e a outra é de 
500). Se assim não fosse era necessário adaptar os cálculos. 
 
Definição 5.4. função de probabilidade 
Seja X uma v.a. do tipo discreto e seja {x1, x2, x3,…, xn } o conjunto de valores que X(s) pode 
assumir no espaço de resultados S de uma experiência aleatória E. Então, a função que a 
cada xi atribui a sua probabilidade de ocorrência, P(X= xi), é representada usualmente por 
f(x) ou pX, e designa-se por função de probabilidade da v.a. X. 
 
Também é usual usar-se o termo função massa de probabilidade para a função de 
probabilidade de uma v.a. discreta (para saber a razão desta designação, pode consultar 
Pestana e Velosa, volume I (2005)). Uma representação é a seguinte: 
 
 
 
 
 
 
Propriedade 5.1. A função de probabilidade da v.a. X do tipo discreto satisfaz as seguintes 
propriedades: 
 
a) 0 ≤ f(x) ≤ 1 para qualquer x (uma vez que para cada x, f(x) é uma probabilidade); 
 
b) 
 
 se n for finito (a soma de todas as probabilidades tem de ser igual a 1 – 
(todo o universo) 
 
 
 
 se n for finito (a série tem de ser convergente com soma 1) 
Quando o espaço de resultados para X é finito, a função de probabilidade é apresentada 
muitas vezes em forma de tabela. 
 
Exemplo 5.1 : A variável aleatória X toma os valores -1, 0 ou 1 com as seguintes 
probabilidades 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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(repare-se que não há nenhum valor negativo e que a soma das probabilidades é 1, para que 
seja uma função de probabilidade). Representando graficamente a função de probabilidade 
temos: 
 
 
Representando f(x) em tabela temos: 
x ou xi -1 0 1 
P(X=x) ou f(x) ou pX 0,25 0,5 0,25 
 
Qual é a probabilidade da variável aleatória ser igual a 0? E qual é a probabilidade de X 
tomar um valor não negativo? 
 
P(X=0)=f(0)=0,5; 
a probabilidade ser não negativa tem dois casos possíveis: 0 e 1. Então P(X≥0)=0,5+0,25=0,75 
(na linguagem “comum” diz-se que há 75% de probabilidade de X tomar um valor não 
negativo) 
 
Exemplo 5.2 Considere a variável aleatória que representa o número de acessos que o 
Professor faz à UC de Estatística na plataforma Moodle até encontrar uma dúvidacolocada 
por um aluno sobre Probabilidades. Determinar a função de probabilidade desta variável 
aleatória. 
 
A v.a. é definida formalmente por 
 
X – número de acessos à página da UC de Estatística realizados pelo professor até encontrar 
a primeira dúvida sobre Probabilidades. 
 
Quais os valores possíveis para X? 
x=1 se encontrar a dúvida no primeiro acesso; 
x=2 se encontrar a dúvida no segundo acesso, 
….. 
X= n se encontrar a dúvida no n-ésimo acesso. 
…… 
 
A variável tem possibilidades num número infinito numerável o que significa que a v.a. X é 
uma v.a. discreta. 
 
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De cada vez que o professor acede à página da UC ele pode ter apenas 1 dos seguintes 
resultados: 
S – encontra uma dúvida de probabilidades (sucesso!) 
N – Não encontra uma dúvida de probabilidades (insucesso!!) 
 
Suponhamos que a probabilidade de encontrar uma dúvida colocada por um aluno de cada 
vez que acede à página da UC é pequena (para sermos próximos da realidade..), p=0,07 (7%), 
digamos. A probabilidade de não encontrar uma dúvida de probabilidades é complementar 
desta, ou seja (1-p)=1-0,07=0,93 (93%) 
 
Então, assumindo que as tentativas (acessos) realizadas pelo professor são independentes 
umas das outras, a probabilidade do professor ter que aceder 5 vezes à página da UC até 
encontrar uma dúvida de probabilidades é determinada através do seguinte raciocínio: 
 
N N N N S (encontra a dúvida no 5º acesso, 
X=5 – numero de vezes até encontrar a dúvida) 
 
Isto equivale ao acontecimento interseção, ou seja, 
Não encontra no 1º acesso e Não encontra no 2º e Não encontra no 3º e Não encontra no 
4º e Encontra no 5ª acesso -> NNNNS 
Sendo os acontecimentos independentes, a probabilidade da interseção é o produto das 
probabilidades individuais: 
 =0,930,930,930,930,07=0,0524 
 
Para um x qualquer, a expressão da função de probabilidade fica: P[X=x]= f(x)=(1 – p)x-1.p. 
 
Definição 5.5. função de distribuição 
Seja X uma v.a. discreta com função de probabilidade f(x)=P[X=xi], onde os xi são todos os 
valores possíveis de X. Seja x um número real qualquer. A função de distribuição da v.a. X 
define-se por 
 
 
 
 
A função distribuição dá-nos a probabilidade de uma v.a. discreta assumir valores iguais ou 
inferiores a um x e também é designada Função Cumulativa de Probabilidades. 
 
Exemplo 5.3 : Para o exemplo anterior, calcule a probabilidade do professor fazer no 
máximo até 3 acessos até encontrar uma dúvida de probabilidades no fórum, ou seja 
P*X≤3+=F(3). 
Para calcular esta probabilidade temos de acumular 3 possibilidades - encontra ao fim de um 
acesso; ou encontra ao fim de 2 acessos; ou encontra ao fim de 3 acessos. 
 
P*X≤3+= P*X=1++P*X=2++ P*X=3]= 
 
 = 0,196 
 
 
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Propriedade 5.2. A função de distribuição da v.a. X do tipo discreto satisfaz as seguintes 
propriedades: 
 
a) 0 ≤ F(x) ≤ 1 para qualquer x  IR (sendo uma função cumulativa de f(x) facilmente se 
conclui esta propriedade); 
 
b) F(x2) ≥ F(x1) para qualquer x2 ≥ x1 (F(x) é monótona não decrescente – pois é 
cumulativa…) 
 
c) e 
 
d) Probabilidade de um intervalo – 
 P[x1< X ≤ x2] = F(x2) – F(x1) para qualquer x2 > x1 
 
 
Definição 5.6. Valor médio de uma v.a. discreta 
Seja X uma v.a. discreta com função de probabilidade f(x)=P[X=xi], onde os xi são todos os 
valores possíveis de X. O valor esperado de X, E[X] (ou valor médio), representado 
usualmente por  é a quantidade dada pelo seguinte: 
  
 
 
 
Exemplo 5.4 : O número de unidades de determinada marca de automóveis vendidas 
diariamente, atendendo às disponibilidades de stock diárias, tem a seguinte distribuição de 
probabilidade: 
O sock diário é de 5 unidades. Classifique esta variável (discreta; contínua) e indique o 
domínio de valores de X. 
a) Qual a probabilidade de, num dia escolhido ao acaso, terem sido vendidos no máximo 2 
automóveis? 
b) Determine o quadro da Função de probabilidade e a Função de distribuição de X. 
c) Qual o número médio de automóveis vendidos diariamente? 
Resolução: 
a) No enunciado é dada a função de probabilidade da v.a. 
 
X - número de unidades de determinada marca de automóveis que são vendidas 
diariamente 
A v.a. é do tipo discreto, uma vez que representa uma contagem de unidades vendida (toma 
valores em pontos que são números inteiros, não são valores num intervalo de números 
reais). 
 X tem realizações no seguinte conjunto {0, 1, 2, 3, 4, 5}. 
 
5 4, 3, 2, ,1,02.08.0)( 5
5






  xxXP xx
x
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b) A probabilidade de, num dia escolhido ao acaso, terem sido vendidos no máximo 2 
automóveis escreve-se do seguinte modo: P(X ≤2). 
0.570.0510.0060.0000
 2.08.02.08.0 2.08.0)2()1()0()2( 32
5
2
41
5
1
50
5
0



















 XPXPXPXP 
Nota: aplica-se o cálculo combinatório. 
 
c) Determine o quadro da Função de probabilidade e a Função de distribuição de X. 
A função de Probabilidade (o mesmo que Função massa de probabilidade, indicada por f(x) 
ou P(X=x)) já está implícita na alínea anterior, pois por definição esta função é a 
probabilidade de ocorrer o ponto xi, para todos os xi do domínio de X. 
Por aplicação direta da expressão da função de probabilidade obtém-se 
 
xi 0 1 2 3 4 5 
P(X= xi) 0.000 0.006 0.051 0.205 0.410 0.328 
 
A Função Distribuição, F(x), de uma v.a discreta é a Função cumulativa para cada xi 
(acumulando por valores à esquerda de xi). A função cumulativa traduz-se em somar as 
probabilidades pontuais P(X≤xi). O domínio da Função distribuição varia de - até + . 
 
xi xi ≤ 0 1≤xi <2 2≤xi <3 3≤xi <4 4≤xi <5 xi ≥ 5 
P(X≤xi) 
=F(xi) 
0.000 0.006 0.006+0.051 
=0.057 
0.057+0.205 
=0.262 
0.262+0.410 
=0.672 
0.672+0.328 
=1 
 
O último valor do quadro tem de ser sempre igual a 1, pois corresponde a acumular todas as 
probabilidades do universo de X; 
O primeiro valor do quadro é a probabilidade acumulada desde - até x=0; o segundo valor 
do quadro é a probabilidade acumulada para x’s no intervalo em que x está entre 1 e 2, mas 
exclui o 2. Então, é o mesmo que acumular as probabilidades até x=1 (porque só interessam 
aqui os valores inteiros); o último valor é a probabilidade acumulada para todos os valores x 
≥ 5. Como não há probabilidades para x’s superiores a 5, a acumulada vai ser sempre igual a 
1, para todos os x’s que existam à direita de 5. 
d) Do enunciado retiramos a informação de que o número de automóveis disponíveis 
diariamente para venda é de 5 (stock diário). 
Usando a definição de valor esperado de uma v.a. discreta, calculamos o numero médio de 
automóveis que é vendido diariamente: 
  
003.4328.05410.04205.03051.02006.01000.00
)(
5
0

 
i
ii xXPxXE  
(soma de todos os produtos de xi pela sua probabilidade de ocorrência) 
 
Introdução às Variáveis Aleatórias - Exercícios 
(continuação da numeração do módulo de Introdução às probabilidades) 
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19. Considere a experiência aleatória que consiste retirar ao acaso e sucessivamente duas 
lâmpadas de uma caixa com 6 lâmpadas. Sabe-se que a caixa tem 2 lâmpadas defeituosas 
que não funcionam. 
a) Descreva o espaço de resultados desta experiência. 
b) Descreva, justificando, qual é o domínio de valores da variável aleatória que representa – 
“númerode lâmpadas boas nas duas selecionadas” 
(solução de a): definindo-se os acontecimentos B-lampada boa e D-lâmpada defeituosa, 
tem-se ={BB, BD, DB, DD} 
(solução de b): X pode tomar os valores 0, 1 e 2, ou seja, as possibilidades para número de 
lâmpadas boas em duas retiradas da caixa) 
 
20. Considere uma amostra aleatória, de dimensão 8, retirada de um universo em que há 
apenas dois resultados possíveis, designados de sucesso (1) e insucesso(0) com 
probabilidades complementares. Se a probabilidade do insucesso for de 0.12, determine a 
probabilidade de obter a amostra: [0; 0; 1; 0; 1; 0; 1; 1] 
(solução : 0,000124) 
 
21. Admita que a v.a. X, representa o número de vezes que um estudante da UAb vai ao 
cinema durante um mês. A função de probabilidade é definida como se segue: 
 
 Valores de X 
 0 1 2 3 4 5 
P (X= xi) 0.25 0.25 a 0.1 0.05 0.05 
 
a) Complete o quadro de modo a que represente uma função de probabilidade. 
b) Use a função de probabilidade para calcular a probabilidade de num mês escolhido ao 
acaso não ir ao cinema mais do que 3 vezes. 
c) Calcule o valor médio de X. 
(solução é a=0.3; b) P(X<4)=0.25+0.25+0.3+0.1 c) =1.6) 
 
FIM