1EC_C_Função_de_2.o_grau_Problemas_e_Aplicações2

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Função de 2.o grau
Problemas e Aplicações
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	1) Dada a função f(x) = 2x² - 8x + 6, obter:
a) as raízes de f e os pontos de intersecção com o eixo das abscissas (eixo x);
b) o ponto onde f intercepta o eixo das ordenadas (eixo y);
c) o vértice da parábola que representa f;
 
	2) Dada a função f(x) = x² - 8x + 12, obter:
a) as raízes de f e os pontos de intersecção com o eixo das abscissas (eixo x);
b) o ponto onde f intercepta o eixo das ordenadas (eixo y);
c) o vértice da parábola que representa f;
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	3) Dada a função f(x) = - 2x² + 16x - 24, obter:
a) as raízes de f e os pontos de intersecção com o eixo das abscissas;
b) o ponto onde f intercepta o eixo das ordenadas;
c) o vértice da parábola que representa f;
 
	4) Dada a função f(x) = - 3x² + 24x - 36, obter:
a) as raízes de f e os pontos de intersecção com o eixo das abscissas;
b) o ponto onde f intercepta o eixo das ordenadas;
c) o vértice da parábola que representa f;
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	5) Um determinado software com aplicações no setor de turismo acaba de ser lançado. Utilizando-se de um modelo matemático, estima-se que daqui a t meses, o número de pessoas que se utilizarão desse software será dado por 
 N(t) = 40t² - 880t + 5000.
a) No lançamento, qual a expectativa de número de usuários do software?
b) Quantas pessoas se utilizarão do software daqui a um trimestre? E daqui a três anos?
c) Daqui a quantos meses será registrado o menor número de usuários?
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	6) A receita mensal (em reais) de uma empresa é R(p) = 20.000p – 2.000p², sendo p o preço de venda de cada unidade. 
a) Qual a receita quando o preço de venda de cada unidade é de R$ 8,00?
b) Qual o preço de venda de cada unidade para gerar uma receita de R$ 45.500,00?
c) Qual o preço de venda que maximiza a receita? Qual a receita máxima?
d) Representar graficamente a função receita dada
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7) A receita mensal (em reais) de uma empresa é 
 R(n) = 100000n – 5000n², sendo n o número de milhares de unidades vendidas mensalmente 
a) Qual a receita para 11000 unidades vendidas?
b) Quantas unidades devem vendidas para gerar uma receita de R$ 420.000,00?
c) Quantas unidades devem ser vendidas para se maximizar a receita? Qual a receita máxima?
d) Representar graficamente a função dada.
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	8) O lucro mensal (em reais) de uma empresa é 
 L(p) = –3000p² + 36000p – 81000, sendo p o preço de venda de cada unidade. 
a) Qual o lucro quando o preço de venda de cada unidade é de R$ 4,20? E quando o preço de venda unitário é R$ 8,00?
b) Determine o intervalo de preço de venda para o qual a receita da empresa passa a superar as despesas?
c) Qual o preço de venda que maximiza o lucro? Qual o lucro máximo?
d) Representar graficamente a função lucro dada.
e) Para que valores de p o lucro é superior a R$ 20.250,00?
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	9) A “Hanne Consulting”, uma consultoria de administradores, após uma pesquisa realizada em uma determinada micro-empresa, concluiu que, para o próximo semestre, essa micro-empresa terá seu lucro mensal L (em reais) calculado por meio do modelo matemático:
	L(p) = – 5000p² + 60000p – 160000
	sendo p o preço de venda de cada unidade comercializada por essa micro-empresa.
	a) Qual o “lucro” quando o preço de venda de cada unidade é, teoricamente, zero? Quais os preços de venda de cada unidade determinam um equilíbrio entre Receita e Despesas?
	b) Qual o preço de venda de cada unidade que maximiza o lucro mensal dessa micro-empresa no período em estudo? Qual o lucro mensal máximo para o período, nas condições dadas?
	c) Representar graficamente a função lucro dada (p = 0; L=0; vértice)
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10) Uma determinada indústria tem seu lucro mensal estimado pela fórmula:
 L(n) = – 8000n² + 128000n – 480000
 sendo n o número de milhares de unidades vendidas mensalmente.
a) Qual será o lucro caso não seja vendida nenhuma unidade? Quantas unidades devem ser vendidas mensalmente para se obter um equilíbrio entre Receita e Despesas?
b) Quantas unidades devem ser vendidas para se maximizar o lucro mensal dessa indústria? Qual o lucro mensal máximo previsto?
c) Representar graficamente a função lucro dada (p = 0; L=0; vértice)
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	11) O lucro mensal L (em reais) de uma micro-empresa é 
	L(p) = – 4000p² + 48000p – 128000 sendo p o preço de venda de cada unidade. Obter o preço de venda que maximiza o lucro e o valor do lucro máximo.
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	12) Num parque de diversões , quando o preço de ingresso é R$ 10,00, verifica-se que 200 frequentadores comparecem por dia; quando o preço é de R$ 15,00, comparecem 180 frequentadores por dia. 
	a) Admitindo-se que o preço (p) relaciona-se com o número de frequentadores por dia (f) por meio de uma função do 1.o grau, obtenha essa função.
	b) Determine a função que calcula a receita diária do parque, o preço do ingresso que maximiza a receita diária, o n.o de frequentadores que maximizam a receita diária e o valor da receita máxima.
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13) Uma empresa do setor automotivo, em um estudo feito por seus analistas, obteve os seguintes resultados:
N(p) = 30000 – 2000p
C(N) = 26000 + N
 Onde o número N de unidades vendidas mensalmente depende do preço p de venda de cada unidade e C é o custo total de produção das N unidades, para valores em reais.
 Nesse caso, obtenha:
a) a função R(p), o preço de venda que maximiza a receita e o valor da receita máxima. Faça um esboço do gráfico.
b) a função L(p), o preço de venda que maximiza o lucro e o valor do lucro máximo. Faça um esboço do gráfico.
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14) Case: Após uma pesquisa, uma indústria constatou que vendendo cada uma de suas unidades produzidas a R$ 6,00 comercializa cerca de 6000 unidades por mês; reduzindo o preço de venda por unidade para R$ 4,00, atinge a marca de 14000 unidades vendidas mensalmente: pesquisas de campo apontam que as funções de que relacionam número de unidades vendidas de acordo com o preço de venda (para o setor em questão) são funções lineares (ou praticamente lineares). Dessa forma:
a) qual a função que calcula o número N de unidades vendidas de acordo com o preço p de venda por unidade?
b) cerca de quantas unidades são vendidas ao preço de R$ 5,00 a unidade? Qual a receita obtida nesse caso?
c) qual o número máximo estimado de unidades vendidas? Qual o preço máximo de venda por unidade? Faça um esboço do gráfico de N(p).
d) qual a receita obtida com quando 20000 unidades são vendidas?
e) determine a função receita R de acordo com o preço p de venda;
f) qual a receita quando cada unidade é vendida a R$ 4,50? Quantas unidades são vendidas nesse caso?
g) qual o preço de venda por unidade para se atingir uma receita de R$ 14.000,00? Quantas unidades são vendidas nesse caso?
h) quantas unidades devem ser vendidas para se atingir uma receita de R$ 36.000,00? 
i) Qual o preço de venda por unidade que gera a maior receita possível? Qual o valor dessa receita máxima? Quantas unidades são vendidas nesse caso?
j) Represente graficamente a função receita.
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Para a produção das peças, a indústria em questão tem uma custo mensal fixo de R$12.000,00 mais um custo por unidade produzida de R$ 1,00.
k) Determine a função custo total C de acordo com o número N de peças produzidas. Qual o custo de produção de 5000 peças? Qual o preço de venda por unidade?
l) Determine a função custo total C de acordo com o preço p de venda de cada unidade. Qual o custo total de produção quando cada peça é vendida a R$ 6,50? Quantas unidades são vendidas nesse caso?
m) Represente em um mesmo plano cartesiano R(p) e C(p).
n) Qual o custo total para a produção de 11000 peças? Nesse caso, qual o preço de venda de cada unidade? Qual o valor da receita? Qual o valor do lucro?
o) Determine a função lucro L mensal de acordo com o preço p de venda de cada unidade.
p) Qual o lucro mensal quando cada unidade é vendida a R$ 3,25? Quantas unidades são vendidas nesse caso? Qual o custo total e a qual a receita?
q) Qual o preço
de venda que gera um lucro de R$ 18.000,00? Quantas unidades são vendidas para gerar esse lucro? Qual o custo de produção mensal e qual a receita mensal?
r) Qual o intervalo de possíveis valores de preço de venda para que a indústria tenha lucro?
s) Qual o preço de venda por unidade que maximiza o lucro? Qual o valor desse lucro? Quantas unidades são vendidas nesse caso?
t) Represente graficamente a função lucro.
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15) Uma empresa fabrica peças a um custo de $ 2,00 a unidade e tem uma despesa fixa semanal de $ 5.000,00. Se são vendidas n peças por semana ao preço de (22/3 – n/30) a unidade, quantas peças devem ser vendidas por semana para se obter o maior lucro possível?
 
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 16) Dados três elementos de f(x) = ax² + bx + c, determine f nos casos:
a) (3;0), (0;-9), (2;-1)
b) (0;9), (-3;0), (3;0)
c) (0;1), (1;2), (2;7)
d) (-1;0), (2;0), (0;-2)
e) (2; -9), (3; -19), (4; -35)
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17) O consumo de combustível de um automóvel é função da sua velocidade média. Para certo automóvel, essa função é dada por C(v) = 0,03v² - 2v + 20, sendo C o consumo de combustível, em mililitros por quilômetro, e v a velocidade média em quilômetros por hora. Nessas condições, para esse automóvel, qual velocidade média corresponde a um consumo de 120ml/km? 
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18) Uma microempresa, atuante na área de feiras de artesanatos, calculou que o custo total de uma tela para pintura pequena é R$ 30,00. A microempresa acredita que se vender cada tela por “p” reais, venderá, por mês, 90 – p telas (0<p<90). 
a) Determine o custo em função do preço p de venda;
b) Determine a receita (o valor arrecadado com a venda das telas) em função do preço p;
c) Determine o lucro, em função do preço p;
d) Qual será seu lucro mensal se o preço de venda de cada tela for de R$ 40,00?
e) Para que valores de “p” a microempresa terá lucro máximo? Qual será esse lucro?
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19) Os dados experimentais da tabela a seguir correspondem às concentrações de uma substância química medida em intervalos de 1 segundo. Assumindo que a linha que passa pelos três pontos experimentais é uma parábola, tem-se que a concentração (em mol) após 4 segundos é:
Tempo (s) Concentração (mol)
 	1		 27,00
	2		 32,00
	3		 35,00
 
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20) Os dados experimentais da tabela a seguir correspondem às temperaturas observadas de uma substância medida em intervalos de um minuto, durante uma reação química. Assumindo que a linha que passa pelos três pontos experimentais é uma parábola, determine:
Tempo (min) Temperatura (ºC) 
	1			- 27
	3			 21
	5			 45
a temperatura no início da reação;
a temperatura máxima atingida durante a reação;
a temperatura atingida ao final da reação, sabendo-se que esta durou 12 minutos.
 
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Respostas
1) a) (1;0) e (3;0) b) (0;6) c) (2;-2) 
 
2) a) (2;0) e (6;0) b) (0;12) c) (4;-4)
 
3) a) (2;0) e (6;0) b) (0;-24) c) (4;8) 
4) a) (2;0) e (6;0) b) (0;-36) c) (4;-12)
5) a) 5000 usuários b) 2720 usuários; 25160 usuários c) 11 meses
6) a) R$ 32.000,00 b) R$ 3,50 ou R$ 6,50 c) R$ 5,00; R$ 50.000,00 d) gráfico: (0;0), (5;50000); (10;0)
7) a) R$ 495.000,00 b) 6000 unidades ou 14000 unidades c) 10000 unidades; R$ 500.000,00 d) gráfico
8) a) R$ 17.280,00; R$ 15.000,00 b) 3 < p < 9 c) R$ 6,00; R4 27.000,00 d) gráfico e) 4,50 < p < 7,50
9) a) –R$160.000,00; p = R$ 4,00 ou p= R$ 8,00 b) p = R$ 6,00; L = R$ 20.000,00 c) gráfico
10) a) – R$ 480.000,00; 6000 unidades ou 10000 unidades b) 8000 unidades; R$ 32.000,00
11) a) p = R$ 6,00; L = R$ 16.000,00 
12) a) p(f) = 60 – 0,25f ou f(p) = −4p +240 b) R(p) = −4p²+240p; p = R$ 30,00; f = 120 pessoas; R = R$ 3.600,00
13) a) R(p) = 30000p – 2000p²; R$ 7,50; R$ 112.500,00 
 b) L(p) = -2000p² + 32000p – 56000; R$ 8,00; R$ 72.000,00
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Respostas
14) Case
a) N(p) = 30000 – 4000p 
b) 10000 unidades; R$ 50.000,00
c) 30000 unidades; R$ 7,50; gráfico
d) R$ 25.000,00 
e) R(p) = 30000p – 4000p² 
f) R$ 54.000,00; 12000 unidades
g) 2000 unidades a R$ 7,00 ou 28000 unidades a R$ 0,50.
h) R$ 6,00 ou R$ 1,50
i) R$ 3,75; R$ 56.250,00; 15000 unidades
j) gráfico (0;0), (3,75; 56250), (7,50;0)
k)C(N) = 12000 + 1.N; R$ 17.000,00; R$ 6,25
l) C(p) = 42000 – 4000p; R$ 16.000,00; 4000 unidades
m) gráfico 
n) R$ 23.000,00; R$ 4,75; R$ 52.250,00; R$ 29.250,00
o) L(p) = –4000p² +34000p – 42000
p) R$ 26.250,00; 17000 unidades; R$ 29.000,00; R$ 55.250,00
q) 1.o) R$ 2,50; 20000 unidades; R$ 32.000,00; R$ 50.000,00
 2.o) R$ 6,00; 6000 unidades; R$ 18.000,00; R$ 36.000,00
r) 1,50 < p <7,00
s) R$ 4,25; R$ 30.250,00; 13000 unidades
t) gráfico
 
15) 80
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Respostas
16) a) y = – x² + 6x – 9 b) y = – x² + 9 c) y = 2x² – x +1 d) y = x² – x – 2 e) y = – 3x² + 5x – 7 
17) 100 km/h
18) a) C(p) = 2700 – 30p b) R(p) = 90p – p² c) L(p) = – p² +120p – 2700 d) R$ 500,00 e) R$ 60,00 e R$ 900,00
19) 36
20) a) – 60°C b) 48C c) – 60C
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