EngProdComp 2017 MCA502CalculoII P4 GABARITO

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1 
 
AVALIAÇÃO PRESENCIAL 
CADERNO DE PERGUNTAS 
curso: Engenharia de Produção/ Engenharia de Computação bimestre: 4
o bimestre ano: 2018 | 1sem P4 
• Preencha atentamente o cabeçalho de TODAS AS FOLHAS DE RESPOSTA que você utilizar. 
• Ao término da prova, entregue apenas a folha de resposta ao aplicador. Leve este caderno de 
perguntas consigo. 
Boa prova! 
 
disciplina MCA502 - Cálculo II 
 
• O aluno deve trazer o resumo téorico em formato impresso. O material está disponível no ava. 
 
Questão 1 (1,0 ponto) 
Determine a reta normal ao elipsoide 𝑥𝑥
2
4
+ 𝑦𝑦2 + 𝑧𝑧2
4
= 1 no ponto �1, √2
2
, 1�. 
a) 𝑋𝑋(𝑠𝑠) = ( 1 + 𝑠𝑠
2
, √2
2
+ 𝑠𝑠√2, 1 + 𝑠𝑠
2
) 𝑠𝑠 ∈ ℝ 
b) 𝑋𝑋(𝑠𝑠) = ( 1 + 𝑠𝑠
2
, √2
2
− 𝑠𝑠√2, 1 + 𝑠𝑠
2
) 𝑠𝑠 ∈ ℝ 
c) 𝑋𝑋(𝑠𝑠) = ( 1 − 𝑠𝑠
2
, √2
2
+ 𝑠𝑠√2, 1 − 𝑠𝑠
2
) 𝑠𝑠 ∈ ℝ 
d) 𝑋𝑋(𝑠𝑠) = ( 1 + 𝑠𝑠, √2
2
+ 𝑠𝑠√2, 1 + 𝑠𝑠) 𝑠𝑠 ∈ ℝ 
e) Nenhuma das anteriores. 
 
Questão 2 (1,0 ponto) 
O volume do sólido formado pelos pontos acima do retângulo 𝑅𝑅 = [0, 4]𝑋𝑋[1, 3] do plano xy e abaixo do 
gráfico da função𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 6𝑥𝑥𝑦𝑦2 é: 
 
a) 416 
b) 432 
c) 448 
d) 464 
e) Nenhuma das anteriores. 
 
Questão 3 (1,0 ponto) 
Calcule o valor da integral de linha, ∫ 𝑓𝑓(𝑠𝑠)𝑑𝑑𝑠𝑠𝛾𝛾 , do campo escalar 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧) = 2𝑥𝑥 sobre o arco de curva 
𝛾𝛾(𝑠𝑠) = (𝑠𝑠, 𝑠𝑠2, 3), 0 ≤ 𝑠𝑠 ≤ 2 
 
a) 1
6
(√17 + 1) 
b) 17
6
√17 
c) 1
6
(1 − 17√17) 
d) 1
6
(√17 − 1) 
e) Nenhuma das anteriores. 
 
 
CÓDIGO DA PROVA 
2 
 
Questão 4 (1,0 ponto) 
A equação da reta tangente à curva 𝛾𝛾(𝑡𝑡) = (𝑡𝑡2, 𝑡𝑡2 + 1, 𝑡𝑡) no ponto (4,5,2) é: 
 
a) 𝑋𝑋(𝑠𝑠) = (4 + 2𝑠𝑠, 5 + 2𝑠𝑠, 2 + 𝑠𝑠), 𝑠𝑠 ∈ ℝ 
b) 𝑋𝑋(𝑠𝑠) = (4 + 4𝑠𝑠, 5 + 2𝑠𝑠, 2 + 𝑠𝑠), 𝑠𝑠 ∈ ℝ 
c) 𝑋𝑋(𝑠𝑠) = (4 + 4𝑠𝑠, 5 + 4𝑠𝑠, 2 + 𝑠𝑠), 𝑠𝑠 ∈ ℝ 
d) 𝑋𝑋(𝑠𝑠) = (4 + 4𝑠𝑠, 5 + 4𝑠𝑠, 2 + 2𝑠𝑠), 𝑠𝑠 ∈ ℝ 
e) Nenhuma das anteriores. 
Questão 5 (1,0 ponto) 
Calcule o trabalho realizado pelo campo vetorial �⃗�𝐹(𝑥𝑥,𝑦𝑦, 𝑧𝑧) = −𝑦𝑦𝚤𝚤 + 𝑥𝑥𝚥𝚥 + 𝑧𝑧𝑘𝑘�⃗ sobre a trajetória 
 𝛾𝛾(𝑡𝑡) = (2𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑡𝑡, 2𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑡𝑡, 4𝑡𝑡), 0 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 𝜋𝜋. 
 
a) 8𝜋𝜋2 
b) 4𝜋𝜋 + 4𝜋𝜋2 
c) 4𝜋𝜋 + 8𝜋𝜋2 
d) 4𝜋𝜋 − 8𝜋𝜋2 
e) Nenhuma das anteriores. 
 
Questão 6 (1,0 ponto) 
Sobre o campo vetorial �⃗�𝐹(𝑥𝑥,𝑦𝑦) = −2𝑥𝑥𝑦𝑦3𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑥𝑥2𝚤𝚤 + 3𝑦𝑦2𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑥𝑥2𝚥𝚥 podemos afirmar: 
 
a) Uma função potencial é 𝜑𝜑(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 𝑦𝑦3𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑥𝑥2 
b) 𝑅𝑅𝑐𝑐𝑡𝑡�⃗�𝐹 ≠ 0�⃗ 
c) O campo não é conservativo. 
d) O campo é conservativo. 
e) Nenhuma das anteriores. 
 
Questão 7 (1,0 ponto) 
Calcule o fluxo ∬ (5𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2𝑧𝑧 − 3𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑦𝑦 ∧ 𝑑𝑑𝑧𝑧 + (8𝑦𝑦 − 𝑠𝑠7𝑥𝑥𝑧𝑧)𝑑𝑑𝑧𝑧 ∧ 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 5𝑧𝑧𝑑𝑑𝑥𝑥 ∧ 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑆𝑆 através da superfície S que é o 
bordo do cubo do espaço ℝ3 , cujos vértices são os 8 pontos de coordenadas (0,0,0), (0,0,1), (0,1,0), (1,0,0), 
(1,1,0), (1,0,1), (0,1,1) e (1,1,1) orientada com a normal que aponta para fora. 
 
a) 𝜋𝜋 
b) 10 
c) −10 
d) 8 
e) Nenhuma das anteriores. 
 
Questão 8 (1,0 ponto) 
Calcule a massa da placa plana descrita por 4 ≤ 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 ≤ 9, com densidade 𝛿𝛿 = 𝛿𝛿(𝑥𝑥,𝑦𝑦) = 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2. 
 
a) 75𝜋𝜋
2
 
b) 65𝜋𝜋
4
 
c) 65𝜋𝜋 
d) 42𝜋𝜋
3
 
e) Nenhuma das anteriores. 
 
 
3 
 
Questão 9 (1,0 ponto) 
Calcule ∫ 2𝑠𝑠2𝑥𝑥𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑦𝑦𝑑𝑑𝑥𝑥 − 𝑠𝑠2𝑥𝑥𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑦𝑦𝑑𝑑𝑦𝑦 𝛾𝛾 ,sendo 𝛾𝛾 a curva esboçada a 
seguir, ligando o ponto (-3, 0 ) ao ponto (3, 0). 
 
a) 2𝑠𝑠6 
b) 𝑠𝑠6 + 𝑠𝑠−6 
c) 𝑠𝑠6 − 𝑠𝑠−6 
d) −𝑠𝑠6 + 𝑠𝑠−6 
e) Nenhuma das anteriores. 
 
 
Questão 10 (1,0 ponto) 
Sobre a função 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑥𝑥𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑦𝑦 definida em �− 𝜋𝜋
2
, 𝜋𝜋
2
� 𝑋𝑋 �−
𝜋𝜋
2
, 𝜋𝜋
2
� é correto afirmar: 
 
a) (0,0) é seu único ponto crítico e é um ponto de máximo local. 
b) (0,0) é seu único ponto crítico e é um ponto de mínimo local. 
c) (0,0) é seu único ponto crítico e não é nem ponto de máximo nem de mínimo local. 
d) 𝑓𝑓 não possui pontos críticos no domínio definido no enunciado. 
e) Nenhuma das anteriores. 
 
4 
 
GABARITO 
 
curso: Engenharia de Produção/ Engenharia de Computação bimestre: 4
o bimestre P4 
 
Disciplina: MCA502 - Cálculo II 
 
Questão 1 
alternativa A: Considere a função 𝑓𝑓(𝑥𝑥,𝑦𝑦, 𝑧𝑧) = 𝑥𝑥2
4
+ 𝑦𝑦2 + 𝑧𝑧2
4
. O elipsoide 𝑥𝑥
2
4
+ 𝑦𝑦2 + 𝑧𝑧2
4
= 1 é a superfície de nível 
1 desta função. O gradiente da função num ponto é perpendicular à superfície de nível por aquele ponto e, 
portanto é um vetor na direção da reta procurada (normal) . 
∇��⃗ 𝑓𝑓(𝑥𝑥,𝑦𝑦, 𝑧𝑧) = �𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑥𝑥
, 𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
, 𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑧𝑧
� = (𝑥𝑥
2
, 2𝑦𝑦, 𝑧𝑧
2
) ⇒ ∇��⃗ 𝑓𝑓 �1, √2
2
, 1� = (1
2
,√2, 1
2
) 
Reta normal: 𝑋𝑋(𝑠𝑠) = �1, √2
2
, 1� + 𝑠𝑠 �1
2
,√2, 1
2
� = ( 1 + 𝑠𝑠
2
, √2
2
+ 𝑠𝑠√2, 1 + 𝑠𝑠
2
) 𝑠𝑠 ∈ ℝ 
 
Questão 2 
alternativa A: Volume = ∬ 𝑓𝑓(𝑥𝑥,𝑦𝑦)𝑑𝑑𝑑𝑑 =𝑅𝑅 ∫ ∫ 6𝑥𝑥𝑦𝑦2𝑑𝑑𝑦𝑦𝑑𝑑𝑥𝑥3140 = ∫ 2𝑥𝑥𝑦𝑦3|3140 𝑑𝑑𝑥𝑥 = ∫ 52𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥 = 26𝑥𝑥2|40 = 41640 
 
Questão 3 
alternativa E: ∫ 𝑓𝑓(𝑠𝑠)𝑑𝑑𝑠𝑠𝛾𝛾 = ∫ �𝛾𝛾′���⃗ (𝑠𝑠)�𝑏𝑏𝑎𝑎 𝑓𝑓�𝛾𝛾(𝑠𝑠)�𝑑𝑑𝑠𝑠 
𝛾𝛾(𝑠𝑠) = (𝑠𝑠, 𝑠𝑠2, 3) ⇒�⃗�𝛾′(𝑠𝑠) = (1, 2𝑠𝑠, 0). 
‖�⃗�𝛾′(𝑠𝑠)‖ = √1 + 4𝑠𝑠2 e também 𝑓𝑓�𝛾𝛾(𝑠𝑠)� = 2𝑥𝑥 = 2𝑠𝑠 
∫ 𝑓𝑓(𝑠𝑠)𝑑𝑑𝑠𝑠𝛾𝛾 = ∫ 2𝑠𝑠20 √1 + 4𝑠𝑠2𝑑𝑑𝑠𝑠 = ∫ 14171 √𝑢𝑢𝑑𝑑𝑢𝑢 = 14 ∙ 23 ∙ 𝑢𝑢32|171 = 16 (17√17 − 1) 
Fizemos a mudança 𝑢𝑢 = 1 + 4𝑠𝑠2, 𝑑𝑑𝑢𝑢 = 8𝑠𝑠𝑑𝑑𝑠𝑠, 𝑠𝑠 = 0 ⇒ 𝑢𝑢 = 1, 𝑠𝑠 = 2 ⇒ 𝑢𝑢 = 17 
 
Questão 4 
alternativa C: De 𝛾𝛾(𝑡𝑡) = (𝑡𝑡2, 𝑡𝑡2 + 1, 𝑡𝑡) = (4,5,2) segue 𝑡𝑡 = 2 
 𝛾𝛾(𝑡𝑡) = (𝑡𝑡2, 𝑡𝑡2 + 1, 𝑡𝑡)⇒ 𝛾𝛾′(𝑡𝑡) = (2𝑡𝑡, 2𝑡𝑡, 1) e 𝛾𝛾′(2) = (4, 4, 1) 
A reta tangente é 𝑋𝑋(𝑠𝑠) = (4, 5, 2) + 𝑠𝑠(4, 4, 1) = (4 + 4𝑠𝑠, 5 + 4𝑠𝑠, 2 + 𝑠𝑠), 𝑠𝑠 ∈ ℝ 
 
Questão 5 
alternativa C: Como Rot�⃗�𝐹 = � 𝚤𝚤 𝚥𝚥 𝑘𝑘�⃗𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑥𝑥
𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑧𝑧
−𝑦𝑦 𝑥𝑥 𝑧𝑧
� = 2𝑘𝑘�⃗ ≠ 0�⃗ segue que o campo não é conservativo e usaremos a 
definição. 𝛾𝛾(𝑡𝑡) = (2𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑡𝑡, 2𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑡𝑡, 4𝑡𝑡), temos 𝛾𝛾′(𝑡𝑡) = (−2𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑡𝑡, 2𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑡𝑡, 4) 
𝜏𝜏 = � −𝑦𝑦𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦 + 𝑧𝑧𝑑𝑑𝑧𝑧
𝛾𝛾
= � [(−2𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑡𝑡)(−2𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑡𝑡) + 2𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑡𝑡 ∙ 2𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑡𝑡 + 4𝑡𝑡 ∙ 4)]𝑑𝑑𝑡𝑡 = � (4 + 16𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑡𝑡 =𝜋𝜋
0
𝜋𝜋
0
 = (4𝑡𝑡 + 8𝑡𝑡2)|𝜋𝜋0 = 4𝜋𝜋 + 8𝜋𝜋2 
 
Questão 6 
alternativa D: 𝑅𝑅𝑐𝑐𝑡𝑡�⃗�𝐹 = �𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑥𝑥
−
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
� 𝑘𝑘�⃗ = 0�⃗ . Tentaremos encontrar função potencial 𝜑𝜑 = 𝜑𝜑(𝑥𝑥,𝑦𝑦). Devemos ter 
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑥𝑥
(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = −2𝑥𝑥𝑦𝑦3𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑥𝑥2 ⇒𝜑𝜑(𝑥𝑥,𝑦𝑦) = 𝑦𝑦3𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑥𝑥2 + 𝑔𝑔(𝑦𝑦) 
 
5 
 
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 3𝑦𝑦2𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑥𝑥2 ⇒𝜑𝜑(𝑥𝑥,𝑦𝑦) = 𝑦𝑦3𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑥𝑥2 + ℎ(𝑥𝑥) Comparando as duas expressões obtemos que uma função 
potencial é 𝜑𝜑(𝑥𝑥,𝑦𝑦) = 𝑦𝑦3𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑥𝑥2. Logo o campo é conservativo. 
 
Questão 7 
alternativa B: Pelo Teorema de Gauss vale: 
 𝐼𝐼 = ∬ (5𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2𝑧𝑧 − 3𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑦𝑦 ∧ 𝑑𝑑𝑧𝑧 + (8𝑦𝑦 − 𝑠𝑠7𝑥𝑥𝑧𝑧)𝑑𝑑𝑧𝑧 ∧ 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 5𝑧𝑧𝑑𝑑𝑥𝑥 ∧ 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑆𝑆 = ∭ (𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷�⃗�𝐹𝑉𝑉 )𝑑𝑑𝑑𝑑 == ∭ (𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝑥𝑥 + 𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕 +𝑉𝑉
𝜕𝜕𝑅𝑅
𝜕𝜕𝑧𝑧
)𝑑𝑑𝑑𝑑 
 𝐼𝐼 = ∭ (−3 + 8 + 5)𝑑𝑑𝑑𝑑 = 10𝑑𝑑𝑐𝑐𝑉𝑉(𝑑𝑑) = 10.𝑉𝑉 
 
Questão 8 
alternativa E: Massa = ∬ 𝛿𝛿(𝑥𝑥,𝑦𝑦)𝑑𝑑𝑑𝑑𝐷𝐷 = ∬ (𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2)𝑑𝑑𝑑𝑑𝐷𝐷 
Vamos usar coordenadas polares no cálculo da integral dupla 
Parametrização: 
𝑥𝑥 = 𝑟𝑟𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑟𝑟 0 ≤ 𝑟𝑟 ≤ 2𝜋𝜋 
𝑦𝑦 = 𝑟𝑟𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑟𝑟2 ≤ 𝑟𝑟 ≤ 3 
 Jacobiano = 𝑟𝑟 
𝛿𝛿(𝑥𝑥,𝑦𝑦) = 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 = 𝑟𝑟2 
∬ (𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2)𝑑𝑑𝑑𝑑𝐷𝐷 = ∫ ∫ 𝑟𝑟2 ∙ 𝑟𝑟𝑑𝑑𝑧𝑧𝑑𝑑𝑟𝑟 = ∫ 14 𝑟𝑟4|32𝑑𝑑𝑟𝑟 =2𝜋𝜋0322𝜋𝜋0 ∫ (814 − 4)𝑑𝑑𝑟𝑟 =2𝜋𝜋0 ∫ 654 𝑑𝑑𝑟𝑟 =2𝜋𝜋0 65𝜋𝜋2 
 
Questão 9 
alternativa C: 
Como a equação da curva não é fornecida, não conseguimos aplicar a definição de integral de linha. 
O campo é conservativo. Vamos obter sua função potencial: 
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑥𝑥
(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 2𝑠𝑠2𝑥𝑥𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑦𝑦 ⇒ 𝜑𝜑(𝑥𝑥,𝑦𝑦) = 𝑠𝑠2𝑥𝑥𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑦𝑦 + 𝑔𝑔(𝑦𝑦) 
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = −𝑠𝑠2𝑥𝑥𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑦𝑦 ⇒ 𝜑𝜑(𝑥𝑥,𝑦𝑦) = 𝑠𝑠2𝑥𝑥𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑦𝑦 + ℎ(𝑥𝑥) 
Comparando ambas expressões concluímos que 𝜑𝜑(𝑥𝑥,𝑦𝑦) = 𝑠𝑠2𝑥𝑥𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑦𝑦 é uma função potencial 
� 2𝑠𝑠2𝑥𝑥𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑦𝑦𝑑𝑑𝑥𝑥 − 𝑠𝑠2𝑥𝑥𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑦𝑦𝑑𝑑𝑦𝑦 
𝛾𝛾
= 𝜑𝜑(3,0) − 𝜑𝜑(−3,0) = 𝑠𝑠6𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠0 − 𝑠𝑠−6𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠0 = 𝑠𝑠6 − 𝑠𝑠−6 
 
Questão 10 
alternativa C: 
𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑥𝑥𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑦𝑦 ⇒ 𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑥𝑥
(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑥𝑥𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑦𝑦, 𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑥𝑥𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑦𝑦𝑦𝑦 
 𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑥𝑥
(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑥𝑥𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑦𝑦 = 0 ⇒ 𝑦𝑦 = 0 . 
 𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑥𝑥𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑦𝑦 = 0 ⇒ 𝑥𝑥 = 0 . 
 Logo o único ponto crítico no domínio considerado é (0,0) 
 𝜕𝜕
𝑒𝑒𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑥𝑥2
(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 𝜕𝜕𝑒𝑒𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕2
(𝑥𝑥,𝑦𝑦) = −𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑥𝑥𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑦𝑦 ⇒ 𝜕𝜕𝑒𝑒𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑥𝑥2
(0,0) = 𝜕𝜕𝑒𝑒𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕2
(0,0) = 0. 
𝜕𝜕𝑒𝑒𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑥𝑥𝜕𝜕𝜕𝜕
(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑥𝑥𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑦𝑦 ⇒ 𝜕𝜕𝑒𝑒𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑥𝑥𝜕𝜕𝜕𝜕
(0,0) = 1 
 
segue que 𝐷𝐷 = � 𝜕𝜕𝑒𝑒𝜕𝜕𝜕𝜕𝑥𝑥2 (0,0) 𝜕𝜕𝑒𝑒𝜕𝜕𝜕𝜕𝑥𝑥𝜕𝜕𝜕𝜕 (0,0)
𝜕𝜕𝑒𝑒𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑥𝑥𝜕𝜕𝜕𝜕
(0,0) 𝜕𝜕𝑒𝑒𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕2
(0,0) � = �0 11 0� = −1 < 0 
Como 𝐷𝐷 = −1 < 0 segue que (0,0) é não é ponto de máximo local e nem mínimo local.