Ortogonalização de Gram-Schmidt em Espaços Vetoriais

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Espaços Vetoriais
Processo de Ortogonalização
de Gram-Schmidt
O processo de ortogonalização de Gram-Schmidt
resolve o problema de, a partir de uma base 
qualquer de um espaço vetorial, obter uma base 
ortogonal.
Objetivo:
Processo para o espaço R2
1 2
1 2
;
, 0
Queremos que u e u sejam ortogonais ou seja
vamos calcular k para que u u =
{ } 21 2
1 1 2 2 1
, .
.
Considere A v v uma base de Sejam
u v e u v ku
=
= = −
�
2ℜ
Processo para o espaço R2
Interpretação geométrica
Quanto ao escalar k
Processo para o espaço R2
Processo para o espaço R2
Exemplo 1
Solução
Processo para o espaço R3
Interpretação geométrica
Processo para o espaço R3
Quanto ao escalar k1
Processo para o espaço R3
Quanto ao escalar k2
Processo para o espaço R3
Processo para o espaço R3
Então
Processo para o espaço R3
Exemplo 2:
Encontrar um vetor ortogonal ao subespaço vetorial S significa 
encontrar um vetor ortogonal aos vetores de uma base de S.
(a) Determinar uma base de S
(b) Determinar o conjunto dos vetores simultaneamente 
ortogonais aos vetores da base.
Solução:
Exemplo 3:
(a) Determinar uma base de S
(b) Determinar o conjunto dos vetores simultaneamente 
ortogonais aos vetores da base.
Solução
Exemplo 4:
( ) ( ) ( ){ }
{ }
{ }
. de
 vetorcada donormalizan ,, ortonormal base uma b)
Schmidt;-Gram de lização
-ortogona de processo pelo ,, ortogonal base uma a)
:determinar
,1,0,0,1,1,0,1,1,1A
usual interno produto ao relação em ortogonal não base a Dada
321
321
321
B
C
uuuB
vvv
µµµ=
=
===