AOL 6 Equações

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Resposta:
Podemos relacionar a quantidade de partículas e o tempo através da seguinte função: 
Explicação:
O tempo de meia vida de uma substância está relacionada com o cálculo diferencial e integral. Inicialmente, vamos escrever a quantidade de partículas de uma substância (N) em função do tempo (t).
Nesse caso, podemos calcular a variação dessa quantidade de partículas em função do tempo. Essa variação está relacionada com a derivação. Então: 
Onde N é a quantidade de partículas e λ é uma constante que determina a proporção de partículas em função da quantidade inicial. Note que esse valor é negativo, pois o tempo de meia vida está relacionado a desintegração, ou seja, a perda de partículas.
Agora, vamos multiplicar ambos os lados da equação por 1/N, de modo a ficar com a seguinte expressão:
De maneira análoga, vamos multiplicar ambos os lados da equação por dt, para remover esse valor do denominador.
Nesse momento, podemos aplicar a integral em ambos os lados da equação, resultando na seguinte expressão:
Dessa maneira, podemos calcular a primitiva em ambos os lados. No caso da fração, temos o logaritmo neperiano mais uma constante. No caso da constante, temos ela mesmo multiplicada pelo derivativo (t).
Podemos unir essas constantes em uma constante diferente, a qual vamos chamar de C. Então, isolando o logaritmo, temos:
Agora, vamos aplicar o número de Euler em ambos os lados, de modo a remover o logaritmo neperiano da equação.
Agora, note que C é uma constante arbitrária, onde podemos ter qualquer valor. Assim, consideramos essa parcela como a quantidade inicial de partículas.
Por fim, a função que relaciona a meia vida de uma substância em função do tempo decorrido é:
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