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Instituto Superior Te´cnico Ano Lectivo 2012/2013
Departamento de Matema´tica 19 de Novembro de 2012
Durac¸a˜o: 45 minutos
RESOLUC¸A˜O DO TESTE 2 DE A´LGEBRA LINEAR
CURSO: MEAer
1) a) V1 = {(x, 3w, 2w,w) ∈ R4 : x,w ∈ R}; como (x, 3w, 2w,w) = x(1, 0, 0, 0) + w(0, 3, 2, 1) conclui-se
que {(1, 0, 0, 0), (0, 3, 2, 1)} e´ uma base para V1
b) Sabemos que dim(V1) = 2 pelo quaisquer dois vectores (na˜o colineares) de V1 constituem uma base de
V1. Assim, {(1, 0, 0, 0), (4, 3, 2, 1)} e´ uma base para V1 e inclui o vector (4, 3, 2, 1)
c) E´ claro que V1 = N (A) com A =
[
0 1 0 −3
0 0 1 −2
]
. Por outro lado, (x, y, z, w) ∈ V2 sse o sistema com
matriz aumentada

4 x
3 y
2 z
1 w
 for poss´ıvel. Aplicando o me´todo de eliminac¸a˜o de Gauss temos
 4 x3 y2 z
1 w
 L1←→L4−−−−−→
 1 w3 y2 z
4 x
 −3L1+L2−−−−−→−2L1+L3−4L1+L4
 1 w0 y − 3w0 z − 2w
0 x− 4w
.
Portanto V2 = {(x, y, z, w) ∈ R4 : y − 3w = 0, z − 2w = 0, x − 4w = 0}, pelo que V2 = N (B) onde
B =
 0 1 0 -30 0 1 -2
1 0 0 −4
.
2) a) Seja p(t) = a0 + a1t+ a2t2. Enta˜o p(t) ∈ V sse a0 − 2a1 + 4a2 = 0, logo
p(t) = (2a1 − 4a2) + a1t+ a2t2 = a1(2 + t) + a2(−4 + t2)
pelo que {2 + t,−4 + t2} e´ uma base para V (e tambe´m de V + V pois V + V = V ).
b) As coordenadas de 6 + t− t2 nesta base sa˜o (1,−1) pois e´ a soluc¸a˜o de:
6 + t− t2 = α1(2 + t) + α2(−4 + t2).
3) (=⇒) Vamos supor que A e´ invert´ıvel. Seja B1 = {(a1, a2), (b1, b2)} e B2 = Bc a base cano´nica de R2.
Note que B1 e´ uma base de R2 pois A e´ invert´ıvel. E´ claro que SB1→B2 = A.
(⇐=) Sejam B1 e B2 bases de R2 tais que SB1→B2 =
[
a1 b1
a2 b2
]
, portanto
u1 = a1w1 + a2w2, u2 = b1w1 + b2w2 (∗).
Vamos supoˆr que SB1→B2 e´ na˜o invert´ıvel. Portanto existe
1 um vector na˜o nulo (c1, c2) ∈ N (SB1→B2); logo,
a1c1 + b1c2 = 0, a2c1 + b2c2 = 0 (∗∗).
Temos enta˜o que
c1u1 + c2u2=
(*)
c1(a1w1 + a2w2) + c2(b1w1 + b2w2) = (a1c1 + b1c2)w1 + (a2c1 + b2c2)w2 =
(**)
0w1 + 0w2 = 0.
Portanto c1u1 + c2u2 = 0 o que contradiz o facto de B1 = {u1, u2} ser uma base pois (c1, c2) 6= (0, 0).
1Resoluc¸a˜o alternativa: se A e´ na˜o invert´ıvel, enta˜o as 2 colunas de A sa˜o colineares e usando (*) conclui-se que os vectores
de u1 e u2 sa˜o colineares o que e´ contradito´rio.
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