Resolução de Teste de Álgebra Linear

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Instituto Superior Te´cnico Ano Lectivo 2011/2012
Departamento de Matema´tica 29 de Novembro de 2011
Durac¸a˜o: 45 minutos
RESOLUC¸A˜O DO TESTE 2 DE A´LGEBRA LINEAR
CURSOS: LMAC, MEBiom, MEFT
1) Usando operac¸o˜es elementares temos
A =

1 0 0
−2 0 0
1 −3 0
0 0 0
 −L1+L3−−−−−→2L1+L2

1 0 0
0 0 0
0 −3 0
0 0 0
 −→

1 0 0
0 −3 0
0 0 0
0 0 0
 = U .
a) Assim, car(A) = 2, logo dimN (A) = 3− 2 = 1. Mais
N (A) = N (U) = {x, y, z) ∈ R3 : x = 0,−3y = 0},
pelo que {(0, 0, 1)} e´ uma base para N (A).
b) Seja V := {(x, y, z, w) ∈ R4 : 2x+y = 0, w = 0}. Notemos que {(1,−2, 1, 0), (0, 0,−3, 0)} e´ uma base
para C(A). Como C(A) e V sa˜o subespac¸os lineares de R4 com a mesma dimensa˜o (igual a 2), a igualdade
C(A) = V fica demonstrada verificando que (1,−2, 1, 0), (0, 0,−3, 0) ∈ V .
2) Seja v = (a, b) ∈ R2. Enta˜o v = a(1, 0) + b(0, 1), pelo que
SB2→B1
[
cos(θ)
sen(θ)
]
=
[
a
b
]
.
Mas
SB2→B1 = (SB2→B1)
−1 =
[
cos(θ) −sen(θ)
sen(θ) cos(θ)
]−1
=
[
cos(θ) sen(θ)
−sen(θ) cos(θ)
]
,
pelo que a = 1, b = 0, i.e. v = (1, 0).
3) Claro que V + V = V e V = C(A) onde A =
 1 3 −11 0 2
1 −1 3
 (as colunas de A sa˜o os vectores que
geram V ), pelo que dim(V ) = car(A). Usando operac¸o˜es elementares, temos 1 3 −11 0 2
1 −1 3
 −L1+L3−−−−−→
−L1+L2
 1 3 −10 −3 3
0 −4 4
 −→
 1 3 −10 −3 3
0 0 0
 .
Assim, dim(V + V ) = 2.
4) a) u ∈ N (Ap) =⇒ Apu = 0 =⇒ A(Apu) = A0 =⇒ Ap+1u = 0 =⇒ u ∈ N (Ap+1).
b) Note-se que dim (N (Ap)) = n− car(Ap) ≤ n, i.e.
dim(N (Ap)) ≤ n (∗)
para qualquer p. Se na˜o existir nenhum s tal que N (As) = N (As+1), enta˜o temos uma contradic¸a˜o usando
a al´ınea a) e (*), pois ter´ıamos
dim(N (A)) < ... < dim(N (Ap)) < dim(N (Ap+1)) < dim(N (Ap+2)) < ...
para todo o p (em particular, podemos encontrar r tal que n < dim N (Ar)).