2a lista vetores e geometria analítica

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Universidade Federal de Mato Grosso do Sul
Instituto de Matema´tica
Disciplina: Vetores e Geometria Anal´ıtica
Professor: Rafael Lucas de Arruda
2
a
Lista de Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 1. Prove que as diagonais de um paralelogramo teˆm o mesmo ponto me´dio.
Exerc´ıcio 2. Prove que o segmento que une os pontos me´dios de dois lados de um triaˆngulo e´ paralelo
ao terceiro e tem a metade da sua medida.
Exerc´ıcio 3. Prove que o segmento que une os pontos me´dios dos lados na˜o-paralelos de um trape´zio
e´ paralelo a`s bases, e sua medida e´ a semi-soma das medidas das bases.
Exerc´ıcio 4. Prove que o segmento que une os pontos me´dios das diagonais de um trape´zio e´ paralelo
a`s bases, e sua medida e´ a semi-diferenc¸a das medidas das bases.
Exerc´ıcio 5. Seja r a raza˜o em que um ponto P divide um segmento orientado na˜o-nulo (A,B).
Prove que r 6= −1 e que
# –
AP =
r
1 + r
# –
AB.
Exerc´ıcio 6. Sejam A, B e C pontos distintos e p ∈ R. Seja X o ponto tal que
# –
AX = p
# –
AB. Expresse
# –
CX em func¸a˜o de
# –
CA,
# –
CB e p.
Exerc´ıcio 7. Na figura abaixo ABC e´ um triaˆngulo e M e N sa˜o, respectivamente, os pontos que
dividem (A,B) e (C,B) em uma mesma raza˜o r. Prove que MN e´ paralelo a AC e calcule
∥
∥
∥
# –
MN
∥
∥
∥
∥
∥
∥
# –
AC
∥
∥
∥
.
A
B
C
M N
Exerc´ıcio 8. Na figura abaixo ABCD e´ um trape´zio e M e N sa˜o, respectivamente, os pontos que
dividem (D,A) e (C,B) em uma mesma raza˜o r. Prove que
# –
MN =
r
1 + r
# –
AB +
1
1 + r
# –
DC. Deduza
que MN e´ paralelo a AB e que a medida de MN e´ igual a
r
∥
∥
∥
# –
AB
∥
∥
∥+
∥
∥
∥
# –
DC
∥
∥
∥
1 + r
.
A B
CD
M N
1
Exerc´ıcio 9. Sejam ABC um triaˆngulo, X o ponto que divide (A,B) na raza˜o 2 e Y o ponto que
divide (B,C) na raza˜o 3.
Expresse
# –
CX e
# –
AY em func¸a˜o de
# –
AB e
# –
AC.a)
Prove que as retas CX e AY sa˜o concorrentes e expresse o ponto de concorreˆncia P em func¸a˜o
de A,
# –
AB e
# –
AC.
b)
Exerc´ıcio 10. Sejam ABC um triaˆngulo, X o ponto da reta BC tal que C e´ o ponto me´dio de (B,X)
e Y o ponto da reta AC tal que as retas AX e BY sa˜o paralelas. Expresse
# –
AY em func¸a˜o de
# –
BA,
# –
BC
e prove que C e´ o ponto me´dio de AY .
A
B
C
X
Y
Exerc´ıcio 11. Sejam ABCD um quadrado, E um ponto de AD e F um ponto de CD tais que o
triaˆngulo BEF seja equila´tero. Calcule a raza˜o em que E divide (A,D) e a raza˜o em que F divide
(D,C).
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