Coordenadas e mudança de base

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Coordenadas de um vetor 
 
Seja 𝑉 um espaço vetorial e 𝑆 = {𝐯𝟏, 𝐯𝟐, . . . , 𝐯𝐧} ⊂ 𝑉 uma base de 𝑉. Se 𝐯 ∈ 𝑉, então: 
𝐯 = 𝑎1𝐯𝟏 + 𝑎2𝐯𝟐 + . . . + 𝑎𝑛𝐯𝐧. 
Se fixarmos a base 𝑆 (e sua ordem), 𝐯 pode ser escrito de maneira única. Nesse caso, chamamos 𝑆 de 
base ordenada e 𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛 são chamados de coordenadas de 𝐯 na base 𝑆. 
Denotamos: [𝐯]𝑆 = (
𝑎1
𝑎2
⋮
𝑎𝑛
). 
 
Exemplo: Sejam 𝑉 = ℝ2, 𝑆 = {(1,0), (0,1)} (𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑐𝑎𝑛ô𝑛𝑖𝑐𝑎)e 𝑆′ = {(1,1), (1,0)} base de ℝ2. 
Solução: 𝐯 = (3,2) ∈ ℝ2 e (3,2) = 3(1,0) + 2(0,1). Logo, [𝐯]S = (
3
2
). 
Mas, (3,2) = 2(1,0) + 1(1,2). Logo, [𝐯]S′ = (
2
1
). 
Note que 
(1,0) = 1(1,0) + 0(0,1). 
(1,2) = 1(1,0) + 2(0,1). 
E (
1 1
0 2
) [(3,2)]𝑆′ = (
1 1
0 2
) (
2
1
) = (
3
2
) = [(3,2)]𝑆 
 
Mudança de base 
 
Dadas duas bases S = {𝐮1, 𝐮2, … , 𝐮𝑛} e 𝑆′ = {𝐯𝟏, 𝐯𝟐, . . . , 𝐯𝐧} 
𝐰 = 𝑎1𝐮1 + 𝑎2𝐮2 + ⋯ + 𝑎n𝐮n (I) 
𝐰 = 𝑏1𝐯1 + 𝑏2𝐯𝟐 + . . . + 𝑏𝑛𝐯𝐧 (II) 
Como S é base de 𝑉, pode-se escrever os vetores de 𝑆′ como uma combinação linear de 
𝐮1, 𝐮2, … , 𝐮𝑛}: 
𝐯𝟏 = 𝑎11𝐮1 + 𝑎21𝐮2 + ⋯ + 𝑎𝑛1𝐮𝑛 
𝐯𝟐 = 𝑎12𝐮1 + 𝑎22𝐮2 + ⋯ + 𝑎𝑛2𝐮𝒏 
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 
𝐯𝑛 = 𝑎1𝑛𝐮1 + 𝑎2𝑛𝐮2 + . . . + 𝑎𝑛𝑛𝐮𝑛 
De (II) tem-se: 
𝐰 = 𝑏1(𝑎11𝐮1 + 𝑎21𝒖2 + ⋯ + 𝑎𝑛1𝐮𝑛) + 𝑏2(𝑎12𝐮1 + 𝑎22𝐮2 + ⋯ + 𝑎𝑛2𝐮𝑛) 
 + ⋯ + 𝑏𝑛(𝑎1𝑛𝐮1 + 𝑎2𝑛𝐮2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑛𝐮𝑛) 
Reordenando: 
𝐰 = (𝑎11𝑏1 + 𝑎21𝑏2 + ⋯ + 𝑎𝑛1𝑏𝑛)𝐮1 + (𝑎12𝑏1 + 𝑎22𝑏2 + ⋯ + 𝑎𝑛2𝑏𝑛)𝐮2 
 + ⋯ + (𝑎1𝑛𝑏1 + 𝑎2𝑛𝑏2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑛𝑏𝑛)𝐮𝑛 
Como 𝐰 é escrito de maneira única na base 𝑆, de (I) temos: 
𝑎1 = 𝑎11𝑏1 + 𝑎21𝑏2 + ⋯ + 𝑎𝑛1𝑏𝑛 
𝑎2 = 𝑎12𝑏1 + 𝑎22𝑏2 + ⋯ + 𝑎𝑛2𝑏𝑛 
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 
𝑎𝑛 = 𝑎1𝑛𝑏1 + 𝑎2𝑛𝑏2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑛𝑏𝑛 
Ou seja, 
(
𝑎1
𝑎2
⋮
𝑎𝑛
) = (
𝑎11 𝑎12 ⋯ 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 ⋯ 𝑎2𝑛
⋮ ⋮ ⋱ ⋮
𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 ⋯ 𝑎𝑛𝑛
) (
𝑏1
𝑏2
⋮
𝑏𝑛
) 
[𝐼]𝑠
𝑠′ = (
𝑎11 𝑎12 ⋯ 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 ⋯ 𝑎2𝑛
⋮ ⋮ ⋱ ⋮
𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 ⋯ 𝑎𝑛𝑛
) é a matriz de mudança da base 𝑆’ para a base 𝑆. 
 
Assim, seja [𝐰]𝑆 um vetor na base S e [𝐰]𝑆′ um vetor na base 𝑆′. Então: 
 
[𝐰]𝑆 = [𝐼]𝑠
𝑠′ [𝐰]𝑆′ 
 
Obs: [𝐼]𝑠
𝑠′ é invertível e [𝐼]𝑠′
𝑠 = ([𝐼]𝑠
𝑠′ )−1 
 
Exemplo: Dados 𝑆 = {(1,2), (1,1)} e 𝑆’ = {(1,1), (1,0)} bases do ℝ2 
a) Encontre a matriz mudança de base de 𝑆′ para 𝑆. 
Solução: 
 
(1,1) = 𝑎(1,2) + 𝑏(1,1)
(1,0) = 𝑐(1,2) + 𝑑(1,1)
⇒ [𝐼]𝑆
𝑠′ = [
𝑎 𝑐
𝑏 𝑑
] 
Temos: 
 (1,1) = (𝑎 + 𝑏, 2𝑎 + 𝑏) ⇒ {
𝑎 + 𝑏 = 1
2𝑎 + 𝑏 = 1
⇒ 𝑎 = 0 e 𝑏 = 1 
 (1,0) = (𝑐 + 𝑑, 2𝑐 + 𝑑) ⇒ {
𝑐 + 𝑑 = 1
2𝑐 + 𝑑 = 0
⇒ 𝑐 = −1 e d = 2 
Logo, [𝐼]𝑆
𝑠′ = [
0 −1
1 2
]. 
b) Encontre a matriz mudança de base de 𝑆′ para 𝑆. 
Solução: Como [𝐼]𝑠′
𝑠 = ([𝐼]𝑠
𝑠′ )−1, segue que: 
[𝐼]𝑠′
𝑠 = (
0 −1
1 2
)
−1
= (
2 1
−1 0
) 
Exemplo: Dados 𝑆 = {(1,2), (1,1)} e 𝑆’ = {(1,1), (1,0)} bases do ℝ2, 𝐯 = (3,5) ∈ ℝ2. Sabendo 
que [(3,5)]𝑆′ = (
5
−2
) (pois (3,5) = 5(1,1) − 2(1,0)), determine [(3,5)]𝑆. 
Solução: Temos que[(3,5)]𝑆 = [𝐼]𝑠
𝑠′ [(3,5)]𝑆′, em que [𝐼]𝑆
𝑠′ = [
0 −1
1 2
]. Logo, 
[(3,5)]𝑆 = [
0 −1
1 2
] (
5
−2
) = (
2
1
), 
Isto é, (3,5) = 2(1,2) + (1,1). 
 
Exercício: Dadas as bases 𝑆 = {(1,1,1), (1,1,0), (1,0,0)} e 𝑆’ = {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} de ℝ3. 
a) Encontre a matriz mudança de base de 𝑆 para 𝑆′. 
b) Sabendo que [𝐯]S = (
1
2
3
), encontre [𝐯]S′.