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Aula 28 Distribuições de Probabilidades Marginais Cássius Henrique CEA 012 - Probabilidade Distribuições de Probabilidades Marginais Cássius Henrique Xavier Oliveira Universidade Federal de Ouro Preto Departamento de Ciências Exatas e Aplicadas 2015 Aula 28 Distribuições de Probabilidades Marginais Cássius Henrique CEA 012 - Probabilidade Relembrando... Distribuição Conjunta para o caso Discreto Suponha que dado experimento aleatório envolve duas VAD’s: X e Y: A função de probabilidade conjunta: pXY (x, y) = P(X = x e Y = y) Se o par (x, y) é impossível, então: pXY (x, y) = zero Ao inclui todos os valores possíveis do par (X, Y), teremos Para qualquer subconjunto A do plano xy, 1, 1 1 i j jiXY yxp Ayx iiXY ii yxpAYXP , ,, Aula 28 Distribuições de Probabilidades Marginais Cássius Henrique CEA 012 - Probabilidade Relembrando... Distribuição Bivariada para o caso Discreto Tabela de Probabilidades x1 x2 x3 ... y1 P(x1, y1) P(x2, y1) P(x3, y1) y2 P(x1, y2) P(x2, y2) P(x3, y2) y3 P(x1, y3) P(x2, y3) P(x3, y3) ... Aula 28 Distribuições de Probabilidades Marginais Cássius Henrique CEA 012 - Probabilidade Distribuição Marginal Se mais de uma variável aleatória for definida em um experimento aleatório, será importante distinguir entre a distribuição de probabilidades conjunja de X e Y e a distribuição de cada variável individualmente. Distribuição individual de probabilidades de uma variável aleatória Distribuição de probabilidades marginais Aula 28 Distribuições de Probabilidades Marginais Cássius Henrique CEA 012 - Probabilidade Distribuição Bivariada Marginal Em geral, a distribuição de probabilidades marginais de X pode ser determinada a partir de probabilidades conjuntas de X e de outras variáveis aleatórias. Por exemplo: para determinar P (X = x), somamos P (X = y, Y = y) em todos os pontos na faixa de (X, Y), para os quais X = x. Os subscritos nas funções de probabilidade são usados para distinguir as variáveis aleatórias Aula 28 Distribuições de Probabilidades Marginais Cássius Henrique CEA 012 - Probabilidade Exemplo 1 Chamadas são feitas para verificar o horário de aviões na cidade de suas partidas. Você monitora o número de barras de potência de sinal de seu celular e o número de vezes em que você tem que dizer o nome da cidade de sua partida antes do sistema de vozes reconhecer o nome. Nos 4 primeiros bits transmitidos, seja X o número de barras de potência de sinal em seu telefone celular e Y o número de vezes que você tem que dizer o nome da cidade de sua partida. Considere a distribuição ao lado. a) Apresente fX b) Apresente fY x 1 2 3 y 4 0,15 0,1 0,05 3 0,02 0,1 0,05 2 0,02 0,03 0,2 1 0,01 0,02 0,25 Aula 28 Distribuições de Probabilidades Marginais Cássius Henrique CEA 012 - Probabilidade Exemplo 1 – Solução X = número de barras de potência de sinal em seu telefone celular Y = número de vezes que você tem que dizer o nome da cidade de sua partida a) Apresente fX b) Apresente fY x fY 1 2 3 y 4 0,15 0,1 0,05 3 0,02 0,1 0,05 2 0,02 0,03 0,2 1 0,01 0,02 0,25 fX Aula 28 Distribuições de Probabilidades Marginais Cássius Henrique CEA 012 - Probabilidade Exemplo 1 – Solução X = número de barras de potência de sinal em seu telefone celular Y = número de vezes que você tem que dizer o nome da cidade de sua partida a) Apresente fX b) Apresente fY x fY 1 2 3 y 4 0,15 0,1 0,05 0,30 3 0,02 0,1 0,05 2 0,02 0,03 0,2 1 0,01 0,02 0,25 fX Aula 28 Distribuições de Probabilidades Marginais Cássius Henrique CEA 012 - Probabilidade Exemplo 1 – Solução X = número de barras de potência de sinal em seu telefone celular Y = número de vezes que você tem que dizer o nome da cidade de sua partida a) Apresente fX b) Apresente fY x fY 1 2 3 y 4 0,15 0,1 0,05 0,30 3 0,02 0,1 0,05 0,17 2 0,02 0,03 0,2 1 0,01 0,02 0,25 fX Aula 28 Distribuições de Probabilidades Marginais Cássius Henrique CEA 012 - Probabilidade Exemplo 1 – Solução X = número de barras de potência de sinal em seu telefone celular Y = número de vezes que você tem que dizer o nome da cidade de sua partida a) Apresente fX b) Apresente fY x fY 1 2 3 y 4 0,15 0,1 0,05 0,30 3 0,02 0,1 0,05 0,17 2 0,02 0,03 0,2 0,25 1 0,01 0,02 0,25 fX Aula 28 Distribuições de Probabilidades Marginais Cássius Henrique CEA 012 - Probabilidade Exemplo 1 – Solução X = número de barras de potência de sinal em seu telefone celular Y = número de vezes que você tem que dizer o nome da cidade de sua partida a) Apresente fX b) Apresente fY x fY 1 2 3 y 4 0,15 0,1 0,05 0,30 3 0,02 0,1 0,05 0,17 2 0,02 0,03 0,2 0,25 1 0,01 0,02 0,25 0,28 fX Aula 28 Distribuições de Probabilidades Marginais Cássius Henrique CEA 012 - Probabilidade Exemplo 1 – Solução X = número de barras de potência de sinal em seu telefone celular Y = número de vezes que você tem que dizer o nome da cidade de sua partida a) Apresente fX b) Apresente fY x fY 1 2 3 y 4 0,15 0,1 0,05 0,30 3 0,02 0,1 0,05 0,17 2 0,02 0,03 0,2 0,25 1 0,01 0,02 0,25 0,28 fX Aula 28 Distribuições de Probabilidades Marginais Cássius Henrique CEA 012 - Probabilidade Exemplo 1 – Solução X = número de barras de potência de sinal em seu telefone celular Y = número de vezes que você tem que dizer o nome da cidade de sua partida a) Apresente fX b) Apresente fY x fY 1 2 3 y 4 0,15 0,1 0,05 0,30 3 0,02 0,1 0,05 0,17 2 0,02 0,03 0,2 0,25 1 0,01 0,02 0,25 0,28 fX Aula 28 Distribuições de Probabilidades Marginais Cássius Henrique CEA 012 - Probabilidade Exemplo 1 – Solução X = número de barras de potência de sinal em seu telefone celular Y = número de vezes que você tem que dizer o nome da cidade de sua partida a) Apresente fX b) Apresente fY x fY 1 2 3 y 4 0,15 0,1 0,05 0,30 3 0,02 0,1 0,05 0,17 2 0,02 0,03 0,2 0,25 1 0,01 0,02 0,25 0,28 fX 0,20 Aula 28 Distribuições de Probabilidades Marginais Cássius Henrique CEA 012 - Probabilidade Exemplo 1 – Solução X = número de barras de potência de sinal em seu telefone celular Y = número de vezes que você tem que dizer o nome da cidade de sua partida a) Apresente fX b) Apresente fY x fY 1 2 3 y 4 0,15 0,1 0,05 0,30 3 0,02 0,1 0,05 0,17 2 0,02 0,03 0,2 0,25 1 0,01 0,02 0,25 0,28 fX 0,20 0,25 Aula 28 Distribuições de Probabilidades Marginais Cássius Henrique CEA 012 - Probabilidade Exemplo 1 – Solução X = número de barras de potência de sinal em seu telefone celular Y = número de vezes que você tem que dizer o nome da cidade de sua partida a) Apresente fX b) Apresente fY x fY 1 2 3 y 4 0,15 0,1 0,05 0,30 3 0,02 0,1 0,05 0,17 2 0,02 0,03 0,2 0,25 1 0,01 0,02 0,25 0,28 fX 0,20 0,25 0,55 Aula 28 Distribuições de Probabilidades Marginais Cássius Henrique CEA 012 - Probabilidade Exemplo 1 – Solução X = número de barras de potência de sinal em seu telefone celular Y = número de vezes que você tem que dizer o nome da cidade de sua partida a) Apresente fX b) Apresente fY x fY 1 2 3 y 4 0,15 0,1 0,05 0,30 3 0,02 0,1 0,05 0,17 2 0,02 0,030,2 0,25 1 0,01 0,02 0,25 0,28 fX 0,20 0,25 0,55 Aula 28 Distribuições de Probabilidades Marginais Cássius Henrique CEA 012 - Probabilidade Exemplo 1 – Solução X = número de barras de potência de sinal em seu telefone celular Y = número de vezes que você tem que dizer o nome da cidade de sua partida a) Apresente fX b) Apresente fY x fY 1 2 3 y 4 0,15 0,1 0,05 0,30 3 0,02 0,1 0,05 0,17 2 0,02 0,03 0,2 0,25 1 0,01 0,02 0,25 0,28 fX 0,20 0,25 0,55 Aula 28 Distribuições de Probabilidades Marginais Cássius Henrique CEA 012 - Probabilidade Contextualizando... Retorne ao exemplo 1 (desta aula). Discuta: as probabilidades marginais respeitam os axiomas de probabilidade? Qual é a aplicação das distribuições marginais no tratamento dos dados? Em que ela facilita suas análises? Aula 28 Distribuições de Probabilidades Marginais Cássius Henrique CEA 012 - Probabilidade L5.2. Exercício 1 (CEA012 – Teste T4/2014-adp) Considere novamente a situação: Uma empresa seguradora tem ao balcão dois vendedores de seguros de vida. A experiência tem revelado que 50% das pessoas que contatam o vendedor A e apenas 25% das pessoas que contatam o vendedor B fazem um seguro de vida. Considere o par aleatório (X, Y) que representa o número de apólices vendidas diariamente por A e B, respectivamente, num dia em que cada vendedor atende 2 pessoas. Admitindo que cada pessoa contatou um só vendedor, foi gerada a distribuição de probabilidade conjunta que se encontra na tabela abaixo. Y X 0 1 2 0 0,140625 0,093750 0,015625 1 0,281250 0,187500 0,031250 2 0,140625 0,093750 0,015625 a) Apresente as distribuições marginal e X e Y (tabela e gráficos) b) Discorra sobre os mecanismos de se desenvolver cada distribuição marginal e apresente sua finalidade para o tratamento de informações. Aula 28 Distribuições de Probabilidades Marginais Cássius Henrique CEA 012 - Probabilidade L5.2. Exercício 2 Considere novamente a situação Uma urna contém 4 bolas pretas (P), 2 bolas brancas (B) e 2 bolas vermelhas (V). Extraem-se 2 bolas dessa urna, sem reposição. Seja X o número de bolas pretas e Y o número de bolas vermelhas. A distribuição conjunta é apresentada a seguir. Represente as distribuições marginais de X e Y por meio de tabela e gráficos. Aula 28 Distribuições de Probabilidades Marginais Cássius Henrique CEA 012 - Probabilidade L5.2. Exercício 3 Desenvolva as funções de probabilidade marginais para o exercício 3 da Aula 28. Aula 28 Distribuições de Probabilidades Marginais Cássius Henrique CEA 012 - Probabilidade L5.2. Exercício 4 Desenvolva as funções de probabilidade marginais para o exercício 4 da Aula 28. Aula 28 Distribuições de Probabilidades Marginais Cássius Henrique CEA 012 - Probabilidade Gabarito da Questão 1 x fX y fY 0 0,25 0 0,5625 1 0,50 1 0,3750 2 0,25 2 0,0625 0,000000 0,100000 0,200000 0,300000 0,400000 0,500000 0,600000 1 2 3 fy 0,000000 0,100000 0,200000 0,300000 0,400000 0,500000 1 2 3 fx Aula 28 Distribuições de Probabilidades Marginais Cássius Henrique CEA 012 - Probabilidade Sugestão para a próxima aula... Estudar o item 5.1.2 da referência abaixo: MONTGOMERY, D. C.; RUNGER, G. C. Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros. Editora LTC.
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