Aula 5 - Equações de Bernoulli, Ricatti e Clairault - Teoria

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Equações Diferenciais e Séries 
Professor Hans 
Aula 5: Equações de Bernoulli, Ricatti e Clairault - Teoria 
 
Equação de Bernoulli 
 
A equação diferencial 
 
( ) ( ) n
dy
P x y f x y
dx
 
 
 
Em que n é um número real qualquer, é 
chamada de equação de Bernoulli. Para 
0n 
 e 
1n 
, 
essa equação é linear em y. Agora, se 
0y 
, a 
equação pode ser escrita como 
 
1( ) ( )n n
dy
y P x y f x
dx
  
 
 
Se fizermos 
1 nw y 
, 
0n 
, 
1n 
, então 
 
(1 ) n
dw dy
n y
dx dx
 
 
 
Com essa substituição, obtemos a equação 
linear 
 
(1 ) ( ) (1 ) ( )
dw
n P x w n f x
dx
   
 
 
Resolvendo essa equação e depois fazendo 
1 ny w 
, obtemos uma solução para a equação de 
Bernoulli. 
 
 
Equação de Ricatti 
 
A Equação diferencial não-linear 
 
2( ) ( ) ( )
dy
P x Q x y R x y
dx
  
 
 
É chamada de equação de Ricatti. Se 
1y
 é uma 
solução particular, então as substituições 
 
1y y u 
 e 
1dydy du
dx dx dx
 
 
 
 
Produzem a seguinte equação diferencial para u: 
 
2
1( 2 )
du
Q y R Ru
dx
  
 
 
Que é uma equação de Bernoulli com 
2n 
, ela pode, 
por sua vez, ser reduzida à equação linear 
 
1( 2 )
dw
Q y R w R
dx
   
 
 
Através da substituição
1w u
 que equivale a 
 
1
1w y y

 
. 
 
 
 
Equação de Clairaut 
 
Pode-se mostrar que uma solução para a 
equação de Clairaut 
 
' ( ')y xy f y 
 
 
É a família de retas 
( )y cx f c 
, em que c é 
uma constante arbitrária. Ainda pode possuir uma 
solução em forma paramétrica: 
 
'( )x f t 
, 
( ) '( )y f t tf t 
 
 
Essa última solução é singular, pois, se 
''( ) 0f t 
, ela 
não pode ser obtida da família de soluções 
 
( )y cx f c 