Exemplo comentado é ou não subespaço vetorial

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Um exemplo de Verificação se é ou não subespaço vetorial. 
Tudo que está em vermelho são comentários que não precisam estar na resolução. 
 EX1 Verifique se 𝑊 = {𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥
2 + 𝑎3𝑥
3|𝑎0 = 𝑎1 − 3𝑎3} é subespaço de 𝐾2 (𝑥) . 
𝕆: Elemento neutro 
a) Verificar se o elemento neutro de 𝐾2(𝑥): 𝕆 = 0 + 0𝑥 + 0𝑥
2 + 0𝑥3 ∈ 𝑊. 
Para que um elemento pertença a W deve satisfazer a condição 𝑎0 = 𝑎1 − 3𝑎3 
 Como 0 = 0 − 3.0 (𝑉) , segue que 𝕆 ∈ 𝑊. 
b) Se 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑊, 𝑢 = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥
2 + 𝑎3𝑥
3, 𝑐𝑜𝑚 𝑎0 = 𝑎1 − 3. 𝑎3, 𝑒 
𝑣 = 𝑏0 + 𝑏1𝑥 + 𝑏2𝑥
2 + 𝑏3𝑥
3, 𝑐𝑜𝑚 𝑏0 = 𝑏1 − 3. 𝑏3 
 Temos 𝑢 + 𝑣 = (𝑎0 + 𝑏0) + (𝑎1 + 𝑏1)𝑥 + (𝑎2 + 𝑏2)𝑥
2 + (𝑎3 + 𝑏3)𝑥
3, precisamos 
verificar se 𝑎0 + 𝑏0 = (𝑎1 + 𝑏1) − 3(𝑎3 + 𝑏3) . se colocarmos simplesmente desta forma, 
estamos afirmando e não demostrando. 
 𝑎0 + 𝑏0 = (𝑎1 − 3. 𝑎3) + (𝑏1 − 3. 𝑏3) = 𝑎1 + 𝑏1 − 3 𝑎3 − 3𝑏3 = (𝑎1 + 𝑏1) − 3(𝑎3 + 𝑏3), 
como queríamos demonstrar. 
Portanto, 𝑢 + 𝑣 ∈ 𝑊. 
 
c) Se 𝛼 ∈ 𝑅 𝑒 𝑢 ∈ 𝑊 , 𝑢 = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥
2 + 𝑎3𝑥
3, 𝑐𝑜𝑚 𝑎0 = 𝑎1 − 3. 𝑎3, 
𝛼𝑢 = (𝛼𝑎0) + (𝛼𝑎1)𝑥 + (𝛼𝑎2)𝑥
2 + (𝛼𝑎3)𝑥
3, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 
 𝛼 𝑎0 = 𝛼(𝑎1 − 3. 𝑎3) = 𝛼𝑎1 − 3. 𝛼𝑎3 . 
𝑃𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜, 𝛼𝑢 ∈ 𝑊. 
Logo , por a), b), c) segue que W é um subespaço de 𝐾2(𝑥) 
 
EX2. Vamos mostrar que 𝑊 = {[
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
] | 𝑎 = 𝑏. 𝑐 } não é subespaço de 𝑀2 
𝕆: Elemento neutro 
a) 𝕆 = [
0 0
0 0
], Como 0=0.0=(V), temos que 𝕆 ∈ 𝑊. 
b) 𝑆𝑒 𝑢 = [
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
] ∈ 𝑊 𝑒 𝑣 = [
𝑥 𝑦
𝑧 𝑡
] ∈ 𝑊, 𝑎 = 𝑏𝑐 𝑒 𝑥 = 𝑦𝑧 
 
𝑢 + 𝑣 = [
𝑎 + 𝑥 𝑏 + 𝑦
𝑐 + 𝑧 𝑑 + 𝑡
], temos: 𝑎 + 𝑥 = 𝑏𝑐 + 𝑦𝑧, e (𝑏 + 𝑦)(𝑐 + 𝑧) = 𝑏𝑐 + 𝑏𝑧 +
𝑦𝑐 + 𝑦𝑧, podemos observar que 𝑎 + 𝑥 ≠ (𝑏 + 𝑦)(𝑐 + 𝑧). Logo,𝑢 + 𝑣 ∉ 𝑊. 
 
Como b) não é válido, segue que 𝑊 não é um subespaço vetorial de 𝑀2