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1 Espac¸os Vetoriais, Base e Dimensa˜o
Exerc´ıcios retirados dos livros [1, 2].
Exerc´ıcio 1.1 Quais dos conjuntos W abaixo sa˜o subespac¸os vetoriais do IR3?
(a) W = {(x, y, z) ∈ IR3 | x = 0}.
(b) W = {(x, y, z) ∈ IR3 | z ∈ ZZ}.
(c) W = {(x, y, z) ∈ IR3 | y e´ irracional}.
(d) W = {(x, y, z) ∈ IR3 | x− 3z = 0}.
(e) W = {(x, y, z) ∈ IR3 | ax+ by + cz = 0, a, b, c ∈ IR}.
Exerc´ıcio 1.2 Em IR2, mantenhamos a definic¸a˜o de produto αv de um nu´mero por um vetor
mas modifiquemos, de treˆs maneiras diferentes, a definic¸a˜o da soma u+v dos vetores u = (x, y)
e v = (x′, y′). Em cada tentativa, dizer quais axiomas de espac¸o vetorial continuam va´lidos e
quais sa˜o violados.
(a) u+ v = (x+ y′, x′ + y);
(b) u+ v = (xx′, yy′);
(c) u+ v = (3x+ 3x′, 5x+ 5x′).
Exerc´ıcio 1.3 Sejam U, V e W os seguintes subespac¸os do IR3:
U = {(x, y, z) | x = z},
V = {(x, y, z) | x = y = 0} e
W = {(x, y, z) | x+ y + z = 0}.
Verifique que U + V = IR3 e V +W = IR3. Em alguns dos casos a soma e´ direta?
Exerc´ıcio 1.4 [Entregar] Defina a me´dia u ∗ v entre dois vetores u, v no espac¸o vetorial E
pondo u ∗ v = 12u+ 12v. Prove que
(u ∗ v) ∗ w = u ∗ (v ∗ w)⇔ u = w.
Exerc´ıcio 1.5 Determinar um suplementar dos seguintes conjuntos:
(a) {(x, y, z) ∈ IR3 | x− y = 0};
(b) {(x, y, z, t) ∈ IR4 | x− y = z − t = 0}.
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Exerc´ıcio 1.6 Sejam U, V e W subespac¸os vetoriais de um mesmo espac¸o para os quais valem
o seguinte: U ∩ (V +W ) = V ∩W = {0}. Provar que se u+ v+w = 0(vetor nulo), com u ∈ U ,
v ∈ V e w ∈W , enta˜o u = v = w = 0.
Exerc´ıcio 1.7 Quais dos conjuntos abaixo sa˜o linearmente independentes?
(a) {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (2, 3, 5)};
(b) {(1, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 0,−2)};
(c) {(0, 0, 0), (1, 2, 3), 4, 1,−2};
(d) {(1, 1, 1), (1, 2, 1), (3, 2,−1)}.
Exerc´ıcio 1.8 Mostre que o conjunto {1, ex, xe2x} de vetores do espac¸o C([0, 1]) e´ L.I. .
Exerc´ıcio 1.9 Sejam α1, . . . , αn nu´meros reais distintos dois a dois. Mostre que o conjunto
de func¸o˜es {eα1t, . . . , eαnt} e´ L.I. .
Exerc´ıcio 1.10 [Entregar] Seja E = F1 ⊕ F2. Se B1 e´ base de F1 e B2 e´ base de F2, prove
que B1 ∪B2 e´ base de E.
Exerc´ıcio 1.11 Dar uma base e a dimensa˜o do subespac¸o W = {(x, y, z, t) ∈ IR4 | x − y =
y e x − 3y + t = 0}. Se U = [(1, 2, 1, 3), (3, 1,−1, 4)], determine uma base e a dimensa˜o de
U +W e de U ∩W .
Exerc´ıcio 1.12 Mostrar que os polinoˆmios 1, 1 + t, 1− t2 e 1− t− t2 − t3 formam uma base
de P3(IR).
Exerc´ıcio 1.13 Suponha que {u1, . . . , un} e´ base de um espac¸o vetorial. Mostre que {u1, u1 +
u2, . . . , u1 + u2 + . . .+ un} tambe´m e´ base desse espac¸o.
Exerc´ıcio 1.14 Considere as bases B = {e1, e2, e3} e C = {g1, g2, gn} de IR3 assim relaciona-
das:
g1 = e1 − e2 − e3,
g2 = 2e2 + 3e3,
g3 = 3e1 + e3.
(a) Determinar as matrizes de mudanc¸a de B para C e de C para B.
(b) Se um vetor u ∈ IR3 apresenta coordenadas 1, 2 e 3, em relac¸a˜o a B, quais as coordenadas
de u relativamente a C?
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Exerc´ıcio 1.15 [Entregar] Considere o seguinte subespac¸o vetorial de M2(IR):
U =

x y
z t
 | x− y − z = 0
 .
(a) Mostrar que os seguintes subconjuntos sa˜o bases de U :
B =

1 1
0 0
 ,
1 0
1 0
 ,
0 0
0 1
 e C =

1 0
1 0
 ,
0 −1
1 0
 ,
0 0
0 1
 .
(b) Achar as matrizes de mudanc¸a de B para C e de C para B.
(c) Achar uma base D de U , de tal maneira que a matriz de mudanc¸a de D para B seja
1 1 0
0 0 2
0 3 1
 .
Refereˆncias
[1] H. H. Domingues, C. Calioli, and R. Costa, A´lgebra linear e aplicac¸o˜es. Atual, 1982.
[2] E. L. Lima, “Algebra linear, 3a. edic¸ao,” IMPA, Rio de Janeiro, p. 22, 1996.
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