cap6-dinamica

Prévia do material em texto

95 
6. Dinâmica de Elétrons em 
Sólidos 
 
6.1 – O modelo de Drude 
 
Neste Capítulo trataremos da dinâmica de elétrons em sólidos, que consiste no 
estudo da resposta eletrônica a campos elétricos e magnéticos externos. Veremos que, em 
muitas situações, esta a resposta é bastante diferente do que se poderia esperar de um 
elétron isolado, ou seja, o potencial cristalino exerce um papel fundamental, dando 
origem a efeitos inusitados. Iremos, portanto, utilizar os diversos conceitos introduzidos 
no capítulo anterior, e veremos que será fundamental considerarmos a natureza quântica 
dos elétrons. Porém, é conveniente iniciarmos este estudo com um modelo clássico de 
condução cristalina. Faremos isto não apenas por razões históricas, mas também para 
introduzirmos alguns conceitos básicos e até mesmo para apontar as insuficiências deste 
modelo clássico, que tornaram clara a necessidade de uma formulação quântica da 
dinâmica eletrônica. Este modelo é conhecido como modelo de Drude. 
Em 1900, ou seja, apenas 3 anos depois da descoberta do elétron por J. J. 
Thomson, P. Drude formulou um modelo para a dinâmica daquelas então recém-
descobertas partículas com o objetivo de explicar, entre outras coisas, a condução de 
eletricidade e calor pelos metais. Naquela época, antes do surgimento da Mecânica 
Quântica, as ferramentas de Drude eram a Mecânica Newtoniana e a Termodinâmica. 
Drude então supôs que os elétrons em um sólido se comportavam como um gás de 
partículas clássicas, o que era a melhor suposição possível na ocasião. 
Drude supôs ainda que os elétrons se moviam em um cristal sofrendo seguidas 
colisões com os íons da rede, como está esquematizado na Fig. 6.1. Como vimos no 
Capítulo anterior, isto não é correto: em um potencial cristalino periódico um elétron de 
Bloch tem uma velocidade média independente do tempo. Se a hipótese de colisões com 
os íons estacionários fosse verdadeira, o livre caminho médio de um elétron no sólido 
seria da ordem das distâncias interatômicas, ou seja, apenas alguns angstrons. Como 
vimos, a baixas temperaturas o livre caminho médio pode chegar a alguns centímetros! 
Hoje sabemos que os mecanismos de espalhamento mais importantes para os 
elétrons não são os íons cristalinos estacionários, mas sim os defeitos da rede (como 
impurezas, vacâncias, etc.), as vibrações cristalinas (espalhamento elétron-fônon) e o 
espalhamento elétron-elétron. No entanto, podemos estudar o modelo de Drude sem nos 
preocuparmos com o mecanismo específico de espalhamento. Vamos fazer apenas as 
seguintes suposições: 
1. A probabilidade que um elétron sofra uma colisão entre os instantes t e t+dt é 
dada simplesmente por 
dt
, onde  é o tempo de relaxação. As colisões 
são portanto eventos não-correlacionados. 
2. Entre duas colisões, o elétron viaja em linha reta, como uma partícula livre. 
 96 
3. Após a colisão, o elétron "perde a memória" sobre sua velocidade anterior, e 
sua nova velocidade tem direção aleatória e módulo dado pela distribuição 
de Maxwell. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Iremos agora obter a equação de movimento dos elétrons segundo este modelo. 
Suponhamos que no instante t o momento linear médio dos elétrons seja 
)(tp
. Qual 
seria o momento médio no instante t+dt ? Bem, o momento de um elétron pode ser 
alterado por uma força externa 
)(tf
 ou por colisões. Como dissemos, um elétron sofre 
uma colisão entre t e t+dt com probabilidade 
dt
. Assim, a fração dos elétrons que 
colidem neste intervalo é 
dt
, e a fração dos elétrons que não colidem é 
)1( dt
. 
Assim, a contribuição para 
)( dtt p
 dos elétrons que não colidem é: 
 
  )1()()()( dtdtttdtt  fpp . 
 
 Os elétrons que sofreram colisão no intervalo de tempo considerado também 
contribuem para 
)( dtt p
, já que após a colisão eles continuam sendo acelerados pela 
força f(t). Podemos dizer que a contribuição destes elétrons é menor que 
dtdtt )(f
, já 
que não sabemos o instante exato da colisão. Este termo contribui apenas em ordem (dt)
2
 
para o momento médio final. Mantendo apenas os termos lineares em dt, temos 
 
dttdtttdtt )()()()( pfpp  , 
 
que nos permite então encontrar a equação de movimento: 
 

p
f
p

dt
d
 , 
 
onde, para simplificar a notação, abandonamos os colchetes para as quantidades médias. 
Fica implícito, porém, que esta não é uma equação para um elétron específico, mas 
(6.1) 
(6.2) 
(6.3) 
Figura 6.1 – Modelo clássico de dinâmica eletrônica proposto por Drude, segundo o qual os elétrons 
sofreriam colisões clássicas com os íons. 
 97 
descreve o movimento médio dos elétrons. Note que ela é uma equação de Newton com 
um termo dissipativo, devido às colisões. 
 Vamos analisar as previsões que esta equação fornece para alguns casos 
importantes: 
(A) Campo elétrico constante: Lei de Ohm 
No caso de um campo elétrico constante, temos 
Ef e
. A Equação (6.3) torna-
se então 
 

p
E
p
 e
dt
d
 . 
 
Estamos interessados principalmente na solução estacionária, ou seja, quando 
0dtdp
. 
Impondo esta condição, obtemos 
 
m
e E
v


 , 
 
onde 
mpv 
 é a velocidade média dos elétrons, conhecida como velocidade de 
arraste. A velocidade de arraste está relacionada à densidade de corrente 
vj ne
, onde 
n é a densidade de elétrons. Assim, obtemos 
 
EEj D
m
ne  
2 , 
 
onde 
m
ne
D


2

 é a condutividade de Drude. A Equação (6.6) é a conhecida lei de 
Ohm da condução elétrica, uma lei empírica que acabamos de demonstrar a partir de 
argumentos sobre o movimento microscópico dos elétrons. A expressão para a 
condutividade de Drude contém o tempo de relaxação como único parâmetro 
desconhecido, já que a massa eletrônica e a densidade de elétrons no metal são, em 
princípio, conhecidas. Ela nos permite, portanto, a partir de medidas experimentais da 
condutividade, obter o tempo de relaxação, um importante parâmetro associado ao 
movimento microscópico eletrônico. A Tabela 6.1 mostra resultados para  para diversos 
metais alcalinos a diferentes temperaturas. Note que  é da ordem de 10-14s e diminui 
fortemente com o aumento da temperatura. Assim, a resistividade dos metais aumenta 
com a temperatura, o que é verificado experimentalmente e é uma das características que 
os distingue dos semicondutores, como veremos futuramente. 
 
 
 
 
 
 
 
(6.4) 
(6.5) 
(6.6) 
 98 
Metal T = 77 K T = 273 K 
Li 7,3  10-14 s 0,88  10-14 s 
Na 17  10-14 s 3,2  10-14 s 
K 18  10-14 s 4,1  10-14 s 
 
 
 
 
 
 
Podemos entender de forma mais completa as razões do aumento da resistividade 
com a temperatura analisando os diversos tipos de espalhamento que um elétron pode 
sofrer. Como já dissemos, um elétron pode ser espalhado por impurezas. A concentração 
de impurezas é independente da temperatura, portanto espera-se que a resistividade 
associada a este processo de espalhamento também seja razoavelmente independente da 
temperatura, ou seja, 
constantei
. Um outro mecanismo de espalhamento é através de 
vibrações cristalinas. Estudaremos este mecanismo em mais detalhe no próximo capítulo, 
mas podemos adiantar que a resistividade associada a este mecanismo é linear com T a 
temperaturas altas (
Tv 
) e proporcional a T
5
 a temperaturas baixas. O terceiro 
mecanismo é o espalhamento elétron-elétron. Como vimos brevemente no Capítulo 
anterior, a seção de choque do espalhamento elétron-elétron é proporcional a T
2
 a baixas 
temperaturas, e portanto a resistividade associadaa este mecanismo tem a mesma 
dependência. Assim, a resistividade dos metais a baixas temperaturas é dominada por este 
termo quadrático: 
 
Tabela 6.1 – Tempo de relaxação em alguns metais alcalinos em função da temperatura. 
(6.7) 
Figura 6.2 – Medidas experimentais da resistividade do potássio a baixas temperaturas. Note o 
comportamento quadrático, convergindo para uma constante (resistividade devido a impurezas) a T = 0. 
Os dados se referem a duas amostras com diferentes graus de pureza. (Fonte: Kittel) 
 99 
2)( ATT i  
, 
 
esta expressão é conhecida como Regra de Matthiessen. A temperaturas altas o 
mecanismo de espalhamento elétron-elétron deixa de ser quadrático, e a resistividade é 
dominada pelo espalhamento elétron-fônon, linear com a temperatura. A verificação 
experimental da Regra de Matthiessen está mostrada na Fig. 6.2. 
 
(B) Campo elétrico e magnético constantes: Efeito Hall 
Na presença de campos elétricos e magnéticos, a força que atua sobre um elétron 
é a força de Lorentz: 
 
 BvEf  e
. 
 
A equação de movimento no regime estacionário torna-se, portanto, 
 
0




 


pBp
E
m
e
. 
 
 Uma geometria particular, porém de grande interesse prático, ocorre quando os 
campos elétrico e magnético aplicados são perpendiculares um ao outro. Esta geometria 
dá origem ao chamado Efeito Hall, descoberto por E. H. Hall em 1879 (ou seja, antes da 
descoberta do elétron). Considere um campo elétrico na direção x e um campo magnético 
na direção z, como mostra a Fig. 6.3. No regime transiente, um elétron inicialmente 
acelerado pelo campo elétrico longitudinal Ex é defletido na direção transversal –y pela 
força de Lorentz. Como a amostra é finita nesta direção, isto gera um acúmulo de carga 
negativa de um lado e positiva do outro, que produz um campo elétrico transversal na 
direção y que, no regime estacionário, cancela a componente transversal da força de 
Lorentz. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(6.8) 
(6.9) 
x 
y 
z B = Bz 
Exx 
Eyy 
v j 
+ + + + + + + + + + 
- - - - - - - - - - 
Figura 6.3 – Esquema do Efeito Hall. B e Ex são os campo aplicados, enquanto que o campo transversal 
Ey surge devido ao acúmulo de elétrons na parte anterior da amostra mostrada na figura. 
 100 
Como veremos a seguir, as quantidades de interesse são a magnetoresistividade 
longitudinal , 
x
x
j
E
B )(
 e o coeficiente Hall, 
Bj
E
R
x
y
H 
. Vamos calcular estas duas 
quantidades resolvendo as equações de movimento do modelo de Drude. Se B = Bz, 
então 
 Bpp xy yxBp 
. Usando a definição de frequência de cíclotron, 
m
eB
c 
, 
as componentes x e y da equação de movimento tornam-se 
 
0
0






y
xcy
x
ycx
p
peE
p
peE
 
 
Multiplicando ambas equações por 






m
ne
 e usando as definições de 
D
 e j, temos 
 
0
0


yxcyD
xycxD
jjE
jjE

 . 
 
No regime estacionário, 
0yj
. Assim, da 1
a
 equação temos 
 
Dx
x
j
E
B


1
)( 
, 
 
ou seja, no modelo de Drude a magnetoresistência é independente do campo magnético. 
Este resultado foi inicialmente um sucesso do modelo de Drude, já que confirmou os 
resultados iniciais de Hall de que 
 B
 era de fato independente de B. No entanto, 
medidas subsequentes em diferentes materiais e faixas de campo magnético mais 
extensas mostraram que, em alguns casos, 
 B
 pode ter uma dependência forte com B, 
o que não pode ser explicado por um modelo clássico como o de Drude. 
 Da 2
a
 equação, obtemos o coeficiente Hall 
 
neBj
E
R
x
y
H
1

. 
 
Este resultado é extremamente interessante e útil. Note que RH não depende do tempo de 
relaxação. Medidas de RH medem diretamente a densidade de elétrons e, o que é mais 
interessante, o sinal da carga dos mesmos. Veja alguns resultados na Tabela 6.2. 
 
 
 
 
(6.10) 
(6.11) 
(6.12) 
(6.13) 
 101 
Metal RH (exp)/(-1/ne) 
Li 0,8 
Na 1,2 
K 1,1 
Al -0,3 
Mg -0,2 
 
 
 
 Note que o valor de Drude está em bom acordo com os resultados experimentais 
para os metais alcalinos. Mas, para outros metais, o modelo falha completamente, até 
mesmo no sinal da carga dos portadores. Aparentemente, os portadores de eletricidade 
nestes materiais são positivos! Entenderemos melhor este aparente mistério nas próximas 
seções. Medidas experimentais mostram também uma forte dependência de RH com B, o 
que o modelo de Drude também não prevê. 
 
(C) Condutividade Térmica: Lei de Wiedemann-Franz 
Um dos maiores sucessos do modelo de Drude foi a explicação da Lei de 
Wiedemann-Franz. Há muito tempo sabia-se que os metais eram bons condutores de 
eletricidade e de calor. Suspeitava-se portanto de um mesmo mecanismo microscópico 
para os dois fenômenos. Drude supôs que este mecanismo seria o movimento dos elétrons 
nos metais. 
A Lei de Wiedemann-Franz é uma lei empírica descoberta a partir de medidas da 
condutividade térmica e elétrica de diversos metais: 
 
AT


, 
 
onde 

 é a condutividade térmica, 

 é a condutividade elétrica, T é a temperatura e A é 
uma constante. O que torna essa lei ainda mais interessante é o fato de que a constante A 
parecia ser razoavelmente independente do metal, variando entre 2,0-2,5  10-8 WK-2 
para os mais diversos materiais
1
. 
 Podemos obter a Lei de Wiedemann-Franz a partir dos argumentos de Drude 
sobre o movimento dos elétrons. Apresentaremos aqui uma demonstração simplificada, 
usando um modelo unidimensional. A condutividade térmica é definida por 
 
TQ 

j
, 
onde j
Q
 é a densidade de corrente de energia térmica e 
T
 é o gradiente da temperatura, 
Vamos supor uma barra metálica bastante fina, ao longo da direção x, com a temperatura 
diminuindo da esquerda para a direita, como mostra a Fig. 6.4. Os elétrons que chegam 
em um dado ponto x da barra vindos da esquerda sofreram sua última colisão, em média, 
no ponto 
vx
 , enquanto que os elétrons que chegam pela direita sofreram sua última 
colisão, em média, no ponto 
vx 
. Como se nota, os elétrons vindos da esquerda têm 
maior energia cinética, pois a temperatura é maior daquele lado. Haverá portanto um 
 
1
 Veja a Tabela 1.6 do Ashcroft. 
Tabela 6.2 – Resultados experimentais para o coeficiente Hall de alguns metais. 
(6.14) 
(6.15) 
 102 
fluxo de energia da esquerda para a direita. A densidade de corrente de energia térmica 
transportada pelos elétrons que vêm da esquerda é 
     vxTvn 2
, onde n/2 é a 
densidade de elétrons que viajam para da esquerda para a direita e (T) é a energia 
térmica por elétron correspondente à temperatura no ponto de onde os elétrons vieram. 
Analogamente, a densidade de corrente de energia térmica transportada pelos elétrons 
oriundos da direita é 
     vxTvn 2
. O fluxo total é, portanto, 
 
      








dx
dT
dT
d
nv
vxTvxTnvj Q


2
2
1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para obtermos uma expressão análoga para o caso tridimensional, basta notarmos 
que, na expressão acima, a velocidade corresponde à média da componente x. Usando 
que 
2
3
12 vv x 
, e sabendo que 
       vcVdTdEdTdVNdTdn   , onde cv 
é o calor específico eletrônico, temos 
Tcv v
Q 

2
3
1j
, 
 
ou seja,a condutividade térmica é dada por 
vcv 
2
3
1
. Para obtermos o a lei de 
Wiedemann-Franz, basta dividirmos pela condutividade elétrica de Drude (Eq. 6.6): 
 
2
2
3
1
ne
mvcv


 
 
Aplicando, como Drude fez, as leis da termodinâmica clássica, 
Bv nkc 2
3
 e 
Tkmv B2
32
2
1 
, obtemos 
 
T
e
kB
2
2
3








 . 
 
 Segundo o modelo de Drude, portanto, há uma constante de proporcionalidade A 
universal, como sugeriam os resultados experimentais. O valor numérico desta constante 
é de 1,1  10-8 WK-2, aproximadamente metade do valor experimental. Porém, na época 
(6.16) 
x x - v x + v 
T alta T baixa 
(6.17) 
(6.18) 
(6.19) 
Figura 6.4 – Transporte de energia em uma barra metálica com um gradiente de temperatura. 
 103 
Drude errou por um fator 2 o cálculo de sua condutividade (veja problema da lista), 
encontrando exatamente o valor experimental, o que soou como um sucesso estrondoso 
da teoria. Na verdade, além deste erro de cálculo, há outras duas discrepâncias por um 
fator de 100 que fortuitamente se cancelam: como vimos no capítulo passado, o calor 
específico à temperatura ambiente é tipicamente 100 vezes menor que o resultado 
clássico, enquanto que as velocidades quadráticas médias são da ordem de 100 vezes 
maiores, devido ao Princípio de Exclusão de Pauli. 
 
 
 
6.2 - Teoria Semi-Clássica 
 
 Como vimos, o modelo de Drude, apesar de servir como uma introdução 
qualitativa à dinâmica eletrônica em sólidos, contém diversas limitações fundamentais 
por ser um modelo clássico. Nesta Seção, iremos descrever uma teoria muito mais 
elaborada da dinâmica eletrônica, a teoria semi-clássica. 
 Na descrição semi-clássica a interação elétron-cristal é tratada quanticamente 
através da estrutura de bandas (supostamente conhecida) 
)(kn
, que é obtida, como 
vimos no Capítulo anterior, a partir da solução da equação de Schrödinger com um 
potencial periódico. Já a interação dos elétrons com os campos elétrico e magnético será 
descrita classicamente, daí o nome de teoria semi-clássica. 
 Os estados estacionários em um potencial periódico podem ser descritos pelas 
funções de Bloch 
)(rk
. Funções de Bloch têm o vetor de onda k bem definido, e 
portanto são deslocalizadas espacialmente, ou seja, a probabilidade de se encontrar um 
elétron em qualquer célula unitária do cristal é a mesma. Esta descrição satisfaz o 
princípio da incerteza, 
1 kx
 pois a incerteza no vetor de onda é nula, enquanto que a 
incerteza na posição é total. 
 Para descrevermos uma dinâmica semi-clássica, precisaremos determinar 
simultaneamente a posição e o momento de um elétron sem violar o princípio da 
incerteza. Isto só é possível porque não precisamos de precisão absoluta nesta 
determinação. A posição r do elétron deve ser bem definida se comparada com o 
comprimento de onda  dos campos externos aplicados, enquanto que o vetor de onda k 
deve ser bem definido se comparado às dimensões da Zona de Brillouin. 
 Este objetivo é alcançado através de um pacote de ondas de Bloch, construído de 
forma análoga a um pacote de ondas planas, usual em Mecânica Quântica: 
 


 






k
k krkkr t
i
gt nnn )(exp)()(),,( 

 . 
O vetor de onda k do pacote será bem definido se os coeficientes g(k') forem diferentes 
de zero apenas em uma pequena vizinhança k em torno de k. Para que k seja bem 
definido em relação às dimensões da Zona de Brillouin, necessitamos que k seja muito 
menor que as dimensões típicas da ZB, ou seja, 
 ak 1
, como mostra Fig. 6.5. 
 
 
(6.20) 
 104 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A partir da relação de incerteza 
1 kx
, isto implica que 
ax
, ou seja, a 
largura do pacote no espaço real é muito maior que as distâncias interatômicas. Como 
condição de validade da aproximação semi-clássica, esta largura deve ainda ser muito 
menor que o comprimento de onda dos campos externos para que possamos supor que o 
campo que atua em um elétron é bem definido. Estas condições estão esquematizadas na 
Fig. 6.6. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 As condições de validade descritas acima têm uma faixa de aplicação bastante 
ampla. A luz visível, por exemplo, tem comprimentos de onda na faixa de 10
4
 Å, muito 
maiores portanto que as distâncias interatômicas típicas. 
 Assim, de agora em diante, quando falarmos de um "elétron" estaremos nos 
referindo ao pacote de ondas de Bloch definido acima, com posição r, vetor de onda k e 
energia 
)(kn
 bem definidos. A velocidade do elétron é também bem definida, e dada 
pela velocidade de grupo do pacote de ondas: 
 
)(
1
)( k
k
kv k nn
d
d  


 . 
 
Reobtemos o resultado para a velocidade de um elétron de Bloch (Equação (5.44)), agora 
dentro de um contexto diferente. 
kx 
ky 
Região onde 
g(k')  0 
k 
Figura 6.5 - Apenas os coeficientes de Fourier de ondas de Bloch na região cinza contribuem para o
pacote de ondas, definindo k em relação às dimensões da ZB.
 
 
a 
x 
Figura 6.6 - Ilustração das condições de validade do modelo semi-clássico no espaço real: a<<x<<. 
(6.21) 
 105 
 A dinâmica eletrônica no modelo semi-clássico é regida por um conjunto de 
regras, definidas a seguir: 
1. O índice de banda n é uma constante do movimento. Transições banda-banda 
causadas pelos campos (absorção ou emissão de fótons) são efeitos quânticos 
que o modelo semi-clássico não se propõe a descrever. 
2. O vetor de onda k é definido na 1a Zona de Brillouin, ou seja, elétrons com 
vetor de onda k e k+G são o mesmo elétron. Consequentemente, se a 
dinâmica alterar o valor de k para fora da 1
a
 ZB, automaticamente subtrai-se 
um vetor G para que tenhamos de volta k na 1
a
 ZB. 
3. As equações semi-clássicas de movimento são: 
 BkvEFk
kkvr


)(
)(
1
)(
next
nn
e


  
 
 A Equação (6.23) merece uma justificativa. Mostramos no Capítulo anterior que 
k
 não é o momento do elétron, mas sim o momento cristalino. Pode então parecer 
estranho que 
extFk 

 , onde Fext é a força externa, no nosso caso a força de Lorentz. 
Mas não há nenhuma inconsistência nisso, já que a força externa não é a força total no 
elétron. As forças devido ao potencial cristalino já estão, de alguma forma, incluídas na 
relação de dispersão 
)(kn
. 
Vamos analisar em detalhe algumas das consequências das equações semi-
clássicas: 
 
(A) Bandas totalmente preenchidas não contribuem para condução 
Vamos analisar a dinâmica semi-clássica dos elétrons sob a ação de um campo 
elétrico constante em uma banda totalmente preenchida, como a da Fig. 6.7. A força 
externa é simplesmente 
EF eext 
. Podemos então resolver a Equação (6.23), obtendo 
 
t
e
t

E
kk  )0()(
. 
 
Note que, após um pequeno intervalo dt, os vetores de onda de todos os elétrons mudam 
pela mesma quantidade. Uma banda que está inicialmente preenchida continua 
exatamente da mesma maneira, com a única diferença que há uma permutação entre os 
vetores de onda dos elétrons, como mostra a Fig. 6.7. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(6.22) 
(6.23) 
(6.24) 
 106 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Vamos mostrar agora que a densidade de corrente elétrica associada a uma banda 
totalmente preenchida é nula. A densidade de corrente é dada por 
vj ne
. A 
velocidade média deve ser encontrada somando-se sobre todos os pontos k da 1
a
 ZB:  ZB d
e
N
ne )(
)2(
2
)(
2
3
kkkvj k
k



 . 
 
Usamos agora os seguintes fatos: (i) A função 
)(k
 é periódica no espaço recíproco, com 
período igual à 1
a
 ZB: 
)()( Gkk  
; (ii) (Teorema) A integral sobre uma célula 
unitária do gradiente de qualquer função periódica é zero. Este teorema está demonstrado 
no Apêndice I do Ashcroft. Assim, mostramos que 
0j
 para uma banda completamente 
preenchida. Este resultado justifica a definição de condutores e isolantes que fizemos na 
Seção 5.3, ou seja, materiais isolantes têm todas as bandas totalmente preenchidas ou 
vazias, enquanto que materiais condutores ou metálicos têm pelo menos uma banda semi-
preenchida, e só participam da condução de eletricidade os elétrons destas bandas. 
 
 (B) Buracos 
 Um dos resultados mais intrigantes apresentados na Seção anterior foi a medida 
do coeficiente Hall em alguns metais que aparentemente indicava que os portadores de 
carga seriam positivos. Veremos que a razão deste fenômeno está no comportamento 
coletivo dos elétrons em uma banda semi-preenchida que é muitas vezes melhor 
compreendido se interpretarmos a ausência de elétrons em alguns níveis como 
"partículas" de carga positiva, conhecidas como buracos. Vejamos algumas propriedades 
do buracos: 
 (i) Uma banda totalmente preenchida tem momento total igual a zero, ou seja, 
0
k
kk total
. Isto ocorre porque para cada vetor de onda k permitido existe um -k. Se 
retiramos um elétron com vetor de onda ke da banda, esta terá momento total -ke, ou 
podemos equivalentemente dizer que criou-se um buraco com momento 
eb kk 
, como 
mostra a Fig. 6.8. O buraco é a uma representação efetiva dos demais elétrons que 
restaram na banda. 
Figura 6.7 - Ilustração da dinâmica eletrônica a campo elétrico constante em uma banda totalmente 
preenchida. Todos os elétrons têm seu vetor de onda k alterado pelo mesmo valor, ocorrendo apenas uma 
permutação dos elétrons (indicados pelos números) pelos diferentes k's permitidos. 
(6.25) 
k 
 
10 
9 
8 
7 
6 
5 
4 
3 
2 
1 
k 
 
1 
10 
9 
8 
7 
6 
5 
4 
3 
2 
E 
t = 0 t = dt 
 107 
 (ii) A energia do buraco é o negativo da energia do elétron ausente, 
)()( eebb kk  
. Isto ocorre pois quanto mais baixa a energia do nível desocupado, 
maior será a energia total dos elétrons que restaram, ou seja, do buraco. Pode-se então 
definir uma banda virtual de buracos, com concavidade oposta à banda de elétrons, como 
mostra a Fig. 6.8. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(iii) A velocidade do buraco é igual à velocidade que teria o elétron ausente, 
eb vv 
. Isto pode ser verificado notando-se que as derivadas de 
)(k
 na Fig. 6.8 são 
idênticas tanto para o elétron como para o buraco. 
 (iv) Se 
eb kk 
 e 
eb vv 
, então a equação de movimento para buracos é : 
 
 BvEk  bb e
 , 
 
ou seja, é a equação de movimento para uma partícula de carga positiva +e! 
 Estas 4 características definem o conceito de buraco. Mas, como dissemos, a 
descrição da dinâmica dos elétrons em uma banda pode ser feita ou não utilizando-se este 
conceito. Veremos a seguir em que situações a utilização da idéia de buracos será mais 
útil. 
 
(C) Massa efetiva 
Em alguns casos de interesse, principalmente em semicondutores, o 
preenchimento das bandas é tal que uma das situações esquematizadas na Fig. 6.9 pode 
ocorrer: o nível de Fermi está localizado próximo do fundo ou do topo de uma banda. Na 
vizinhança de um máximo ou mínimo, a relação de dispersão pode sempre ser 
aproximada por uma expressão quadrática. Em uma dimensão, teríamos: 
 
 200)( kkAk  
, 
 
onde o sinal (+) descreve a banda em torno de um mínimo e o sinal (-) em torno de um 
máximo. 
 
 
k kb 
ke 
 
Figura 6.8 - Duas descrições equivalentes do mesmo sistema físico: uma banda de elétrons com um 
único nível vazio, de energia e e vetor de onda ke, ou uma banda de buracos com um único nível 
ocupado, de energia b=-e e vetor de onda kb=- ke. 
(6.26) 
(6.27) 
 108 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Por analogia com os elétrons livres, onde 
mk 2)( 22k 
, define-se uma massa 
efetiva 
m
 tal que 

 mA 22
. Assim, 
 
 20
2
0
2
)( kk
m
k 


. 
 
A velocidade e a aceleração podem então ser calculadas analiticamente: 




m
F
m
k
va
kk
mdk
d
kv
ext




)(
1
)( 0

 
 
 Vejamos estas relações em maior detalhe. Na vizinhança de um mínimo, temos 
amFext

, ou seja, o elétron se comporta como uma partícula livre com uma massa 
efetiva. A massa efetiva pode ser numericamente bastante diferente da massa do elétron 
(como veremos quando estudarmos os materiais semicondutores), o que irá alterar 
profundamente as propriedades dinâmicas dos elétrons, tornando-os mais “leves” ou mais 
“pesados”. Note que todo o efeito do potencial cristalino está embutido neste único 
parâmetro. Na vizinhança de um máximo, a situação torna-se ainda mais interessante e 
inesperada: 
amFext

, ou seja, a aceleração é em sentido oposto à força externa, como 
se o elétron tivesse uma massa efetiva negativa! Neste caso é útil o conceito de buracos
2
. 
Para a banda de buracos associada (veja Fig. 6.8) temos uma massa efetiva positiva e, 
como mostra a Eq. (6.26), uma equação de movimento para partículas de carga positiva. 
Assim, em situações como a mostrada na Fig. 6.9 (direita), em que o nível de Fermi passa 
perto do topo de uma banda, diz-se que os portadores de carga são buracos e não elétrons. 
 Em geral, a massa efetiva depende da direção cristalina. A generalização de (6.27) 
para três dimensões é 
kMkk  1
2
0
2
)(
 n
 , 
 
2
 Os físicos não se sentem muito confortáveis em lidar com partículas de massa negativa... 
Figura 6.9 - Situações importantes onde o conceito de massa efetiva é útil: banda ocupada apenas em 
torno de um mínimo (esquerda) ou desocupada em torno de um máximo (direita). 
(6.28) 
(6.29) 
(6.30) 
(6.31) 
F 
 
k k0 
F 
 
k k0 
 109 
onde M
-1
 é o tensor massa efetiva inversa: 
 
ji
ij
kk 


2
2
1 1

M
. 
Portanto, no caso mais geral, a aceleração não estará necessariamente na direção da força 
externa. Mais uma vez, isto pode ser entendido lembrando que a força externa não é a 
força total. A influência do potencial cristalino é importante, e está elegantemente 
embutida no tensor massa efetiva. 
 
(D) Dinâmica semi-clássica para campo elétrico constante 
Vamos agora resolver as equações semiclássicas (6.22) e (6.23) para alguns casos 
simples, porém interessantes. Vejamos inicialmente o que ocorre para um campo elétrico 
constante. Vamos supor que temos uma banda (como a que está mostrada na Fig. 6.10) 
ocupada por um único elétron. Como já vimos, a trajetória dos elétrons no espaço 
recíproco é dada pela Equação (6.24), ou seja, em um mesmo intervalo de tempo este 
elétron mudaria seu vetor de onda k pela mesma quantidade. Dado um intervalo de tempo 
bastante longo, o elétron percorreria no espaço recíproco toda a extensão da 1
a
 Zona de 
Brillouin, até ser “refletido” de volta ao início pela regra 
Gkk 
 (segunda regra do 
modelo semi-clássico). Como seria a trajetória deste elétron no espaço real? Bem, a 
velocidade é dada pela Equação (6.22). Mostramos na Fig. 6.10 um exemplo 
unidimensional, onde a velocidadeé simplesmente proporcional a 
dkd
. Como 
eEtktk  )0()(
, o eixo k pode ser simplesmente interpretado como o eixo –t, ou seja, 
o movimento do elétron é oscilatório. Chegamos assim a um resultado inesperado: em um 
cristal, um campo elétrico DC gera uma corrente AC! Estes movimentos oscilatórios são 
conhecidos como oscilações de Bloch, e sua origem está no fato que, na vizinhança dos 
pontos de máximo das bandas, a aceleração é contrária à força, como discutimos 
anteriormente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O fenômeno das oscilações de Bloch parece destoar da nossa experiência diária. 
Sabemos que, quando se aplica um campo elétrico constante a um metal, observa-se uma 
(6.32) 
k 
(k) 
v(k) 
t 
Figura 6.10 – Exemplo unidimensional das oscilações de Bragg de um elétron sob a ação de um campo 
elétrico constante. 
 110 
corrente elétrica DC (Lei de Ohm). De fato, as oscilações de Bloch ainda não foram 
observadas em metais comuns. Mostramos a seguir que a razão está no espalhamento dos 
elétrons, que discutimos na Seção anterior. 
 Para que as oscilações sejam observadas, é necessário que o elétron percorra uma 
“distância” 
k
 no espaço recíproco da ordem das dimensões da ZB, ou seja, 
-110 m 102  ak 
. Podemos então calcular o período deste movimento oscilatório: 
eEkT  
. Para campos elétricos típicos (E ~ 1 V/m), temos T ~ 10
-5
 s. Este deve ser o 
tempo de percurso livre de um elétron para que pudéssemos observar uma oscilação de 
Bloch. No entanto, vimos na Seção anterior que o tempo de relaxação (tempo médio entre 
duas colisões) dos elétrons em metais é da ordem de 10
-14
 s, ou seja, o elétron colide bem 
antes de realizar um ciclo completo pela ZB. 
Apesar destas dificuldades em metais, o fenômeno das oscilações de Bloch já foi 
observado em sistemas semicondutores artificiais, conhecidos como super-redes
3
. Uma 
super-rede do tipo mais simples é produzida pela deposição sequencial de 2 materiais 
diferentes, digamos A e B, com cada camada contendo vários planos atômicos, como 
mostra a Fig. 6.11. Assim, a periodicidade no espaço real é modificada artificialmente: a 
célula unitária torna-se muito maior. Isto implica que, no espaço k, a ZB torna-se muito 
menor. Com um 
k
 muito pequeno, torna-se possível observar as oscilações de Bloch. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(E) Dinâmica semi-clássica para campo magnético constante 
No caso de um campo magnético constante, a equação (6.23) torna-se: 
 
])([ BkvFk  eext

. 
 
Nota-se então que 
k
 é perpendicular tanto a B quanto a 
)(k
 (que é proporcional a 
v(k)). Portanto, no espaço recíproco o elétron se move em uma superfície de energia 
constante e em um plano perpendicular ao campo magnético, como mostra a Fig. 6.12. 
 
 
 
 
3
 K. Leo, P. H. Bolivar, F. Bruggemann, R. Schwelder e K. Kohler, Solid State Comm. 84, 943 (1992). 
A B A B … … 
a 
Figura 6.11 – Exemplo de uma super-rede AB. Cada camada consiste em diversos planos atômicos. 
Assim, a célula unitária (indicada pelo parâmetro de rede a) torna-se muito maior do que a célula unitária 
de um cristal típico, tornando então a ZB muito menor. 
(6.33) 
 111 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vamos analisar como seria então o movimento deste elétron no espaço real. Seja 
o campo magnético orientado na direção z, 
zB B
. A Equação (6.33) torna-se 
 
Bvek
Bvek
xy
yx



 , 
 
que podemos integrar e obter 
 
)()(
)()(
0
0
tk
eB
yty
tk
eB
xtx
x
y




 
 
Esta é portanto a trajetória do elétron no espaço real que, dependendo da complexidade 
da superfície de energia constante, pode ser bem complicada. Vamos tomar, como um 
exemplo simples, a trajetória elíptica mostrada na Fig. 6.12. Vamos supor que a elipse 
correspondente à trajetória no espaço k tenha seu semi-eixo maior ao longo de x. A Fig. 
6.13(a) mostra uma projeção desta trajetória no plano kz = 0. Estão mostrados alguns 
instantes da trajetória e seus vetores 
k
 correspondentes. Analisando as equações (6.34), 
obtemos as componentes x e y da velocidade no espaço real (Fig. 6.13(b)) 
correspondentes aos mesmos instantes da figura (a). Nota-se que a trajetória no espaço 
real é também no sentido anti-horário (como se esperaria de um elétron sob a ação de um 
campo magnético), porém girada de 90
o
 com relação à trajetória no espaço recíproco. Se 
levarmos em conta a componente vz da velocidade, que neste caso é constante, chegamos 
à conclusão que a trajetória do elétron é uma espiral. 
 
(6.34) 
(6.35) 
k(0) 
kx 
ky 
kz 
B = Bz 
 = constante 
Figura 6.12 – Órbita de um elétron no espaço recíproco sob a ação de um campo magnético constante. O 
vetor de onda do elétron se move em uma linha formada pela interseção da superfície de energia 
constante com um plano perpendicular ao campo magnético. 
 
 112 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O exemplo específico discutido acima pertence a uma classe de órbita conhecida 
como órbita de elétron. No entanto, este não é o único tipo de órbita. Os tipos de órbita 
possíveis estão descritos a seguir. 
 (i) Órbita de elétron 
 Se a superfície de Fermi não cruza os planos de Bragg que delimitam a 1
a
 ZB (por 
exemplo, metais alcalinos), as órbitas dos elétrons mais energéticos têm sentido anti-
horário, como mostra a Fig. 6.14. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(ii) Órbita de buraco 
 Consideremos agora uma situação onde a superfície de Fermi toca a borda da ZB. 
Isto ocorre, por exemplo, para os metais bivalentes. A Fig. 6.15(a) mostra esta situação 
no esquema de zona reduzida. Repare que a trajetória no elétron no espaço recíproco é tal 
que o elétron percorre uma certa distância ao longo da superfície de Fermi até sair da 1
a
 
ZB, quando então é trazido de volta por uma translação de um vetor G. A trajetória 
obedece à seqüência 
14321 
 mostrada na figura. É instrutivo analisar esta 
kx 
 
ky 
 
1 
4 
3 
2 
x 
 
y 
 
1 
2 
3 
4 
(a) (b) 
Figura 6.13 – Projeção no plano xy das órbitas no espaço recíproco (a) e no espaço real (b) de um elétron 
sob a ação de um campo magnético constante na direção z. Ambas as órbitas correspondem a um 
movimento no sentido anti-horário, mas estão giradas de 90
o
 entre si. 
Figura 6.14 – Órbita de elétron, no sentido anti-horário. 
 
k
 
1
a
 ZB 
B 
 113 
trajetória no esquema de zona repetida, na Fig. 6.15(b). Note que o elétron percorre uma 
órbita no sentido horário, como se fosse uma partícula de carga positiva! Mais uma vez 
notamos que o conceito de buraco aparece de como uma maneira natural para descrever a 
dinâmica destas partículas, e isto ocorre pois a superfície de Fermi encontra-se numa 
região próxima a um máximo da banda. As regiões desocupadas que a superfície de 
Fermi engloba (círculos brancos na figura) são chamadas bolsos de buracos ("hole 
pockets") . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pode-se mostrar que, na vizinhança de um mínimo ou máximo de banda, a 
frequência do movimento periódico dos elétrons ou buracos é dada pela frequência de 
cíclotron 


m
eB
c
, onde m
*
 é a massa efetiva ciclotrônica. Pode-se mostrar (Problema 2, 
Capítulo 12 do Ashcroft,que deixamos como um exercício opcional um tanto 
desafiador), que a massa efetiva ciclotrônica pode ser obtida a partir do tensor massa 
efetiva da seguinte forma: 
 
2
1









zz
m
M
M , 
 
onde 
M
 é o determinante de M e o campo aplicado está na direção z. Um método 
bastante poderoso para determinação da superfície de Fermi em metais é baseado nesta 
relação: a ressonância ciclotrônica. Neste método, aplica-se um campo magnético e 
constante e incide-se simultaneamente radiação de microondas no cristal. A radiação será 
mais atenuada quando a frequência da radiação incidente estiver em ressonância com a 
(6.36) 
1 
1 
2 
3 
2 
3 
4 4 
1 
2 
3 
4 
(a) (b) 
Figura 6.14 – Órbita de buraco, no sentido horário. 
B 
 
k
 
 114 
frequência de cíclotron. Variando-se a magnitude e a orientação do campo magnético, 
pode-se então mapear a superfície de Fermi. 
 No Capítulo 5, mencionamos também a existência da massa efetiva térmica, que 
pode ser obtida a partir de medidas de calor específico. A massa efetiva térmica, 

Tm
, 
também se relaciona com o determinante do tensor massa efetiva: 
 
31
MTm
. 
 
 (iii) Órbitas abertas 
 Um terceiro tipo de órbita são as órbitas abertas, esquematizadas na Fig. 6.15. Em 
3 dimensões, as órbitas abertas podem ser obtidas variando-se a direção do campo 
magnético aplicado, como mostra a Figura 12.8 do Ashcroft. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Referências: 
- Ashcroft, Capítulos 1 e 12. 
- Kittel, Capítulos 8 e 9. 
 
 
 
 
(6.37) 
B 
  
Figura 6.14 – Órbita aberta.