Lista 4 - Conicas

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Ministe´rio da Educac¸a˜o
Universidade Tecnolo´gica Federal do Parana´
Campus Campo Moura˜o
Wellington Jose´ Correˆa
Nome:
4a¯Lista de Geometria Anal´ıtica e A´lgebra Linear
No que segue , todas as bases utilizadas sa˜o ortonormais, e todos os sistemas de coordenadas
ortogonais referem-se a uma base ortonormal positiva fixada.
1. Nos casos em que a equac¸a˜o dada descreve uma elipse de focos em algum dos eixos coorde-
nados, especifique-o e calcule: a distaˆncia focal, a medida do eixo maior e a medida do eixo
menor e fac¸a um esboc¸o do gra´fico.
(a) 4x2 + 169y2 = 676 (b)
x2
4
+ y2 = 0 (c) +x2 +
(
3y
5
)2
= 9
2. Escreva uma equac¸a˜o reduzida da elipse, nos casos:
(a) O centro e´ O, os focos esta˜o em Ox, o eixo menor mede 6, e a distaˆncia focal e´ 8.
(b) O centro e´ O, os focos esta˜o em Oy, o eixo maior mede 10, e a distaˆncia focal e´ 6.
(c) Os focos sa˜o (0,−6) e (0, 6), e o eixo maior mede 34.
(d) Os focos sa˜o (0,−5) e (0, 5), e um dos ve´rtices e´ (−13, 0).
(e) Os focos sa˜o (0,−2√3) e (0, 2√3), e a amplitude focal e´ 2.
3. A nave espacial Apollo 11 foi colocada em uma o´rbita el´ıptica com altitude de perilu´nio de
110 km (ponto mais pro´ximo da superf´ıcie da Lua) e a altitude de apolu´nio de 314 km (o
ponto mais distante da superf´ıcie lunar). Encontre uma equac¸a˜o desta elipse se o raio da
Lua for 1728 km e o centro da Lua em um dos focos.
1
4. Pela Primeira Lei de Kepler, a trajeto´ria da Terra e´ el´ıptica e o Sol ocupa a posic¸a˜o de um
dos seus focos. Calcule o perie´lio e o afe´lio da Terra (que sa˜o, respectivamente, a menor
e a maior distaˆncia da Terra ao Sol), adotando os valores aproximados: distaˆncia focal da
trajeto´ria da Terra, 0, 50 × 107 km; medida do eixo maior, 30 × 107 km
5. Determine, em cada caso, os ve´rtices, os focos, as extremidades do eixo conjugado . Fac¸a o
esboc¸o da mesma.
(a)
x2
252
− y
2
1442
= 3600 (b)
x2
162
− y
2
252
= 400 (c)
x2
92
− y
2
42
= 36
6. Obtenha, em cada caso, uma equac¸a˜o reduzida da hipe´rbole.
(a) Os ve´rtices sa˜o (± 2, 0) e os focos sa˜o (± 3, 0).
(b) Os focos sa˜o (± 5, 0) e a amplitude focal e´ 9
2
.
7. Determine o foco, o ve´rtice, o paraˆmetro e diretriz da para´bola P e fac¸a um esboc¸o.
(a) y2 = 4 x
(b) y2 + 8x = 0
(c) 5y2 = 8 x
(d) 5x2 = 8 y
8. Obtenha, em cada caso, uma equac¸a˜o da para´bola de ve´rtice (0, 0), conhecendo seu paraˆmetro
p e a localizac¸a˜o do foco.
(a) p = 2/3 e o foco esta´ no semi-eixo positivo das abscissas.
(b) p = 4/3 e o foco esta´ no semi-eixo negativo das ordenadas.
9. Identifique os gra´ficos das equac¸o˜es abaixo completando quadrado.
(a) x2 − 5y2 − 2x− 10y − 9 = 0
(b) 4x2 + 8y2 + 16x+ 16y + 20 = 0
(c) x2 + 8x+ 2y + 14 = 0
2
10. Os Sistemas de Navegac¸a˜o Hiperbo´lico foram desenvolvidos na Segunda Guerra Mundial
como ajuda na navegac¸a˜o dos navios e sa˜o baseados na definic¸a˜o de uma hipe´rbole. Com
esses sistemas, o navio recebe sinais sincronizados de ra´dio a partir de dois transmissores
a` grande distaˆncia com suas posic¸o˜es conhecidas. O receptor eletroˆnico do navio mede a
diferenc¸a nos tempos de recepc¸a˜o entre os sinais e usa essa diferenc¸a para calcular a diferenc¸a
2a entre suas distaˆncias dos transmissores. Essa informac¸a˜o, coloca o navio em algum ponto
da hipe´rbole, cujos focos esta˜o nos transmissores e cujos pontos teˆm 2a como a diferenc¸a entre
suas distaˆncias dos focos. Repetindo esse processo, a posic¸a˜o do navio pode ser aproximada
como a intersecc¸a˜o de duas hipe´rboles. (O moderno sistema de posicionamento global GPS
e´ baseado no mesmo princ´ıpio.)
Desse modo, fac¸a o que se pede:
(a) Conforme ilustrado na figura abaixo, suponha que dois observadores estejam posicio-
nados nos pontos F1(c, 0) e F2(−c, 0) no sistema de coordenadas xy. Suponha tambe´m
que o som de uma explosa˜o no plano xy seja ouvido pelo observador F1 e que t, segun-
dos depois seja ouvido pelo observador F2. Supondo que a velocidade do som e´ uma
constante v, mostre que a explosa˜o ocorreu em algum lugar da hipe´rbole
x2
v2t2/4
− y
2
c2 − (v2t2/4) = 1
F1(c, 0)F2(−c, 0)
x
y
Explosa˜o
(b) Conforme ilustrado na figura a seguir, suponha que duas estac¸o˜es de transmissa˜o es-
tejam posicionadas a 100 km uma da outra nos pontos A(−50, 0) e b(50, 0) ao longo
3
de uma praia reta, num sistema de coordenadas xy. Suponha tambe´m que um navio
esteja navegando paralelo a` praia, 200 km mar adentro. Encontre a posic¸a˜o do navio
se as estac¸o˜es transmitem simultaneamente um pulso, mas o pulso de B seja recebido
pelo navio 100 microsegundos antes que o pulso da estac¸a˜o A.
11. Um espelho parabo´lico tem uma profundidade de 12 cm no centro e o diaˆmetro na face do
espelho e´ de 32 cm. Ache a distaˆncia do ve´rtice ao foco.
12. Esboce o gra´fico das regio˜es abaixo:
(a) z = 3
(b) 6x+ 3y − 4z = 12
(c) 4x2 + 9y2 + z2 = 36
(d) 4x2 + 9y2 − z2 = 36
(e) x2 = y2 − z2
(f)
x2
36
+
z2
25
= 4 y
(g)
x2
36
− z
2
25
= 9 y
(h) 4x2 − y2 + 2z2 + 4 = 0
(i) y2 + 4z2 = 4
(j) z = x2
(k) z =
√
1− x2
(l) z = cos y
(m) x2 + y2 + z2 = 3
4
Respostas
1. (a) Ox; 26, 4, 2
√
165 (b) Na˜o se trata de elipse. (c) Oy; 10, 6, 8.
2. (a)
x2
252
+
y2
92
= 1
(b)
x2
162
+
y2
252
= 1
(c)
x2
2532
+
y2
2892
= 1
(d)
x2
42
+
y2
162
= 1
(e)
x2
1692
+
y2
1442
= 1
3.
x2
37636002
+
y2
37531962
= 1
4. 14, 75 × 107 km e 15, 25 × 107 km
5. (a) (± 12, 0), (± 13, 0), (0,± 5)
(b) (± 5, 0), (±√41, 0), (0,± 4)
(c) (0,± 4), (0,± 4√2), (± 4, 0)
6. (a)
x2
42
− y
2
52
= 1 (b)
x2
162
− y
2
92
= 1
7. (a) (1, 0), (0, 0), p = 1, r : x+ 1 = 0.
(b) (−2, 0), (0, 0), p = 2, r : x− 2 = 0.
(c) (2/5, 0), (0, 0), p = 2/5, r : 5x+ 2 = 0.
(d) (0, 2/5), (0, 0), p = 2/5, r : 5y + 2 = 0.
8. (a) y2 = 8/3x (b) x2 = −16/3 y
9. (a)
(x− 1)2
5
− (y+1)2 = 1,
hipe´rbole
(b) (x+2)2+
(y + 1)2
1/2
= 1,
elipse
(c) (x + 4)2 + 2y = 2,
para´bola
10. (a) Sugesta˜o: sejam d1 e d2 as distaˆncias do primeiro e do segundo observador respectiva-
mente, do ponto da explosa˜o. Enta˜o t=(tempo para o som da explosa˜o atingir o segundo
observador)− (tempo para o som da explosa˜o atingir o primeiro observador)=d2
v
− d1
v
.
Para as constante v e t, as diferenc¸as das distaˆncias entre d2 e d1 e´ uma constante,
enta˜o a explosa˜o em algum lugar do ramo da hipe´rbole cujos focos sa˜o onde esta˜o o
observador. Conclua o exerc´ıcio usando o fato que d2 − d1 = 2a.
(b) Use o item anterior. O navio esta´ localizado na posic¸a˜o x = 93, 625 km e y = 200 km.
11. A distaˆncia e´ p =
16
3
cm.
5
12. (a) plano
(b) plano
(c) elipso´ide
(d) hiperbolo´ide de uma folha em z
(e) cone em y
(f) parabolo´ide em y
(g) sela em y
(h) hiperbolo´ide de duas folhas em y
(i) cilindro em z
(j)
(k)
(l)
(m) esfera de raio
√
3.
Sucesso!!!
6