4a_lista_CALCULO_I_integral_20191

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CAPÍTULO 4 
FUNÇÃO PRIMITIVA 
 
1 Introdução 
 
No estudo da derivada, tínhamos uma função e obtivemos, a partir dela, uma outra, a que chamamos 
de derivada. Neste capítulo, faremos o caminho inverso, isto é, dada a derivada, vamos encontrar ou 
determinar sua função original, que chamaremos de primitiva. 
 
Uma função F(x) é chamada uma primitiva da função f(x) em um 
intervalo I, se para todo x  I, tem-se F’(x) = f(x). 
 
 
2 Integral Indefinida 
 
Sabemos que a derivada é um dos conceitos mais importantes do Cálculo. Outro conceito 
também muito importante é o de Integral. Existe uma estreita relação entre estas duas ideias. Assim, 
nesta seção, será introduzida a ideia de integral, mostrando sua relação com a derivada. 
 
Se a função F(x) é primitiva da função f(x), a expressão F(x) +C é chamada integral 
indefinida da função f(x) e é denotada por 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝐶 
onde 
∫ : é chamado sinal de integração 
f(x): é a função integrando 
dx : a diferencial que serve para identificar a variável de integração 
C : é a constante de integração 
 
 
Lê-se: Integral indefinida de f(x) em relação a x ou simplesmente integral de f(x) em relação a x. 
 
O processo que permite encontrar a integral indefinida de uma função é chamado integração. 
 
Observação: Da definição de integral indefinida, temos as seguintes observações: 
(i) ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝐶 ↔ 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥) 
(ii) ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 representa uma família de funções, isto é, a família ou o conjunto de todas as 
primitivas da função integrando. 
(iii) 
𝑑
𝑑𝑥
(∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥) =
𝑑
𝑑𝑥
(𝐹(𝑥) + 𝐶) =
𝑑
𝑑𝑥
𝐹(𝑥) = 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥) 
 2 
2.1 Propriedades da Integral Indefinida 
 
 Sejam f(x) e g(x) funções reais definidas no mesmo domínio e k uma constante real. Então: 
 
a) ∫ 𝑘𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑘 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 
 
b) ∫(𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥))𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 
 
 
2.2 Algumas Integrais Imediatas 
(i) ∫ 𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝐶 
(ii) ∫ 𝑥𝑛𝑑𝑥 =
𝑥𝑛+1
𝑛+1
+ 𝐶, 𝑛 ≠ −1 
(iii) ∫
𝑑𝑥
𝑥
= 𝑙𝑛|𝑥| + 𝐶 
(iv) ∫ 𝑎𝑥𝑑𝑥 =
𝑎𝑥
ln 𝑎
+ 𝐶, 𝑎 > 0 𝑒 𝑎 ≠ 1 
(v) ∫ 𝑒𝑥𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 + 𝐶 
(vi) ∫ 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 = −𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝐶 
(vii) ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝐶 
 
 
 3 
Exemplos : 
a) 
   





 C
x
C
x
dxxxdxxdx
2
3
2
3.3.33
22
1
 
b) 
 


C
x
C
x
dxx
514
514
4
 
c) 
  


 C
x
C
x
dxxdx
x 2
2
3
3 2
1
2
1
 
d) 
C
xx
CxCxC
x
dxxdxx   3
2
.
3
2
.
3
2
2
3
32
32
3
2
1
 
e) 
  Cxdx 22
 
f) 
Cxdxx 
323
 
g) 
Cttdt 
224
 
h) 
  dxxx )13(
2
 = 
   dxxdxdxx 23
2
 = 
Cx
xx
 2
2
3
3
23 
i) 


dx
x
xx
2
23 35
 = 

 )35( 2xx
 = 
C
x
x
x

3
5
2
2 
j) 
  dxx
x )
4
5(
 = 
  x
dx
dxx 45
 = 
Cnx
n
x
 

4
5
5
 
k) 
  dxxe
x )cos35(
 = 5
  xdxdxe
x cos3
 = 5e x + 3 senx + C 
l) 
  dxxx )(
2
 = 
 dxx
2
 - 
 dxx 2
1 = 
C
xx

3
2
3
2
3
3 
m) 
 dxn
x )5.3( 
 = 
 dxn
x35
 = 3 x . 
Cn 5
 
n) 
  dxx
2)43(
 = 
  dxxx )16249(
2
 = 3x³ + 12x² + 16x + C 
o) 


dx
x
x 2)1(
 = 


dx
x
xx
2
1
221
 = 
 

dxxxx )2( 2
3
2
1
2
1
 = = 2x 21 + 
2
3
3
4
x
 + 
Cx 2
5
5
2
 
 
 
 
 
 4 
0 
 
 
3 Integrais Definidas 
 
O conceito de integral está associado a determinação de área. 
 
 
Conceito de área 
 
Já sabemos que a integral está ligada ao problema de determinar a área de uma figura plana 
qualquer. Por isso, motivaremos o entendimento do cálculo de área usando o método do 
retângulo, de uma região R compreendida entre o gráfico de uma função f(x) com valores 
positivos, o eixo x, em um intervalo fechado [ a, b], conforme a figura abaixo: 
 
Exemplo de cálculo de área: 
 
 Calcule a área da figura formada sob a curva da função f(x) = 3x no intervalo x 

 [ 0, 3 ] . 
Resolução : 
 y 
 
 
 9 
 

2
27
2
9.3
2
.
3
3
0
alturabase
dxxA
 A = 13,5 u.a . 
 A 
 x 
 3 
 
Neste exemplo, não utilizamos o conceito de integral, pois a área era um triângulo, portanto 
2
.hB
A 
. 
 
 
 
 
 
 5 
 
 
Acompanhe o desenvolvimento a seguir: 
 
 y = f(x) 
 y 
 
 
 
 Região sob o gráfico de f . 
 A 
 
 0 a b x 
 
Vamos tentar preencher esta área com retângulos: 
 y = f(x) 
 
 y 
 
 
 
 
 
 
 A 
 
 
 0 x0 x1 x2 ............... ................................. xn x 
 
 
x
 
 
 a b 
 
 
 Temos um polígono não regular, que “quase” preenche a área A, formado por retângulos de 
base 
x
 e altura f(xi), portanto Aretângulo = f(xi).
x
. 
 Note que quanto menor 
x
, maior o número de retângulos ( n ) e mais próximo da área 
sob a curva vai estar a área do polígono, logo quando 
0x
, temos n 

 e Apolig. 

 A 
Daí, vamos expandir o conceito de Integral Definida para: 
 




n
i
i
b
a
x
xxfdxxfA
1
0
).(lim)(
 . 
 
 6 
y = f(x) 
A 
0 
Ou seja, a área sob a curva é o somatório das áreas dos retângulos de área f(xi).
x
, quando 
0x
 e n ( nº de retângulos ) 

. 
Teorema Fundamental do Cálculo 
 
 Seja f uma função contínua em [ a, b ] e A(x) a área compreendida entre a e x, temos : 
 y 
 
 
 
 
 
 
 A(x) 
 
 x 
 a x b 
 
 ( x +
x
) 
 
 
Temos: f(x) = A’(x) (Def. pelo limite) --- f(x) é derivada da integral A(x) . 
 
 A(x) = F(x) + C (Def. de Integral). 
 F’(x) = f(x) (Derivada da Integral). 
 A(a) = 0 , portanto 0 = F(a) + C 

 C = -F(a) . 
 Daí , A(x) = F(x) + C 

 A(x) = F(x) – F(a) . 
 Logo A(b) = F(b) – F(a) , portanto temos ... 
 
)()()()( aFbFdxxfbA
b
a
 
 Teorema Fundamental do Cálculo 
 
Notação mais comum: 
 
 Com F a integral de f(x). 
 
Exemplo: Um estudo indica que, daqui a x meses a população de uma cidade estará crescendo a 
uma taxa de 2 + 
x6
 pessoas por mês. Em quanto a população crescerá durante os próximos 4 
meses? 
Solução: 
P(x) = população daqui a x meses, então a taxa da variação da população em relação ao tempo dP/dx 
= 2 + 
x6
 e a quantidade pela qual a população crescerá durante os próximos 4 meses será a 
integral definida: 
P(4) – P(0) = 
dx)x62(
4
0
 
 
)()()()( aFbFxFdxxf
ba
b
a

 7 
= 2
dx
4
0
 + 6
dx
4
0
1/2x(
 = 2x + 
4
0
2/3
2/3
6
C
x

 = 2x + 4x 2/3 + C 
4
0
 
= (2(4) + 4(4)3/2 + C) – ( 2.(0) + 4(0) + C) = 40 pessoas 
 
3.1 Propriedades da integral definida 
 
 As propriedades da integral definida não serão demonstradas, pois foge do objetivo do 
nosso curso. 
1 ) 
dxxfkdxxfk
b
a
b
a
  )(.)(.
 ; k : const 
2 ) 
  dxxgdxxfdxxgxf
b
a
b
a
b
a
  )()()()(
 
3 ) 
  
c
a
b
c
b
a
dxxfdxxfdxxf )()()(
 ; a < c < b 
4 ) 
0)( 
a
a
dxxf
 
5 ) 
 
a
b
b
a
dxxfdxxf )()(
 
 
Exemplos: 
1 ) 
01012 22
1
0
2
1
0
 xdxx
 = 1 
2 ) 



 22
1
22222
2020.21.21
0
21
0
2 eeeeeedxe
x
x
 
)1.(
2
1 2 e
 
3) 



3
2
3
2
2
3
2
2 5.6)56( dxdxxdxx
= 
  










 
 2570251654)1015(
3
8
9.6)2.(53.5
3
)2(
3
)3(
.6
33 45. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 8 
4ª Lista de exercício de Cálculo I 
Professora: Simara Moraes Vasconcelos 
Curso: Sistema de Informação 
 
BIBLIOGRAFIA 
 GONÇALVES, M. B.; FLEMMING, D. M. Cálculo A: Funções, Limite, Derivação e Integração. 6ª 
edição. RJ. Prentice Hall do Brasil. 2007 
 GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um curso de cálculo. Volume 1. 4ª ed. Editora: LTC - livros técnicos e científicos 
editora S.A. 2000. 
 HOFFMANN, Laurence D. Cálculo: um curso moderno e suas aplicações. 9ª Ed. Rio de Janeiro: LTC - Livros 
Técnicos e Científicos Editora S.A., 2008. 
 STEWART, J. Cálculo. Vol. 1. 5ª ed. São Paulo, Pioneira. 2009. 
 
1. Calcular as integrais indefinidas: 
a) ∫ 𝑑𝑥 
b) ∫ 𝑥𝑑𝑥 
c) ∫ 𝑥3𝑑𝑥 
d) ∫ 2𝑥5𝑑𝑥 
e) ∫(2𝑥)3𝑑𝑥 
f) ∫ 𝑥−3𝑑𝑥 
g) ∫ (4𝑥3 −
𝑥2
2
+ 5𝑥) 𝑑𝑥 
h) ∫ (
𝑥4
3
− 3𝑥2 − 1) 𝑑𝑥 
i) ∫(𝑥2 + 1)2𝑑𝑥 
j) ∫ √𝑥𝑑𝑥 
k) ∫
1
√𝑥
𝑑𝑥 
l) ∫
1
𝑥2
𝑑𝑥 
m) ∫(𝑥 + √𝑥)𝑑𝑥 
n) ∫
𝑥4+𝑥2−5
𝑥2
𝑑𝑥 
o) ∫
𝑥2+2𝑥
𝑥
𝑑𝑥 
p) ∫
𝑥5+2𝑥−7
𝑥4
𝑑𝑥 
q) ∫ 5𝑒𝑥𝑑𝑥 
 9 
r) ∫
4
𝑥
𝑑𝑥 
s) ∫ 2𝑥𝑑𝑥 
t) ∫(3𝑥 + 5𝑥)𝑑𝑥 
 
2. Calcular as integrais definidas: 
a) 



2
1
3 )1( dxxx
 
b) 



0
3
2 )74( dxxx
 
c) 

2
1
6x
dx 
d) 

1
0 3y
dy 
 
Exercícios aplicados 
3. Sabendo que o custo marginal é Cmg(x) = 0,1x +3 e que o custo fixo é R$ 500. Obtenha a função 
custo. 
4. Sabendo que o custo marginal é Cmg(x) = 2 e que o custo fixo é R$ 200. Obtenha a função custo. 
5. Sabendo que o custo marginal é Cmg(x) = 6x2  6x + 20 e que o custo fixo é R$ 400. Obtenha: (a) 
a função custo (b) o custo médio para x = 5. 
6. Sabendo que o custo marginal é Cmg(x) = 4x2  6x + 30 e que o custo fixo é R$ 400. Obtenha: (a) 
a função custo (b) o custo médio para x = 5. 
7. Sabendo que a receita marginal é Rmg(x) = 20  2x, obtenha: (a) A função receita (b) A receita 
média. 
8. Sabendo que a receita marginal é Rmg(x) = 100, obtenha: (a) A função receita (b) A receita 
média. 
9. Sabendo que o custo marginal é Cmg(x) = 2 e a receita marginal é Rmg(x) = 5 e o custo fixo é R$ 
100, obtenha: (a) a função lucro (b) o valor de x para o qual o lucro é zero. 
10. Se o custo marginal é Cmg(x) = 0,08x + 4, obtenha a função custo, sabendo que quando são 
produzidas 10 unidades, o custo vale R$ 70. 
11. Determine a variação total do custo C = C (x), quando o número x de unidades produzidas de 
um certo produto aumenta de 1000 para 1003, se seu custo marginal é 𝐶mg(𝑥) =
3500
𝑥2
. 
 
 10 
12. Um estudo indica que, daqui a x meses a população de uma cidade estará crescendo a uma 
taxa de 2 + 
x6
 pessoas por mês. Em quanto a população crescerá durante os próximos 4 
meses? 
dx)x62(
4
0
 
 = P(4) – P(0) 
13. O custo marginal para produção de determinado bem, é dado pela função C’(x) = 18√𝑥 + 4. Se 
o custo fixo é de R$ 50, escreva a função custo total. 
 
Calcule as integrais pelo método da substituição: 
14. ∫ 2𝑥(1 + 𝑥2)𝑑𝑥 
 
15. ∫ 2(2𝑥 + 4)5𝑑𝑥 
 
16. ∫ 2𝑥(𝑥2 + 3)5𝑑𝑥 
 
17. ∫ √2𝑥 + 1𝑑𝑥 
 
18. ∫ √8 − 3𝑥 𝑑𝑥 
 
19. ∫ 𝑒3𝑥𝑑𝑥 
 
20. ∫ sin(5𝑥) 𝑑𝑥 
 
21. ∫ cos(8𝑦) 𝑑𝑦 
 
22. ∫ 𝑥 sin(𝑥2) 𝑑𝑥 
 
23. ∫ 𝑥3 sin(7 + 𝑥4) 𝑑𝑥 
 
24. ∫ cos(7𝜃 + 5) 𝑑𝜃 
 
25. ∫ 𝑥2𝑒𝑥
3
𝑑𝑥 
 
26. ∫
2𝑥
4+𝑥2
 𝑑𝑥 
 
 11 
 
Método de Integração por Parte 
∫ 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢 
 
Resolva as integrais 
27. ∫ 𝑥𝑒𝑥𝑑𝑥 
 
28. ∫ 𝑙𝑛𝑥 𝑑𝑥 
 
29. ∫ 𝑦2 sen𝑦 𝑑𝑦 
 
30. ∫ 𝑥𝑒−3𝑥𝑑𝑥 
 
31. ∫ 𝑥 𝑙𝑛𝑥 𝑑𝑥