fundamentos da algebra

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1.
		O conjunto  Z dotado da operação *  tal que  x * y = x + y - 3  é um grupo ?
	
	
	
	Não, pois a propriedade associativa não foi verificada.
	
	
	Não, pois não existe elemento neutro.
	
	
	Sim, pois a propriedade associativa foi verificada, existe elemento neutro e existe elemento simétrico.
	
	
	Sim, pois a propriedade associativa foi verificada e isso é uma condição suficiente para Z com a operação dada ser um grupo.
	
	
	Não, pois não existe elemento simétrico.
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Considere a operação binária * sobre R, definida por x*y = mx + ny + kxy, onde m, n e k são números reais dados. Estabeleça as condições sobre m, n e k de modo que essa operação seja comutativa. 
	
	
	
	n = k
	
	
	m = n
	
	
	m = k
	
	
	m < n
	
	
	m > n
	
	
	
	 
		
	
		3.
		O conjunto  R  dotado da operação  *  tal que  x * y = x + y - 3 é um grupo. Determine o elemento neutro.
	
	
	
	e = 6
	
	
	e = 1
	
	
	e = -2
	
	
	e = 3
	
	
	e = 4
	
	Gabarito
Coment.
	
	
	
	 
		
	
		4.
		
	
	
	
	Existe elemento neutro e = -1
	
	
	Existe elemento neutro e = 2
	
	
	Existe elemento neutro e = 0
	
	
	Existe elemento neutro e = 1
	
	
	Não existe elemento neutro
	
	
	
	 
		
	
		5.
		O conjunto  R  dotado da operação  *  tal que  x ⋆ y=x+y2   é um grupo ?
	
	
	
	Sim, pois a propriedade associativa foi verificada, existe elemento neutro e existe elemento simétrico.
	
	
	Sim, pois existe elemento neutro e = 1
	
	
	Sim, pois a propriedade associativa foi verificada e isso é uma condição suficiente para Z com a operação dada ser um grupo.
	
	
	Não, pois a propriedade associativa não foi verificada.
	
	
	Sim, pois existe elemento simétrico
	
	
	
	 
		
	
		6.
		O conjunto  Z dotado da operação *  tal que  x * y = x + y - 4  é um grupo ?
	
	
	
	Não, pois não existe elemento simétrico.
	
	
	Não, pois a propriedade associativa não foi verificada.
	
	
	Não, pois não existe elemento neutro.
	
	
	Sim, pois a propriedade associativa foi verificada e isso é uma condição suficiente para Z com a operação dada ser um grupo.
	
	
	Sim, pois a propriedade associativa foi verificada, existe elemento neutro e existe elemento simétrico.
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Considere em Z a operação * definida por:
* : Z x Z → Z
(x,y) → x*y = x + y - 2
Verifique a existência do elemento neutro.
	
	
	
	e = 3
	
	
	e = 2
	
	
	e = 0
	
	
	e = 1
	
	
	e = -2
	
	Gabarito
Coment.
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Seja operação binária *  definida por:  a * b =  resto da divisão de a + b por 4. A partir dela podemos dizer que 16 * 4  é:
	
	
	
	4
	
	
	1
	
	
	13
	
	
	12
	
	
	0
	 
		
	
		1.
		Determine o elemento neutro da operação x * y = x + y - ¯22¯  em Z3.
	
	
	
	e = ¯11¯
	
	
	e = ¯¯¯¯¯−2-2¯
	
	
	e = ¯33¯
	
	
	e = ¯22¯
	
	
	e = ¯¯¯¯¯−1-1¯
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Seja G = {1, 2, 3, 4, 5} um conjunto com uma operação  *  apresentada na tábua de operação abaixo.
 
 
De acordo com a análise da tábua marque a alternativa que apresenta todos os elementos regulares.
	
	
	
	1, 3 e 4
	
	
	1, 2 e 5
	
	
	2, 3, 4 e 5
	
	
	1, 2 ,3, 4 e 5
	
	
	2, 3 e 5
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Marque a alternativa que indica a tábua da operação * sobre o conjunto A = {1, i, -1, -i}, definida por x * y = xy.
 
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Marque a alternativa que apresenta a construção correta da tábua de uma operação * sobre o conjunto G = {1,2,3,4} de acordo com as condições (I), (II), (III), (IV) e (V) dadas.
(I) 1 é o elemento neutro
(II) seja comutativa
(III) todos os elementos de G são simetrizáveis
(IV) todos os elementos de G são regulares
(V) 2*3 = 1
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Considere a tábua incompleta da operação * sobre o conjunto G = {a, b, c, d, e} e as seguintes afirmações:
(I) e * x = x = x * e, para todo x.
(II) a * x = a = x * a, para todo x.
(III) x * x = e, para todo x diferente de a.
(IV) b * d = c;
(V) b, c, d são regulares.
 
Marque a alternativa que indica o elemento que está faltando para a tábua ficar completa.
 
 
	
	
	
	c
	
	
	b
	
	
	d
	
	
	a
	
	
	e
	
	
	
	 
		
	
		6.
		A tábua abaixo com a operação *  mostra que o conjunto G = {e,a,b,c,d,f} é um grupo. A partir da tábua encontre a solução da equação axb-1 = d , onde x é um elemento de G.
	
	
	
	x = d
 
	
	
	x = a
 
	
	
	x = b
 
	
	
	x = c
 
	
	
	x = f   
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Marque a alternativa que indica a tábua da operação * sobre o conjunto A = {1, i, -1, -i}, definida por x * y = xy.
 
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	 
		
	
		8.
		
	
	
	
	e = f1
	
	
	Não existe elemento neutro.
	
	
	e = f4
	
	
	e = f3
	
	
	e = f2
	 
		
	
		1.
		Determine o elemento neutro da operação x * y = x + y - ¯22¯  em Z3.
	
	
	
	e = ¯11¯
	
	
	e = ¯¯¯¯¯−2-2¯
	
	
	e = ¯33¯
	
	
	e = ¯22¯
	
	
	e = ¯¯¯¯¯−1-1¯
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Seja G = {1, 2, 3, 4, 5} um conjunto com uma operação  *  apresentada na tábua de operação abaixo.
 
 
De acordo com a análise da tábua marque a alternativa que apresenta todos os elementos regulares.
	
	
	
	1, 3 e 4
	
	
	1, 2 e 5
	
	
	2, 3, 4 e 5
	
	
	1, 2 ,3, 4 e 5
	
	
	2, 3 e 5
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Marque a alternativa que indica a tábua da operação * sobre o conjunto A = {1, i, -1, -i}, definida por x * y = xy.
 
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Marque a alternativa que apresenta a construção correta da tábua de uma operação * sobre o conjunto G = {1,2,3,4} de acordo com as condições (I), (II), (III), (IV) e (V) dadas.
(I) 1 é o elemento neutro
(II) seja comutativa
(III) todos os elementos de G são simetrizáveis
(IV) todos os elementos de G são regulares
(V) 2*3 = 1
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Considere a tábua incompleta da operação * sobre o conjunto G = {a, b, c, d, e} e as seguintes afirmações:
(I) e * x = x = x * e, para todo x.
(II) a * x = a = x * a, para todo x.
(III) x * x = e, para todo x diferente de a.
(IV) b * d = c;
(V) b, c, d são regulares.
 
Marque a alternativa que indica o elemento que está faltando para a tábua ficar completa.
 
 
	
	
	
	c
	
	
	b
	
	
	d
	
	
	a
	
	
	e
	
	
	
	 
		
	
		6.
		A tábua abaixo com a operação *  mostra que o conjunto G = {e,a,b,c,d,f} é um grupo. A partir da tábua encontre a solução da equação axb-1 = d , onde x é um elemento de G.
	
	
	
	x = d
 
	
	
	x = a
 
	
	
	x = b
 
	
	
	x = c
 
	
	
	x = f7.
		Marque a alternativa que indica a tábua da operação * sobre o conjunto A = {1, i, -1, -i}, definida por x * y = xy.
 
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	 
		
	
		8.
		
	
	
	
	e = f1
	
	
	Não existe elemento neutro.
	
	
	e = f4
	
	
	e = f3
	
	
	e = f2
	
 
		
	
		1.
		
	
	
	
	1 + H
	
	
	3 + H
	
	
	H + H
	
	
	H
	
	
	2 + H
	
	
	
	 
		
	
		2.
		
	
	
	
	O elemento neutro do grupo quociente G/H é o H
	
	
	O elemento neutro do grupo quociente G/H é o 2 + H
	
	
	O elemento neutro do grupo quociente G/H é o 1 + H
	
	
	O elemento neutro do grupo quociente G/H é o H + H
	
	
	O elemento neutro do grupo quociente G/H é o 3 + H
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Considere (Z6, +) um grupo comutativo e H = {0,3}  subgrupo de (Z6, +). 
Determine o número de classes laterais.
	
	
	
	3
	
	
	6
	
	
	1
	
	
	4
	
	
	2
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Considere o grupo aditivo (Z6,+)  e N = {0,3} um subgrupo de G. Determine as classes laterais de N em G.
	
	
	
	G/N = {0 + N, 2 + N, 3 + N}
	
	
	G/N = {0 + N, 4 + N, 5 + N}
	
	
	G/N = {0 + N, 1 + N, 2 + N}
	
	
	G/N = {1 + N, 2 + N, 3 + N}
	
	
	G/N = {1 + N, 3 + N, 4 + N}
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Se G é um grupo finito e H um subgrupo de G, então:
	
	
	
	A ordem de H divide a ordem de G.
	
	
	H é cíclico
	
	
	A ordem de H é um múltiplo da ordem de G.
	
	
	Grupos finitos não têm subgrupos.
	
	
	A ordem de G divide a ordem de H.
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Considere o Teorema de Lagrange:
Seja H um subgrupo de um grupo finito G, então a O(G) = (G:H).O(H). Ou seja, o Teorema mostra que a ordem de H,  O(H),  é um divide a ordem de G, O(G), e O(G) = (G:H).O(H).
Marque a alternativa que apresenta a demonstração correta do Teorema.
	
	
	
	Suponhamos que (G:H) = r e seja {a1H, a2H, ..., arH} o conjunto de todas as classes laterais à esquerda módulo H. Como cada elemento de G figura em uma única dessas classes e como o número de elementos de cada classe é o(H), temos então que o(H) = o(G). Logo (G:H).o(H) = o(G) ou o(H)/o(G).
	
	
	Suponhamos {a1H, a2H, ..., arH} o conjunto de todas as classes laterais à esquerda módulo H. Então a1H U a2H U ... U arH = G ,  já que a união de todas as classes laterais módulo H é  igual a G. Temos então que r.o(H) = o(G), mas r = (G:H). Logo (G:H).o(H) = o(G) ou o(H)/o(G).
	
	
	Suponhamos que (G:H) = r . Então a1H U a2H U ... U arH = G ,  já que a união de todas as classes laterais módulo H é  igual a G. Como cada elemento de G figura em mais de uma vez nessas classes e como o número de elementos de cada classe é o(H), temos então que r.o(H) = o(G), mas r = (G:H). Logo (G:H).o(H) = o(G) ou o(H)/o(G).
	
	
	Suponhamos que (G:H) = r e seja {a1H, a2H, ..., arH} o conjunto de todas as classes laterais à esquerda módulo H. Então a1H U a2H U ... U arH = G ,  já que a união de todas as classes laterais módulo H é  igual a G. Logo (G:H).o(H) = o(G) ou o(H)/o(G).
	
	
	Suponhamos que (G:H) = r e seja {a1H, a2H, ..., arH} o conjunto de todas as classes laterais à esquerda módulo H. Então a1H U a2H U ... U arH = G ,  já que a união de todas as classes laterais módulo H é  igual a G. Como cada elemento de G figura em uma única dessas classes e como o número de elementos de cada classe é o(H), temos então que r.o(H) = o(G), mas r = (G:H). Logo (G:H).o(H) = o(G) ou o(H)/o(G).
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Considere  o  grupo multiplicativo G = {1, i, -1, -i}  e H = {1, -1} subgrupo de G. Marque a alternativa que indica  as classes laterais G.
	
	
	
	 {1, -1} , {i, - i}
	
	
	{1, -1},  {i, - i}, {1, - i}
	
	
	{1, -1},  {i, - i}, {i, -1}, {-1, -1}
	
	
	{1, -1},  {i, - i}, {i, -1}
	
	
	{i, - i}
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Sejam G um grupo e H,J subrgrupos normais de G. Podemos afirmar que:
	
	
	
	H∩J é um subgrupo cíclico de G.
	
	
	H∩J é um subgrupo abeliano de G.
	
	
	H∩J é um subgrupo de G, mas não é normal.
	
	
	H∩J é um subgrupo normal de G.
	
	
	H∩J não é um subgrupo de G.
	
	
	
		1.
		
	
	
	
	x é igual a  1 2 3 4
                  4 2 3 1
	
	
	x é igual a  1 2 3 4
                  4 1 3 2
	
	
	x é igual a   1 2 3 4
                   1 4 3 2
	
	
	x é igual a  1 2 3 4
                  4 3 1 2
	
	
	x é igual a  1 2 3 4
                  2 1 3 4
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Considere G = ZxZ com a seguinte operação adição:
(a,b) + (c,d) = (a + c, b + d).  f: G →G, f(x,y) = (0,3x + 5y) é um homomorfismo, determine seu núcleo.
	
	
	
	N(f) = {(x,y) ∈∈ RxR / 3x + y = 0}
	
	
	N(f) = {(x,y) ∈∈ RxR / 3x - 5y = 0}
	
	
	N(f) = {(x,y) ∈∈ RxR / x + y = 0}
	
	
	N(f) = {(x,y) ∈∈ RxR / 3x + 5y = 0}
	
	
	N(f) = {(x,y) ∈∈ RxR / x + 5y = 0}
	
	
	
	 
		
	
		3.
		  
	
	
	
	(12343241)(12343241)
	
	
	(12341432)(12341432)
	
	
	(12343124)(12343124)
	
	
	(12342413)(12342413)
	
	
	(12344213)(12344213)
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Considere dos conjuntos G e H. Marque a alternativa que explica corretamente como devemos mostrar que G é isomorfo a H.
	
	
	
	Para provarmos que existe um isomorfismo entre G e H, devemos verificar as duas condições dadas na definição de isomorfismo, ou seja, encontrar uma função  f: G → H que seja injetiva,  e verificar a existência de um homomorfismo de grupos.
	
	
	Para provarmos que existe um isomorfismo entre G e H, devemos verificar as duas condições dadas na definição de isomorfismo, ou seja, encontrar uma função 
f: G → H que seja bijetora,  e verificar a existência de um homomorfismo de grupos.
	
	
	Para provarmos que existe um isomorfismo entre G e H, devemos verificar uma única  condição dada na definição de isomorfismo, ou seja, verificar a existência de um homomorfismo de grupos.
 
	
	
	Para provarmos que existe um isomorfismo entre G e H, devemos verificar uma única  condição dada na definição de isomorfismo, ou seja, encontrar uma função  f: G → H que seja sobrejetora.
	
	
	Para provarmos que existe um isomorfismo entre G e H, devemos verificar uma única  condição dada na definição de isomorfismo, ou seja, encontrar uma função  f: G → H que seja bijetora.
 
	
	
	
	 
		
	
		5.
		 
Seja f: G1 →G2 um homomorfismo de grupos, onde os grupos considerados são (G1,*) e (G2,∆)  , e o elemento neutro de G2 , e2. Definimos núcleo do homomorfismo f ao conjunto {x ∈∈ G1/ f(x) = e2}. Marque a alternativa que mostra corretamente que o núcleo de f, Ker(f), definido por Ker(f) = {x∈∈ G1/ f(x) = e2} é um subgrupo normal de G1.
	
	
	
	Vamos considerar x,y∈∈ ker(f). Precisamos mostrar que xy ∈∈ ker(f) e que x-1 ∈∈ ker(f). Note que por f ser um homomorfismo de grupos podemos escrever 
f(xy) = f(x).f(y) = e2.e2 = e2 .Portanto, xy ∈∈ ker(f). Também podemos escrever que
f(x-1)(f(x))-1 = (e2)-1 = e2. Portanto, x-1 ∈∈ ker(f). Note  que para todo g em G1 e para todo x∈∈ ker(f) temos f(gxg-1) = f((gx)g-1) = f(gx).f(g-1) = f(g).f(x).(f(g))-1 =
=f(g).e2.(f(g))-1 = f(g)(f(g))-1 = e2. Portanto, gxg-1 ∈∈ ker(f),
para todo g em G1 e para todo x ∈∈ ker(f).  Assim, 
concluímos que o núcleo de f é um subgrupo normal.
	
	
	Vamos considerar x,y∈∈ ker(f). Precisamos mostrar que xy ∈∈ ker(f) e que x-1∈∈ ker(f). Note que por f ser um homomorfismo de grupos podemos escrever  f(xy) = f(x).f(y) = e2.e2 = e2 .Portanto, xy ∈∈ ker(f). Note  que para todo g em G1 e para todo x∈∈ ker(f) temos f(gxg-1) = f((gx)g-1) = f(gx).f(g-1) = f(g).f(x).(f(g))-1 = f(g).e2.(f(g))-1 = f(g)(f(g))-1 = e2. Portanto, gxg-1 ∈∈ ker(f), para todo g em G1 e para todo x ∈∈ker(f).  Assim,  concluímos que o núcleo de f é um subgrupo normal.
	
	
	Note  que para todo g em G1 e para todo x∈∈ ker(f) temos f(gxg-1) = f((gx)g-1) =
=f(gx).f(g-1) = f(g).f(x).(f(g))-1 = f(g).e2.(f(g))-1 = f(g)(f(g))-1 = e2. Portanto,
gxg-1 ∈∈ ker(f), para todo g em G1 e para todo x ∈∈ ker(f).  Assim,  concluímos que o núcleo de f é um subgrupo normal.
	
	
	Vamos considerar x,y∈∈ ker(f). Precisamos mostrar que xy ∈∈ ker(f) e que x-1 ∈∈ ker(f). Note que por f ser um homomorfismo de grupos podemos escrever 
f(xy) = f(x).f(y) = e2.e2 = e2 .Portanto, xy ∈∈ ker(f).  Assim,  concluímos que o núcleo de f é um subgrupo normal.
	
	
	Vamos considerar x,y∈∈ ker(f). Precisamos mostrar que xy ∈∈ ker(f) e que x-1 ∈∈ ker(f). Note que por f ser um homomorfismo de grupos podemos escrever  f(xy) = f(x).f(y) = e2.e2 = e2 .Portanto, xy ∈∈ ker(f). Também podemos escrever que f(x-1)(f(x))-1 = (e2)-1 = e2. Portanto, x-1 ∈∈ ker(f).  Assim,  concluímos que o núcleo de f é um subgrupo normal.
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Considere o seguinte resultado sobre isomorfismos de grupos:
Sejam m, n elementos de N*  tais que m|n. Se n = md, d é um elemento de N, então pelo Teorema do Isomorfismo concluímos que
 
De acordo com o resultado apresentado, marque a alternativa correta.
 
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Seja A um anel e f uma função definida de A em A onde f(x) = x. Determine o núcleo de f.
	
	
	
	N(f) = {0}
	
	
	N(f) = {2}
	
	
	N(f) = {3}
	
	
	N(f) = {1}
	
	
	N(f) = {4}
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Marque a alternativa correta.
	
	
	
	Seja f: Z → Z   tal que f(x) = 2x. f é um homomorfismo de anel.
	
	
	Seja f: A → B   tal que f(a) = 0. f é um homomorfismo de anel.
	
	
	Seja f: Z x Z → Z   tal que f(x,y) = x.  f não é um homomorfismo de anel.
	
	
	Seja f: Z → Z   tal que f(x) = -x. f é um homomorfismo de anel.
	
	
	Seja f: A → B   tal que f(a) = a. f não é um homomorfismo de anel.
		1.
		Resolvendo a equação 3x + 2 = 6x + 7 no anel Z8 encontramos como solução :
	
	
	
	x = 1
	
	
	x = 5
	
	
	x = 10
	
	
	x = 3
	
	
	x = 8
	
	Gabarito
Coment.
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Encontre a solução do sistema de equações determinado pela equações 3x+2y=1 e 4x+6y=2 no Anel Z7 .
	
	
	
	X= 5 e y=6
	
	
	X= 3 e y=3
	
	
	X= 2 e y=2
	
	
	X= 2 e y=4
	
	
	X= 2 e y=3
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Com as operações induzidas pelas operações de Z, identifique o anel que não possui elemento neutro para a operação de multiplicação usual:
	
	
	
	Q
	
	
	Z
	
	
	nZ
	
	
	Z_
	
	
	Zn
	
	
	
	 
		
	
		4.
		
   O elemento neutro desse anel é
 
	
	
	
	e = -2
	
	
	e = 0
 
	
	
	e = 2
 
	
	
	e = 1
 
	
	
	e = -1
 
	
	
	
	 
		
	
		5.
		As tábuas abaixo representam as operações de adição e multiplicação no anel
A = {a,b,c} com três elementos distintos. As tábuas estão incompletas. Marque a alternativa que apresenta os elementos que estão faltando nas tabelas da adição e multiplicação, respectivamente.
 
	
	
	
	b - a
	
	
	c - b
	
	
	a - c
 
	
	
	b - c
	
	
	a - b
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Considere as operações x * y = x + y - 2  e  x ΔΔ y = xy - 2x - 2y + a, com a∈Za∈ℤ. Para que valor de a, (Z, * , ΔΔ) é um anel?
	
	
	
	a = 1
	
	
	a = 2
	
	
	a = - 2
	
	
	a = 6
	
	
	a = 3
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Com as operações induzidas pelas operações de Z, identifique o anel que não possui elemento neutro para a operação de multiplicação usual:
	
	
	
	Zn
	
	
	Z
	
	
	Z_
	
	
	Q
	
	
	nZ
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Julgue as proposições abaixo e marque a alternativa correta.
 
(I)  (A, +, .) é um anel de funções de Z em Z.
(II) Vamos considerar dois anéis A e B. O produto cartesiano A x B não é um anel. 
(III)  Seja K um conjunto não vazio e (A, +, .) um anel. Denotamos por AK  o conjunto de todas as funções de K em A.
 
	
	
	
	II , apenas
	
	
	I e III , apenas
	
	
	III , apenas
	
	
	I , apenas
	
	
	I e II , apenas
		A Professora Claudia definiu múltiplo de um anel e apresentou a seguinte proposição   sobre o assunto estudado:
          Seja A um anel, a um elemento de A e m,n elementos de Z,  m(na) = (mn)a
Ela fez a demonstração dessa proposição por indução.
Marque nas alternativas abaixo a demonstração correta.
 
	
	
	
	Seja A um anel, a um elemento do anel A e m,n elementos de Z..
Por indução sobre n verificamos que:
Para n = 1 temos m(1a) = (m1)a  a propriedade é verdadeira.
Agora vamos considerar verdadeiro para n = k ≥ 1.
m(ka) = (mk)a
	
	
	Seja A um anel, a um elemento do anel A e m,n elementos de Z..
Por indução sobre n verificamos que:
Para n = 1 temos m(1a) = (m1)a  a propriedade é verdadeira.
Agora vamos considerar verdadeiro para n = k ≥ 1.
m(ka) = (mk)a
Vejamos que é válido para n = k + 1.
m((k + 1)a) = m(ka + a) = mka + ma = (mk + m)a = (m(k+1))a.
	
	
	Seja A um anel, a um elemento do anel A e m,n elementos de Z..
Por indução sobre n verificamos que:
Para n = 1 temos m(1a) = (m1)a  a propriedade é verdadeira.
Agora vamos considerar verdadeiro para n = k ≥ 2.
m(ka) = (mk)a
	
	
	Seja A um anel, a um elemento do anel A e m,n elementos de Z..
Por indução sobre n  temos n = k ≥ 1.
m(ka) = (mk)a
Vejamos que é válido para n = k + 1.
m((k + 1)a) = m(ka + a) = mka + ma = (mk + m)a = (m(k+1))a.
	
	
	Seja A um anel, a um elemento do anel A e m,n elementos de Z..
Por indução sobre m verificamos que:
Para n = 1 temos m(1a) = (m1)a  a propriedade é verdadeira.
Agora vamos considerar verdadeiro para n = k ≥ 1.
m(ka) = (mk)a
Vejamos que é válido para n = k + 1.
m((k + 1)a) = m(ka + a) = mka + ma = (mk + m)a = (m(k+1))a.
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Um anel é um conjunto A, cujos elementos(x,y e z) podem ser adicionados e multiplicados satisfazendo as seguintes algumas propriedades. Diga, entre as opções abaixo a propriedade que identifica o anel comutativo.
	
	
	
	x + y = y + x
	
	
	x.y= y.x
	
	
	(x + y) + z = x + (y + z)
	
	
	x(y + z) = x.y + x.z
	
	
	(x.y).z = x.(y.z)
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Marque a única alternativa correta sobre os anéis comutativos.
 
	
	
	
	Os anéis das matrizes são anéis comutativos se n ≥ 2.
	
	
	(C,+,.) não é um anel comutativo.
	
	
	(Zm,+, .) não é um anel comutativo
	
	
	(RR, +,.) é um anel comutativo.
	
	
	(Z,+,.) não é um anel comutativo.
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Indique nas alternativas abaixo a unidade do anel (Zm,+, .) para m ≥ 2 onde m é um elemento do conjuntos dos inteiros.
	
	
	
	¯44¯
	
	
	¯22¯
	
	
	¯55¯
	
	
	¯33¯
	
	
	¯11¯
	
	Gabarito
Coment.
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Sejam A um anel e a,b ϵ A. (I) a.0=0; (II) a.(-b)=(-b).a= -b.a; (III) (-1).a= -a; (IV) a+b=b+a; Segundo as afirmativas,apenas (II) está incorreta.
	
	
	apenas (III) está incorreta.
	
	
	apenas (I) está incorreta.
	
	
	Todas estão incorretas
	
	
	apenas (IV) está incorreta.
	
	
	
	 
		
	
		6.
		A
A Professora Ana definiu múltiplo de um anel e apresentou a seguinte proposição sobre o assunto estudado:
Seja A um anel,  a∈Aa∈A  e  ∀∈Z∀∈ℤ    temos:
(m + n)a = ma + na. Ela fez a demonstração dessa proposição por indução.
Marque nas alternativas abaixo a demonstração correta.
	
	
	
	Seja A um anel, e  m,n∈Zm,n∈ℤ .
Para n = 1 temos (m + 1)a = ma + 1a
Agora vamos considerar verdadeiro para n = k ≥ 2.
(m - k)a = ma - ka
Vejamos que é válido para n = k + 1.
(m + k + 1) = ma + ka + 1a = ma + (ka + 1a) = ma + (k + 1)a.
	
	
	Seja A um anel, e  m,n∈Zm,n∈ℤ .
Por indução sobre n verificamos que:
Para n = 1 temos (m + 1)a = ma + 1a a propriedade é verdadeira.
Agora vamos considerar verdadeiro para n = k ≥ 1.
(m + k)a = ma + ka
Vejamos que é válido para n = k + 1.
(m + k + 1) = ma + ka + 1a = ma + (ka + 1a) = ma + (k + 1)a.
	
	
	Seja A um anel, e  m,n∈Zm,n∈ℤ .
Por indução sobre n verificamos que:
Para n = 1 temos (m + 1)a = ma + 1a a propriedade é verdadeira.
Agora vamos considerar verdadeiro para n = k ≥ 1.
(m + k)a = ma + ka
	
	
	Seja A um anel, e  m,n∈Zm,n∈ℤ .
Por indução sobre n verificamos que:
Para n = 1 temos (m + 1)a = ma + 1a a propriedade é verdadeira.
Vejamos que é válido para n = k + 1.
(m + k + 1) = ma + ka + 1a = ma + (ka + 1a) = ma + (k + 1)a.
	
	
	Seja A um anel, e  m,n∈Zm,n∈ℤ .
Por indução sobre n verificamos que para n = k ≥ 1.
(m + k)a = ma + ka
Vejamos que é válido para n = k + 1.
(m + k + 1) = ma + ka + 1a = ma + (ka + 1a) = ma + (k + 1)a.
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Marque a única alternativa correta sobre os anéis com unidade.
	
	
	
	(Z, +, .) não é um anel com unidade.
 
	
	
	(Q, +, .) não é um anel com unidade.
 
	
	
	O anel (Zm,+, .)  é um anel com unidade para m ≥ 2.
	
	
	(R, + , .) não é um anel com unidade.
 
	
	
	(C,+, .) não é um anel com unidade.
 
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Um anel é um conjunto A, cujos elementos(x,y e z) podem ser adicionados e multiplicados satisfazendo as seguintes algumas propriedades. Diga, entre as opções abaixo a propriedade que identifica o anel comutativo.
	
	
	
	(x + y) + z = x + (y + z)
	
	
	x + y = y + x
	
	
	(x.y).z = x.(y.z)
	
	
	x.y= y.x
	
	
	x(y + z) = x.y + x.z
	
	
	
		1.
		O anel Z6  admite quantos divisores de zero?
	
	
	
	4
	
	
	2
	
	
	5
	
	
	1
	
	
	3
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Indique, entre as opções abaixo, um exemplo de um anel A e um subanel B, tais que exista um elemento neutro multiplicativo de A, mas não exista um elemento neutro multiplicativo de B:
	
	
	
	A=3Z e B=2Z
	
	
	A=Z e B=2Z
	
	
	A=Q e B=Z3
	
	
	A=Q e B=Zn
	
	
	A=Z e B=Zn
	
	
	
	 
		
	
		3.
		No corpo Z11 resolva a equação x3 = x. 
	
	
	
	S = {0,1 }
 
	
	
	S = {0,1,10}
 
	
	
	S = {0,10}
	
	
	S = {1,11}
	
	
	S = {0,2,12}
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Marque a alternativa que indica a definição correta de subanel.
	
	
	
	Seja (A, +, .) um anel e S ≠ Ø um subconjunto não vazio de A. Dizemos que (S, +, .) é um subanel de A, se ele é um anel com as operações do anel A, isto é, S é fechado para as operações de adição e multiplicação, ou seja, x + y ∈∈S  e xy ∈∈S,  ∀∀ x,y `in´S, e  (S, +, .)  também for um anel.
	
	
	Seja (A, +, .) um anel e S ≠ Ø um subconjunto não vazio de A. Dizemos que (S, +, .) é um subanel de A, se (S, +, .)  também for um anel.
	
	
	Seja (A, +, .) um anel e S ≠ Ø um subconjunto vazio de A. Dizemos que (S, +, .) é um subanel de A, se ele é um anel com as operações do anel A, isto é, S é fechado somente para a operação de adição, ou seja, x + y ∈∈S  e xy ∈∈S.
	
	
	Dizemos que (S, +, .) é um subanel de A, se ele não é um anel com as operações do anel A  e xy ∈∈S,  ∀∀ x,y `in´S, e  (S, +, .)  também for um anel.
	
	
	Seja (A, +, .) um anel e S ≠ Ø um subconjunto não vazio de A. Dizemos que (S, +, .) é um subanel de A, se ele é um anel com as operações do anel A, isto é, S é fechado para as operações de adição e multiplicação, ou seja, x + y ∈∈S  e xy ∈∈S,  ∀∀ x,y `in´S.
	
	
	
	 
		
	
		5.
		
	
	
	
	Somente a I está correta.
 
	
	
	Somente a II está correta.
 
	
	
	Somente a I  e II estão corretas.
 
	
	
	Somente a III está correta.
 
	
	
	Somente a II e III estão corretas.
	
	
	
	 
		
	
		6.
		O anel Z6  admite quantos divisores de zero?
	
	
	
	3
	
	
	2
	
	
	4
	
	
	5
	
	
	1
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Indique todos os divisores de zero do anel Z15.
	
	
	
	3,5,9,10 e 15
	
	
	2,3,6,8 e 10
	
	
	5,9,10, e 15
	
	
	3,5,9,10 e 12
	
	
	3,5,6,10 e 15
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Considere as seguintes afirmações:
(I)                2 e 3 são divisores próprios de zero do anel Z6.
(II)             O anel Z7 possui divisores próprios de zero.
(III)          Seja x um elemento de Zm. Podemos dizer que x é um divisor de zero, se o mdc(x,m) = 1.
(IV)          O anel das matrizes (Mn(A), +, . ) tem divisores de zero para todo n ≥ 2.
Podemos afirmar que:
	
	
	
	Somente as afirmativas I, III e IV são verdadeiras.
	
	
	Somente a afirmativa II é verdadeira.
	
	
	Somente a afirmativa I é verdadeira.
	
	
	Somente as afirmativas I e IV são verdadeiras.
	
	
	Somente as afirmativas II e III são verdadeiras.
	
 
		
	
		1.
		No anel Z8, determine Nilp (Z8 ).
	
	
	
	Nilp (Z8 ) = {0,2,4, 6}
	
	
	Nilp (Z8 ) = {0,2,4}
	
	
	Nilp (Z8 ) = {2,4}
	
	
	Nilp (Z8 ) = {0,2}
	
	
	Nilp (Z8 ) = {2,4, 6}
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Considere a seguinte proposição: Se K é corpo, então K é anel de integridade.
Indique a alternativa que apresenta a demonstração correta dessa proposição.
	
	
	
	Por hipótese, temos x e y elementos de K e xy ≠ 0. Suponhamos por absurdo que x ≠ 0 e y ≠ 0. No entanto, se x ≠ 0 e y ≠ 0, então xy ≠ 0. Isso contradiz a hipótese. Portanto, x = 0 ou y =  0.  Logo, K não tem divisores próprios de zero, o que implica que ele é um anel de integridade.
	
	
	Por hipótese, temos x e y elementos de K e xy = 0. Suponhamos por absurdo que x = 0 e y = 0. No entanto, se x ≠ 0 e y ≠ 0, então xy ≠ 0. Isso contradiz a hipótese. Portanto, x = 0 e y =  0.  Logo, K não tem divisores próprios de zero, o que implica que ele é um anel de integridade.
	
	
	Por hipótese, temos x e y elementos de K e xy = 0. Suponhamos por absurdo que x ≠ 0 e y ≠ 0. No entanto, se x ≠ 0 e y ≠ 0, então xy ≠ 0. Isso contradiz a hipótese. Portanto, x = 0 e  y =  0.  Logo, K não tem divisores próprios de zero, o que implica que ele é um anel de integridade.
	
	
	Por hipótese, temos x e y elementos de K e xy = 0. Suponhamos por absurdo que x = 0 e y ≠ 0. No entanto, se x ≠ 0 e y = 0, então xy ≠ 0. Isso contradiz a hipótese. Portanto,   x = 0 ou y =  0.  Logo, K não tem divisores próprios de zero, o que implica que ele é um anel de integridade.
	
	
	Por hipótese, temos x e y elementos de K e xy = 0. Suponhamos por absurdo que x ≠ 0 e y ≠ 0. No entanto, se x ≠ 0 e y ≠ 0, então xy = 0. Isso contradiz a hipótese. Portanto, x = 0 e y =  0.  Logo, K não tem divisores próprios de zero, o que implica que ele é um anel de integridade.3.
		Em Z4 = {0,1,2,3}, determine U(Z4) .
	
	
	
	 U(Z4) = {0,1,3}
	
	
	U(Z4) = {1,2,3}
	
	
	U(Z4) = {2,3}
	
	
	U(Z4) = {0,1,2}
	
	
	U(Z4) = {1,3}
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Seja f: A → B um isomorfismos de anéis. Marque a alternativa correta.
	
	
	
	A é corpo  ⇔   B é corpo.
	
	
	A é comutativo ⇔ B não é comutativo.
	
	
	A é domínio ⇔ B não é domínio.
	
	
	A tem unidade ⇔ B não tem unidade.
	
	
	A não tem divisores de zero  ⇔ B tem divisores de zero.
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Considere a seguinte proposição: Se K é corpo, então K é anel de integridade.
Indique a alternativa que apresenta a demonstração correta dessa proposição.
	
	
	
	Por hipótese, temos x e y elementos de K e xy ≠ 0. Suponhamos por absurdo que x ≠ 0 e y ≠ 0. No entanto, se x ≠ 0 e y ≠ 0, então xy ≠ 0. Isso contradiz a hipótese. Portanto, x = 0 ou y =  0.  Logo, K não tem divisores próprios de zero, o que implica que ele é um anel de integridade.
	
	
	Por hipótese, temos x e y elementos de K e xy = 0. Suponhamos por absurdo que x = 0 e y ≠ 0. No entanto, se x ≠ 0 e y = 0, então xy ≠ 0. Isso contradiz a hipótese. Portanto,   x = 0 ou y =  0.  Logo, K não tem divisores próprios de zero, o que implica que ele é um anel de integridade.
	
	
	Por hipótese, temos x e y elementos de K e xy = 0. Suponhamos por absurdo que x = 0 e y = 0. No entanto, se x ≠ 0 e y ≠ 0, então xy ≠ 0. Isso contradiz a hipótese. Portanto, x = 0 e y =  0.  Logo, K não tem divisores próprios de zero, o que implica que ele é um anel de integridade.
	
	
	Por hipótese, temos x e y elementos de K e xy = 0. Suponhamos por absurdo que x ≠ 0 e y ≠ 0. No entanto, se x ≠ 0 e y ≠ 0, então xy = 0. Isso contradiz a hipótese. Portanto, x = 0 e y =  0.  Logo, K não tem divisores próprios de zero, o que implica que ele é um anel de integridade.
	
	
	Por hipótese, temos x e y elementos de K e xy = 0. Suponhamos por absurdo que x ≠ 0 e y ≠ 0. No entanto, se x ≠ 0 e y ≠ 0, então xy ≠ 0. Isso contradiz a hipótese. Portanto, x = 0 e  y =  0.  Logo, K não tem divisores próprios de zero, o que implica que ele é um anel de integridade.
	
	
	
	 
		
	
		6.
		No corpo Z11 resolva a equação x3 = x. 
	
	
	
	S = {1,11}
	
	
	S = {0,10}
	
	
	S = {0,1 }
	
	
	S = {0,1,10}
	
	
	S = {0,2,12}
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Em Z4 = {0,1,2,3}, determine U(Z4) .
	
	
	
	 U(Z4) = {0,1,3}
	
	
	U(Z4) = {0,1,2}
	
	
	U(Z4) = {1,3}
	
	
	U(Z4) = {2,3}
	
	
	U(Z4) = {1,2,3}
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Marque a alternativa que indica a definição correta de corpo.
	
	
	
	Um Corpo é um anel comutativo com unidade que chamaremos de K. Este anel é denominado corpo se todo elemento não nulo de K possuir inverso multiplicativo, ou seja, se ∀∀ x ∈∈K, x ≠ 0, então existe x-1 ∈∈K tal que x.x-1 = 1.
	
	
	Um Corpo é um anel que tem apenas  unidade que chamaremos de K. Este anel é denominado corpo se todo elemento nulo de K possuir inverso multiplicativo, ou seja, se ∀∀ x ∈∈K, x = 0, então existe x-1 ∈∈K tal que x.x-1 = 1.
 
 
	
	
	Um Corpo é um anel comutativo com unidade que chamaremos de K. Este anel é denominado corpo se todo elemento não nulo de K não possuir inverso multiplicativo.
	
	
	Um Corpo é um anel comutativo com unidade que chamaremos de K. Este anel é denominado corpo se todo elemento não nulo de K possuir inverso multiplicativo, ou seja, se ∀∀ x ∈∈K, x ≠ 0, então existe x-1 ∈∈K tal que x.x-1 = 1.
 
 
	
	
	Um Corpo é um anel  comutativo que chamaremos de K. Este anel é denominado corpo se todo elemento nulo de K possuir inverso multiplicativo, ou seja, se ∀∀ x ∈∈K, x ≠ 0, então existe x-1 ∈∈K tal que x.x-1 = 1.
 
	
	
	
		1.
		Determine todos os ideais de Z8.
	
	
	
	{0}, {0,2,4,6} e {0,4}
	
	
	{0,2,4,6}, {0,4} e Z8
	
	
	{0}, {0,4} e Z8
	
	
	{0}, {0,2,4,6}, {0,4} e Z8
	
	
	{0} e {0,2,4,6}
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Marque a alternativa correta.
	
	
	
	Seja I é um ideal do anel A com unidade. Se I contém um elemento inversível de A, então I ≠ A.
	
	
	2Z é um ideal no anel Z.
	
	
	Considere um anel (Q, +, .) e I = Z (conjunto dos números pares). Z é um ideal no anel Q.
	
	
	Seja I = {f: R → R/f(1) + f(2) = 0}  e (RR, +, .). I é um ideal do anel (RR, +, .).
	
	
	O conjunto dos números pares não é um ideal principal de Z gerado pelo elemento 2.
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Marque a alternativa que indica corretamente a definição de isomorfismo de anéis.
	
	
	
	Um isomorfismo de um anel (A, +, .) em um anel  (B, +, .) é uma função f: A → B que é um homomorfismo e é injetiva. Assim, dizemos que quando existe um isomorfismo entre os anéis A e B, eles são isomorfos. Portanto, eles têm as mesmas propriedades.  
	
	
	Um isomorfismo de um anel (A, +, .) em um anel  (B, +, .) é uma função f: A → B que é bijetora. Assim, dizemos que quando existe um isomorfismo entre os anéis A e B, eles são isomorfos. Portanto, eles têm as mesmas propriedades.
	
	
	Um isomorfismo de um anel (A, +, .) em um anel  (B, +, .) é uma função f: A → B que é um homomorfismo. Assim, dizemos que quando existe um isomorfismo entre os anéis A e B, eles são isomorfos. Portanto, eles têm as mesmas propriedades.  
	
	
	Um isomorfismo de um anel (A, +, .) em um anel  (B, +, .) é uma função f: A → B que é um homomorfismo e é sobrejetora. Assim, dizemos que quando existe um isomorfismo entre os anéis A e B, eles são isomorfos. Portanto, eles têm as mesmas propriedades.  
	
	
	Um isomorfismo de um anel (A, +, .) em um anel  (B, +, .) é uma função f: A → B que é um homomorfismo e é bijetora. Assim, dizemos que quando existe um isomorfismo entre os anéis A e B, eles são isomorfos. Portanto, eles têm as mesmas propriedades.  
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Indique o  ideal  principal em Z6  gerados por [2].
	
	
	
	{0,2,4}
	
	
	{0, 4}
	
	
	{2,4}
	
	
	{0}
	
	
	{0,2}
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Seja f: A → B um isomorfismos de anéis. Marque a alternativa correta.
	
	
	
	A é domínio ⇔⇔ B não é domínio.
	
	
	A é comutativo ⇔⇔ B não é comutativo.
	
	
	A é corpo  ⇔⇔   B é corpo.
	
	
	A tem unidade ⇔⇔ B não tem unidade.
	
	
	A não tem divisores de zero  ⇔⇔ B tem divisores de zero.
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Considere a seguinte proposição:
Se I  e J são ideais de um anel A, então I ∩ J é um ideal de A,
I ∩ J = {x ∈∈A, x ∈∈ I e x ∈∈J}. A partir da proposição determine 2Z ∩ 3Z.
	
	
	
	4Z
	
	
	3Z
	
	
	6Z
	
	
	2Z
	
	
	5Z
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Considere a seguinte proposição:
Se I  e J são ideais de um anel A, então I ∩ J é um ideal de A,
I ∩ J = {x ∈A, x ∈ I e x ∈J}. A partir da proposição determine 2Z ∩ 3Z.
	
	
	
	5Z
	
	
	2Z
	
	
	6Z
	
	
	3Z
	
	
	4Z
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Indique o  ideal  principal em Z6  gerados por [2].
 
	
	
	
	{0,2,4}
	
	
	{0, 4}
	
	
	{2,4}
	
	
	{0}
	
	
	{0,2}