Uso da Transformada de Laplace em um Circuito RLC

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Dezembro de 2002, UFRGS, Porto Alegre - RS
	
	
	
USO DA TRANSFORMADA DE LAPLACE EM UM CIRCUITO RLC
Bruna Pontes Cehinel1; Vinícius Ferreira Pessoa²; Willian Douglas da Silva3
Universidade Tecnológica Federal do Paraná – UTFPR –Medianeira – Brasil 
bpcechinel@gmail.com; viniciuspessoa1997@hotmail.com; willians.2016@alunos.utfpr.edu.br;
Resumo
O objetivo deste artigo é mostrar uma aplicação teórica de Equação Diferencial e Transformada de Laplace na área de Engenharia Elétrica. Foi criada uma situação hipotética de um circuito em série, no qual há um circuito RLC, sendo R a resistência, L o indutor e C o capacitor, que, através do método da Transformada de Laplace, será realizado o cálculo da corrente. A Transformada tem como objetivo resolver equações diferenciais como se fossem equações polinomiais, assim, pôde-se chegar a uma propriedade desejável no qual a primeira função não proporciona e, em seguida, aplicando o que se chama de Transformada Inversa de Laplace, foi encontrado o resultada esperado, no casso a corrente do circuito.
Palavras-chave: circuitos; RLC; laplace; corrente.
1. Introdução
No dia a dia, há algumas situações nas quais deseja-se fazer o uso de equações matemáticas para a resolução de algum problema, as equações diferenciais surgiram a partir dessa necessidade de encontrar funções matemáticas desconhecidas que representam tal problema.
Um exemplo de equação diferencial é um circuito elétrico em série, que nos traz uma tensão aplicada em um determinado tempo, ou um sistema massa-mola, que representa uma força externa aplicada. Porém, funções descontínuas, como essa citada, não são incomuns e é quando surge a necessidade da aplicação da Transformada de Laplace.
Criada por Pierre-Simon Laplace e aperfeiçoada por Oliver Heaviside, Mathias Lerch e Bromwich, a Transformada de Laplace pode ser entendida como um simples artifício que contribui para transformar um PVI (problema de valor inicial) em uma equação algébrica, de modo a resolver este PVI de maneira indireta, sem ter a necessidade de realizar cálculos mais “complicados” através de derivadas e integrais.
A Transformada de Laplace abrange várias áreas, como a difusão térmica do solo, determinação de condições de contorno tipo albedo para cálculos neutrônicos, a análise viscoelástica de estruturas laminadas, a simulação analítica da dispersão de poluentes atmosféricos ou o estudo da corrente de um circuito em série, como será abordado no presente artigo.
2. Referencial teórico
2.1 Leis de Kirchhoff
As Leis de Kirchhoff foram criadas por Gustav Robert Kirchhoff (1824 - 1887). Uma de suas mais essenciais leis foi voltada para circuitos elétricos, para qual é usada na resolução de circuitos em série ou paralelo mais complexos.
A Segunda Lei de Kirchhoff, também conhecida como Lei de Kirchhoff das Tensões (LKT), diz que a soma das elevações e quedas de tensão nos resistores é igual a zero. Logo, partindo desse princípio, podemos calcular a corrente que passa em um determinado circuito, assim:
	
	
	(1)
Sabemos que , e . Aplicando esses valores em (1) obtemos:
	
	
	(2)
Onde VL(t) é a tensão do indutor, VR(t) a tensão do resistor, VC(t) a tensão do condutor e E(t) a tensão da fonte. Simplificando a equação temos:
	
	
	(3)
Essa é a equação da carga da fonte do circuito.
2.2 Transformada de Laplace
Seja f uma função definida para todo t ≥ 0. A integral
	
	
	(4)
será chamada transformação de Laplace de f, desde que a integral convirja. Quando a integral definida (4) convergir, o resultado tornará uma função de s.
Se representa a transformada de uma função , isto é, , logo é a transformada inversa de Laplace de e denota-se .
Para a resolução de equações diferenciais, precisa-se obter quantidade como e . Se for contínua para , da integração por partes resultará em
	
	
	(5)
logo,
	
	
	(6)
Supõem-se que quando . Da mesma forma, obtemos:
	
	
	(7)
	
	
	(8)
Assim, se forem contínuas em e de ordem exponencial, e se for contínua por partes em , então
	
	
	(9)
onde .
3. Materiais e métodos
Como descrito anteriormente, o problema envolve um circuito em série que contém uma resistência R, um indutor L e um capacitor C. A fonte possui uma carga de 300V, o indutor 2H, o resistor com 16Ω e o capacitor com 0,02F. Sabendo disso, podemos, a partir desta situação, calcular a corrente do circuito da figura 1 nos tempos 1s, 2s, 3s, 4s e 5s.
Figura 1 – Circuito em série RLC
Fonte: CircuitLab
Substituindo os valores dados no problema acima na equação (3), obtêm-se:
	
	
	(10)
	
	
	(11)
Aplicando o Teorema de Laplace em ambos os lados da equação:
	
	
	(12)
	
	
	(13)
Fazendo as devidas substituições de “q”, como mostra as equações (6) e (8):
	
	
	(14)
	
	
	(15)
Sabendo que a chave está aberta em (figura 1), temos que, assim . Logo:
	
	
	(16)
Aplicando frações parciais:
	
	
	(17)
Agora, aplica-se a Transformada Inversa de Laplace para encontrar a equação da carga:
	
	
	(18)
Derivando a carga (18), obtêm-se a equação da corrente do circuito:
	
	
	(19)
4. Resultados e discussões
Encontrada a equação da correte (19) podemos fazer substituições para t, como na tabela abaixo:
Tabela 1 – Corrente i em função do tempo t
	Tempo (s)
	Corrente (A)
	1
	1,2923*10-1
	2
	-4,6866*10-3
	3
	1,2661*10-4
	4
	-3,0191*10-6
	5
	6,7017*10-8
Fonte: Tabela de dados provida do capítulo 3 deste artigo.
Observando a tabela 1, podemos fazer algumas observações, como por exemplo se o circuito presente é superamortecido, criticamente amortecido, subamortecido ou não amortecido. A figura 2 mostra isso com mais clareza.
Figura 2 – Exemplo de circuito superamortecido, criticamente amortecido, subamortecido e não amortecido
Fonte: Ebah
Pôde-se assumir então, através da imagem acima, que o circuito dado é subamortecido, ou seja, . A cada oscilação, parte da energia é perdida na resistência, de tal forma que o sistema continue oscilando, mas as amplitudes, valores de pico, tanto da carga e da corrente, ou tensões vão diminuindo até se anularem.
5. Conclusão
A Transformada de Laplace proporciona encontrar funções das quais nos problemas mais complexos não é obtida de imediato. Aqui foi obtida a equação na corrente através desse método, do qual pôde ser feita observações, como chegar a conclusão de que o circuito trabalhado é subamortecido.
Desse modo, pode-se concluir que o estudo a partir de métodos numéricos, mais especificamente a Transformada e Laplace, é de suma importância quando se trata de problemas que não são sancionados por métodos mais simplistas.
Referencial bibliográfico
BARBOSA, B. H. G., BRAGA JR, R. A. Introdução aos Circuitos Elétricos: a transformada de Laplace. UFLA - Departamento de Engenharia. Disponível em: <http://www.deg.ufla.br/wp-content/uploads/2016/04/Notas-de-aula-laplace.pdf>. Acessado em: 19 jun 2018.
MUNDIM. K. C. Circuito RLC. Registro Nº 169.766, Biblioteca Nacional, Ministério da Cultura, 16 fev 2001. Disponível: <http://www.ensinoadistancia.pro.br/EaD/Eletromagnetismo/CircuitoRLC/CircuitoRLC.html>. Acessado em: 19 jun 2018
SANTOS, J. Transformadas de Laplace. Disponível em: <http://www3.fsa.br/mecanica/arquivos/2_-_Transformadas_de_Laplace.pdf>. Acessado em: 25 jun 2018.
ZILL, D. G.; FARIAS, A. A.; CULLEN, M. R. ((Trad.)). Equações Diferenciais: com aplicações em modelagem. 3.ed 2.v ISBN 8534611416 v.2.
	
	
	
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