apostila_oficina_geometria__parte_2

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FACULDADE EMPRESARIAL DE CHAPECÓ 
UCEFF FACULDADES 
 
CURSO DE ENGENHARIA CIVIL, 
ENGENHARIA DE PRODUÇÃO E 
ARQUITETURA 
 
 
 
 
 
OFICINA DE REFORÇO 
GEOMETRIA PLANA - PARTE 2 
 
 
 
 
 
 
CHAPECÓ – SC, MAIO DE 2013. 
Geometria Plana - Parte 2
1.Área do triângulo
2.Área do paralelogramo
3.Área dos paralelogramos notáveis
4.Área do trapézio
5.Área de um quadrilátero qualquer
6.Área do círculo e suas partes
7.Áreas das figuras semelhantes
3
Vamos apresentar as formas de calcular a 
área de um triângulo considerando três
possibilidades: (a) Área de um triângulo em função
de um lado e da altura relativa a ele; (b) Área do 
triângulo em função de dois lados e do ângulo
compreendido e (c) Área do triângulo em função
dos lados (fórmula de Herão).
1. Área do triângulo
4
A área de um triângulo é dada pela fórmula:
1.1. Área do triângulo em 
função de um lado e da altura
2
BASE ALTURA×
Aqui é importante saber que qualquer lado
do triângulo pode ser tomado como base, desde
que se utilize a altura relativa ao respectivo lado
na aplicação da fórmula.
5
1.1. Área do triângulo em 
função de um lado e da altura
A área de um triângulo não depende do lado
que escolhemos como base.
2 2 2
a b ca h b h c hS∆
⋅ ⋅ ⋅
= = =
6
1.1. Área do triângulo em 
função de um lado e da altura
A área de um triângulo não depende do lado
que escolhemos como base.
2 2 2
a b ca h b h c hS∆
⋅ ⋅ ⋅
= = =
7
1.1. Área do triângulo em 
função de um lado e da altura
A área de um triângulo não depende do lado
que escolhemos como base.
2 2 2
a b ca h b h c hS∆
⋅ ⋅ ⋅
= = =
8
1.1. Área do triângulo em 
função de um lado e da altura
Esta propriedade é demonstrada com o 
auxílio da semelhança de triângulos, traçando as 
alturas ha e hb de um triângulo ABC.
9
1.1. Área do triângulo em 
função de um lado e da altura
Nesta figura, vamos destacar os triângulos
AHC e BIC.
10
1.1. Área do triângulo em 
função de um lado e da altura
Os triângulos AHC e BIC são semelhantes, 
pois e é um ângulo comum aos
dois triângulos. Assim,
b
a b
a
hBC BI a
a h b h
AC AH b h
= ⇒ = ⇒ ⋅ = ⋅
90oH I= =
⌢ ⌢ C∢
11
1.1. Área do triângulo em 
função de um lado e da altura
(1)
2 2
a ba h b h⋅ ⋅
=
(2)
2 2
a ca h c h⋅ ⋅
=
Logo,
De forma análoga, demonstra-se que:
2 2 2
a b ca h b h c h⋅ ⋅ ⋅
= =
E de (1) e (2), conclui-se que:
12
1.1. Área do triângulo em 
função de um lado e da altura
Exercício 1: Seja ABC um triângulo isósceles em
que AB = AC = 13 cm e BC = 10 cm.
Calcular:
a) a área desse triângulo;
b) a altura relativa ao lado AC.
13
1.1. Área do triângulo em 
função de um lado e da altura
Resolução:
a) Para o cálculo da área, convém utilizar o lado BC 
como base, já que a altura relativa a ele é também
mediana e, por isso, pode ser facilmente calculada
pelo teorema de Pitágoras.
14
1.1. Área do triângulo em 
função de um lado e da altura
Do triângulo AHC, temos:
Então, a área do triângulo é:
2 2 2
2
2
5 13
169 25
144
12 cm
h
h
h
h
+ =
= −
=
=
210 12 60 cm
2
S S⋅= ⇒ =△ △
15
1.1. Área do triângulo em 
função de um lado e da altura
b) Como a área do triângulo é igual a 60 cm2, 
temos:
13 12060 cm
2 13
c
c
h h⋅ = ⇒ =
16
1.1. Área do triângulo em 
função de um lado e da altura
Exercício 2: Seja P um ponto interno qualquer de 
um triângulo equilátero. Demonstrar que a soma 
das distâncias de P aos lados desse triângulo é
igual à sua altura.
17
1.1. Área do triângulo em 
função de um lado e da altura
Resolução:
Observe a figura. P é um ponto interno
qualquer do triângulo equilátero ABC. Queremos
provar que: x + y + z = h.
18
1.1. Área do triângulo em 
função de um lado e da altura
Unindo o ponto P aos vértices do triângulo, 
este fica decomposto nos triângulos PBC, PAC e 
PAB. A soma das áreas desses três triângulos é
igual à área do triângulo ABC.
2 2 2 2
2
PBC PAC PAB ABCS S S S
l x l y l Z l h
l
∆ ∆ ∆ ∆+ + =
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
+ + =
( )
2
l
x y z+ + = h
x y z h
⋅
+ + =
19
1.1. Área do triângulo em 
função de um lado e da altura
Exercício 3: Calcule a área do triângulo ABC da
figura abaixo.
20
1.1. Área do triângulo em 
função de um lado e da altura
Exercício 4: Calcule a área de um triângulo
equilátero de lado l.
21
1.1. Área do triângulo em 
função de um lado e da altura
Exercício 5: Calcule x, sabendo que BC = 10 e 
AC = 8.
22
1.2. Área do triângulo em 
função de dois lados e do ângulo
Considere um triângulo ABC qualquer e uma
de suas alturas. Por exemplo, a altura AH.
No triângulo retângulo ABH, temos:
h
sen B h c sen B
c
= ⇒ = ⋅
⌢ ⌢
23
1.2. Área do triângulo em 
função de dois lados e do ângulo
Substituindo h por na fórmula da
área do triângulo ABC, obtemos
2 2ABC ABC
a h a c sen BS S∆ ∆
⋅ ⋅ ⋅
= ⇒ =
⌢
c sen B⋅
⌢
24
1.2. Área do triângulo em 
função de dois lados e do ângulo
Note que a última igualdade dá a área do triângulo
ABC em função dos lados a e c e do ângulo B, compreendido
entre esses dois lados. De modo análogo, demonstra-se que
essa fórmula se aplica a quaisquer dois lados do triângulo.
2 2 2
b c sen A a c sen B a b sen CS∆
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= = =
⌢⌢ ⌢
25
Exercício 6: Calcular a área do triângulo da figura
abaixo.
1.2. Área do triângulo em 
função de dois lados e do ângulo
26
Resolução:
1.2. Área do triângulo em 
função de dois lados e do ângulo
28 10 sen45 240 20 2 cm
2 2
o
S ⋅ ⋅= = ⋅ =△
27
Exercício 7: Na figura abaixo, ABC é um triângulo
equilátero de lado l = 6. Calcular a área do 
quadrilátero AMNC, sabendo que AM = 2 e BN = 3.
1.2. Área do triângulo em 
função de dois lados e do ângulo
28
Resolução:
Inicialmente observe que BM = 4 e que o 
ângulo B é igual a 60o, pois o triângulo ABC é
equilátero. Por outro lado, note que a área S, do 
quadrilátero AMNC, é igual à diferença das áreas
dos triângulos ABC e BMN.
1.2. Área do triângulo em 
função de dois lados e do ângulo
29
1.2. Área do triângulo em 
função de dois lados e do ângulo
6 6 sen60 4 3 sen60
2 2
3 318 6
2 2
9 3 3 3
6 3
ABC BMN
o o
S S S
S
S
S
S
∆ ∆= −
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= −
= ⋅ − ⋅
= −
=
30
Exercício 8: Na figura abaixo, ABC é um triângulo
equilátero de lado l = 4a e AK = BL = CM = a. 
Calcule a área do triângulo KLM em função de a.
1.2. Área do triângulo em 
função de dois lados e do ângulo
31
Exercício 9: Na figura abaixo, sabe-se que , 
AD = 4, DB = 2, AE = 6 e = 45o. Calcule a área do 
trapézio BDEC.
1.2. Área do triângulo em 
função de dois lados e do ângulo
DE // BC
A
⌢
32
Exercício 10: Na figura seguinte, os triângulos
ABC e ECD são equiláteros. Se AB = 6 cm e 
ED = 4 cm, calcule a área do quadrilátero ABDE.
1.2. Área do triângulo em 
função de dois lados e do ângulo
33
1.3. Área do triângulo em 
função dos lados
Seja ABC um triângulo qualquer e a 
altura relativa ao vértice A.
AH
34
1.3. Área do triângulo em 
função dos lados
Pelo teorema de Pitágoras, nos triângulos
AHB e AHC, temos:
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
(1)
( )
2 (2)
c h m
b h a m
b h a am m
= +
= + −
= + − +
35
1.3. Área do triângulo em 
função dos lados
Subtraindo membro a membro a igualdade
(1) da igualdade (2), vem:
2 2 2 2b c a am− = −
E isolando m nesta última igualdade, teremos:
2 2 2
(3)
2
a b c
m
a
− +
=
36
1.3. Área do triângulo em 
função dos lados
Agora, vamos substituirem (1) o valor de m
encontrado em (3).
( )
( )
( )
( ) ( )
22 2 2
2 2
22 2 2
2 2
2
22 2 2 2 2 2 2
22 2 2 2 2 2 2
222 2 2 2 2
2
4
4 4
4 4
4 2
a b c
c h
a
a b c
c h
a
a c a h a b c
a h a c a b c
a h ac a b c
 
− +
= +  
 
− +
= +
= + − +
= − − +
= − − +
37
1.3. Área do triângulo em 
função dos lados
Fatorando a diferença de quadrados do 
segundo membro da última igualdade, temos:
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
4 (2 ) (2 )
4 ( 2 ) ( 2 )
( )4 ( 2 ) ( ( 2 ))
4 [( ) )] [( ( ) ]
a h ac a b c ac a b c
a h a ac c b b a ac c
a h a ac c b b a ac c
a h a c b b a c
= + − + ⋅ − + −
= + + − ⋅ − + −
= + + − ⋅ − − +
= + − ⋅ − −
38
1.3. Área do triângulo em 
função dos lados
Agora, vamos fatorar as diferenças de 
quadrados que estão entre o colchetes.
2 2
2 2
) ) ) )4 ( ( ( (
) ) ) ) (4)4 ( ( ( (
a c b a c b b a c b a ca h
a b c b c a a c b a b ca h
+ + + − + − − += ⋅ ⋅ ⋅
+ + + − + − + −= ⋅ ⋅ ⋅
Fazendo a + b + c = 2p, podemos representar
os demais fatores do 2o membro de (4) como
segue:
2
2
2
2 2 2 2( )
2 2 2 2( )
2 2 2 2( )
p
p
p
b c a a b c a p a p a
a c b a b c b p b p b
a b c a b c c p c p c
+ − = + + − = − = −
+ − = + + − = − = −
+ − = + + − = − = −
�����
�����
�����
39
1.3. Área do triângulo em 
função dos lados
Então, podemos escrever a igualdade (4) da
segunda maneira:
2 2
2 2
2 2
2 2( ) 2( ) 2( )4
16 ( )( )( )4
4 ( )( )( )
p p a p b p ca h
p p a p b p ca h
p p a p b p ca h
− − −= ⋅ ⋅ ⋅
− − −=
− − −=
2 ( )( )( )p p a p b p cah − − −=
Logo,
Ou ainda,
( )( )( )
2
ah p p a p b p c− − −=
40
1.3. Área do triângulo em 
função dos lados
Como ah/2 é a área do triângulo ABC, 
concluímos que:
A área de um triângulo de lados a, b e c é
dada pela fórmula:
( )( )( )S p p a p b p c∆ = − − −
41
1.3. Área do triângulo em 
função dos lados
onde p é o semiperímetro do triângulo. Isto é,
Com esta fórmula, denominada fórmula de 
Herão, podemos calcular a área de qualquer
triângulo do qual conhecemos os lados.
2
a b cp + +=
42
Exercício 11: Calcule a área de um triângulo de 
lados a = 5 cm, b = 6 cm e c = 7 cm.
1.3. Área do triângulo em 
função dos lados
43
Resolução:
Inicialmente, temos:
Então,
1.3. Área do triângulo em 
função dos lados
5 6 7 9
2 2
a b cp p p+ + + += ⇒ = ⇒ =
2
( ) ( ) ( )
9 (9 5) (9 6) (9 7)
9 4 3 2
6 6 cm
S p p a p b p c
S
S
S
= ⋅ − ⋅ − ⋅ −
= ⋅ − ⋅ − ⋅ −
= ⋅ ⋅ ⋅
=
△
△
△
△
44
Exercício 12: Na figura, o ponto P é equidistante
dos lados do triângulo. Calcule a distância de P a 
cada um dos lados.
1.3. Área do triângulo em 
função dos lados
45
1.4. Cálculo do raio da
circunferência inscrita
Seja I o incentro de um triângulo ABC 
qualquer. Unindo-se o ponto I aos três vértices do 
triângulo, este fica decomposto nos triângulos
BIC, AIC e AIB.
46
1.4. Cálculo do raio da
circunferência inscrita
2 2 2
( )
2
BIC AIC AIBS S S S
ar br crS
a b cS r S pr
∆ ∆ ∆ ∆
∆
∆ ∆
= + +
= + +
+ +
= ⋅ ⇒ =
47
1.5. Cálculo do raio da
circunferência circunscrita
Da lei dos senos, temos:
2
2
a aR sen A
Rsen A
= ⇒ =
⌢
⌢
48
1.5. Cálculo do raio da
circunferência circunscrita
Por outro lado, sabemos que a área do 
triângulo ABC é dada por
2
bc sen AS∆ =
⌢
49
1.5. Cálculo do raio da
circunferência circunscrita
Substituindo por a/2R nesta fórmula, 
obtemos
2
2 4
abc abcRS S
R∆ ∆
= ⇒ =
sen A
⌢
50
Exercício 13: Calcular os raios das circunferências
inscrita e circunscrita num triângulo de lados
a = 5 cm, b = 6 cm e c = 7 cm.
1.5. Cálculo do raio da
circunferência circunscrita
51
Resolução: 
Calculando a área do triângulo pela fórmula
de Herão, obtemos:
Então,
1.5. Cálculo do raio da
circunferência circunscrita
26 6 cmS =△
6 6 9
2 6
 cm
3
S p r
r
r
= ⋅
=
=
△
52
Por outro lado,
1.5. Cálculo do raio da
circunferência circunscrita
4
6
abcS
R
=△
5 66 ⋅= 7
4
4 6 35
35 6
4 6 6
35 6
 cm
24
R
R
R
R
⋅
⋅ =
= ⋅
=
53
2. Área do paralelogramo
A área de um paralelogramo qualquer é dada 
pela fórmula:
BASE X ALTURA
54
2. Área do paralelogramo
Do mesmo modo que ocorre com o triângulo, 
também no paralelogramo qualquer lado pode ser 
tomado como base. A altura será a distância desse
lado ao lado oposto.
'
pS a h b h= ⋅ = ⋅
55
3. Área dos paralelogramos 
notáveis
Os paralelogramos notáveis são o retângulo, 
o losango e o quadrado. Suas áreas também são
dadas pela fórmula base x altura.
Retângulo Losango Quadrado
RS a b= ⋅ LS l h= ⋅ 2QS a a a= ⋅ =
56
3. Área dos paralelogramos 
notáveis
Porém, como as diagonais do losango são
perpendiculares, é possível expressar sua área em
função de suas diagonais.
Pelos vértices de um losango traçamos as 
retas paralelas às diagonais, obtendo um retângulo
de lados congruentes a essas diagonais.
57
3. Área dos paralelogramos 
notáveis
Os lados e as diagonais do losango
decompõem o retângulo em 8 triângulos retângulos
congruentes, dos quais 4 formam o losango. Então, 
a área do losango é a metade da área do retângulo. 
Isto é, é o semiproduto das diagonais.
2 2
R
L L
S D dS S ⋅= ⇒ =
58
Exercício 14: Na figura abaixo, ABCD é um 
paralelogramo. Se a área do triângulo ABM é igual
a 10 cm2, qual é a área do paralelogramo?
3. Área dos paralelogramos 
notáveis
59
Exercício 15: Calcule a área do quadrado MNPQ 
em função de a.
3. Área dos paralelogramos 
notáveis
60
Exercício 16: M e N são os pontos médios dos 
lados AB e BC de um quadrado ABCD. Se MN = 5, 
calcule a área do quadrado.
3. Área dos paralelogramos 
notáveis
61
Exercício 17: O perímetro de um losango é igual a 
40 cm e sua diagonal maior é D = 16 cm. Calcule a 
área desse losango.
3. Área dos paralelogramos 
notáveis
62
Exercício 18: Um retângulo de área igual a 
540 cm2 está inscrito num círculo e tem seus lados
proporcionais a 5 e 12. a) Calcule as medidas dos 
lados do retângulo. B) Calcule o raio do círculo.
3. Área dos paralelogramos 
notáveis
63
Exercício 19: Na figura abaixo, ABCD é um 
retângulo, , , LDMO é um quadrado
e as áreas dos retângulos OLCN e OKAM são iguais
a 15 e 6, respectivamente. Se x + y = 7, calcule a 
área do retângulo OKBN.
3. Área dos paralelogramos 
notáveis
MN // AB KL // BC
64
4. Área do trapézio
A área de um trapézio qualquer é dada pela
fórmula:
( )
2
BASE MAIOR BASE MENOR ALTURA+ ×
65
4. Área do trapézio
Essa fórmula pode ser facilmente obtida
decompondo o trapézio em dois triângulos por meio
de uma de suas diagonais.
( )
2 2 2
T ABD BCD
T T
S S S
ah bh a b hS S
∆ ∆= +
+ ⋅
= + ⇒ =
66
5. Área de um quadrilátero 
qualquer
A área de um quadrilátero qualquer
geralmente é calculada decompondo-o em
triângulos, por meio de suas diagonais.
1 2QS S S= + 1 2 3 4QS S S S S= + + +
67
Exercício 20: Num trapézio de altura h = 5 cm a 
base média mede 6 cm. Calcule a área desse
trapézio.
5. Área de um quadrilátero 
qualquer
68
Exercício 21: Na figura abaixo, M e N são os
pontos médios dos lados AD e BC do trapézio
ABCD. Calcule a área desse trapézio, sabendo que
a área do trapézio MABN é igual a 18.
5. Área de um quadrilátero 
qualquer
69
Exercício 22: Se , calcule a área do tra-
pézio BCDE.
BE //CD
5. Área de um quadriláteroqualquer
70
Exercício 23: Na figura, AB = AC = BC = 10 e 
CD = 6. Calcule a área do quadrilátero ABCD.
5. Área de um quadrilátero 
qualquer
71
Exercício 24: A figura seguinte mostra a planta de 
um terreno. Para calcular a sua área o proprietário
dispõe das seguintes medidas.
22 m 24 m 18 m 30 45o oa b c α β= = = = =
5. Área de um quadrilátero 
qualquer
72
6. Área de um círculo e de 
suas partes
A área de um círculo de raio r é dada pela
fórmula
2
CS rpi=
73
6. Área de um círculo e de 
suas partes
Pi (pi) é o número irracional que representa a 
razão entre o comprimento de uma circunferência
e seu diâmetro. Assim sendo, sendo C o 
comprimento de uma circunferência de diâmetro d, 
então: C
d
pi=
74
6. Área de um círculo e de 
suas partes
Ou, ainda,
C d pi= ⋅
E como d = 2r, temos:
2 2C r C rpi pi= ⋅ ⇒ =
75
6.1. Área da coroa circular
Considere dois círculos concêntricos, isto é, 
de mesmo centro, de raios R e r, R > r. Chama-se 
coroa circular o conjunto de todos os pontos que
pertencem ao círculo maior e que não estão no 
interior do círculo menor.
76
6.1. Área da coroa circular
A área da coroa circular é:
2 2
2 2( )
coroa
coroa
S R r
S R r
pi pi
pi
= −
= −
77
Exercício 25: Calcule a área do círculo inscrito
num triângulo de lados 5 cm, 6 cm e 7 cm.
6.1. Área da coroa circular
78
Exercício 26: Calcule a área da coroa circular 
limitada pelas circunferências inscrita e 
circunscrita num mesmo quadrado de lado l = 4 cm.
6.1. Área da coroa circular
79
Exercício 27: Qual é a razão entre as áreas dos 
círculos inscrito e circunscrito num mesmo
triângulo equilátero?
6.1. Área da coroa circular
Ver slides 66 e 67.
Aula: Geometria Plana I
80
6.2. Área do setor circular
Chama-se setor circular a intersecção de um 
círculo qualquer com um ângulo também qualquer
que tenha seu vértice no centro do círculo.
O setor circular é uma fração do círculo. 
Desse modo, para calcular a área de um setor
circular basta descobrir qual é a fração que ele
representa do círculo.
81
6.2. Área do setor circular
Suponha, então, que seja conhecida a medida
α, em graus, do ângulo que define o setor. Nesse
caso, perceba que a fração que ele representa do 
círculo é:
360o
α
82
6.2. Área do setor circular
isto é, estão sendo tomadas α partes de um total 
de 360. Assim, como a área do círculo é igual a pir2, 
a área desse setor será:
2
360setor o
S rα pi= ⋅
83
6.2. Área do setor circular
Se a medida α do ângulo do setor estiver
expressa em radianos, basta, na fórmula da área, 
substituir 360o por 2pi. Isto é, para α em radianos
2
2
2 2setor setor
rS r Sα αpi
pi
= ⋅ ⇒ =
84
6.3. Área do segmento cir-
cular
Chama-se segmento circular qualquer uma
das partes em que um círculo fica dividido por uma
corda qualquer.
A área de um segmento circular é calculada
a partir das áreas de um setor circular e de um 
triângulo, segundo dois casos possíveis.
85
6.3. Área do segmento cir-
cular
1o Caso: O segmento circular não contém o centro
do círculo.
seg setor AOBS S S∆= −
86
6.3. Área do segmento cir-
cular
2o Caso: O segmento circular contém o centro do 
círculo.
seg setor AOBS S S∆= +
87
Exercício 28: Na figura abaixo, ABC é um 
triângulo equilátero de lado l = 2. Os arcos de 
circunferência têm centros em A e B e ambos têm
raio r = 1. Calcular a área da região indicada.
6.3. Área do segmento cir-
cular
88
Resolução: Como o triângulo é equilátero, cada um 
de seus ângulos mede 60o. Assim, a área S
procurada é igual à área do triângulo subtraída das 
áreas de dois setores circulares de 60o.
6.3. Área do segmento cir-
cular
2
2
ABC SETORS S S
S
∆= − ⋅
=
2 sen 60
2
o
⋅ ⋅ 2602. . .1
360
2
o
o
S
pi−
=
3
2
⋅ 2− 1
6
⋅
3
3
S
pi
pi
⋅
= −
89
Exercício 29: ABCD é um quadrado de lado 2a. Os 
arcos de circunferência têm centros em A e C. 
Calcular a área da região indicada.
6.3. Área do segmento cir-
cular
90
Resolução: A área procurada é o dobro da área S
do segmento circular da figura abaixo. Por sua vez, 
a área desse segmento circular é igual à diferença
entre as áreas do setor circular de 90o e do 
triângulo BCD.
6.3. Área do segmento cir-
cular
2
2 2
2 2
2
2
90 2 2(2 )
2360
1 4 2
4
2
( 2)
2 2 ( 2)
SETOR BCD
o
o
S S S
a aS a
S a a
S a a
S a
S a
pi
pi
pi
pi
pi
∆= −
⋅
= ⋅ ⋅ −
= ⋅ ⋅ −
= −
= −
= −
91
Exercício 30: Na figura abaixo, ABC é um 
triângulo equilátero de lado l = 4. As semicir-
cunferências têm centros nos pontos médios dos 
lados, são tangentes duas a duas e têm raios iguais. 
Calcule a área da região indicada.
6.3. Área do segmento cir-
cular
92
Exercício 31: As três circunferências da figura
têm o mesmo raio r e são tangentes duas a duas. 
Calcule a área da região indicada.
6.3. Área do segmento cir-
cular
93
7. Áreas das figuras seme-
lhantes
Se dois triângulos são semelhantes e a razão
de semelhança entre eles é igual a k, então a razão
entre suas áreas é igual a k2.
94
7. Áreas das figuras seme-
lhantes
Se ' ' 'ABC ABC∆ ∆∼
' ' ' '
a b c h k
a b c h
= = = = =…com
então
' ' '
2ABC
ABC
S k
S
∆
∆
=
'
95
7. Áreas das figuras seme-
lhantes
Por hipótese, temos:
' '
a hk e k
a h
= =
Então,
' ' ' ' ' '
2
' ' ' ' ' '
2
2
ABC ABC
ABC ABC
ah
S Sah a h k k k
a hS a h a h S
∆ ∆
∆ ∆
= = = ⋅ = ⋅ ⇒ =
'
96
7. Áreas das figuras seme-
lhantes
Assim, se S e S’ são as áreas de dois
triângulos semelhantes, sendo k a razão de 
semelhança, temos:
2 2 '
'
S k S k S
S
= ⇒ = ⋅
'
97
7. Áreas das figuras seme-
lhantes
Considere, agora, dois polígonos semelhantes
P e P’ quaisquer, e seja k a razão de semelhança
entre eles. Vamos provar que a razão entre as 
áreas de P e P’ é igual a k2. Para tanto, observe que
os polígonos podem ser decompostos em pares de 
triângulos semelhantes.
98
7. Áreas das figuras seme-
lhantes
É de imediata verificação que a razão de 
semelhança entre cada um desses pares de 
triângulos semelhantes é igual a k. Representando
suas áreas por S1, S2, S3, … e S1’, S2’, S3’ …, 
teremos:
' ' ' '
1 1' 2 2 '( ) , ,ABCD ABCD ⇒ ∆ ∆ ∆ ∆…∼ … ∼ ∼ …
99
7. Áreas das figuras seme-
lhantes
Somando essas igualdades membro a 
membro, obtemos:
2
2
2
1 1'
2 2 '
3 3 '
S k S
S k S
S k S
= ⋅
= ⋅
= ⋅
⋮ ⋮
100
7. Áreas das figuras seme-
lhantes
Logo,
2
2 3 1' 2 ' 3 '1 ( )S S k S S SS + + + = + + +… …
22 31
1' 2 ' 3 '
S SS k
S S S
+ + +
=
+ + +
…
…
101
7. Áreas das figuras seme-
lhantes
A última igualdade mostra que a razão entre 
as áreas dos polígonos é igual a k2.
102
Exercício 32: Os quadriláteros da figura abaixo
são semelhantes. Calcular os lados do quadrilátero
maior, sabendo que sua área é o dobro da área do 
menor.
7. Áreas das figuras seme-
lhantes
103
Resolução: Seja S a área do quadrilátero menor. 
Então, a área do quadrilátero maior é igual a 2S e 
como a razão entre suas áreas é k2, temos:
7. Áreas das figuras seme-
lhantes
2 22 2 2
2 3 2
3
2 4 2
4
2 7 2
7
2 6 2
6
Sk k k
S
x
x
y y
u
u
v
v
= ⇒ = ⇒ =
= ⇒ =
= ⇒ =
= ⇒ =
= ⇒ =
104
Exercício 33: Na figura abaixo . Calcular x
em função de h, sabendo que a área do trapézio
BDEC é o dobro da área do triângulo ADE.
7. Áreas das figuras seme-
lhantes
DE // BC
105Exercício 33: Como , sabemos que os triân-
gulos ADE e ABC são semelhantes. Seja k a razão
de semelhança entre eles. Se a área do triângulo
ADE é S, a área do trapézio BDEC é igual a 2S e a 
área do triângulo ABC é 2S + S = 3S. Logo,
7. Áreas das figuras seme-
lhantes
DE // BC
2
2
3
1 3
3 3
Assim,
3 3
3 3
ADE
ABC
S Sk
S S
k k
x h
x
h
∆
∆
= =
= ⇒ =
= ⇒ =
106
Exercício 34: Os triângulos ABC e DEF da figura
são semelhantes. a) Calcule a razão de semelhança
e a razão entre as áreas desses dois triângulos. b) 
Se a área do triângulo ABC é igual a S, qual é a 
área do triângulo DEF?
7. Áreas das figuras seme-
lhantes
107
Exercício 35: Na figura . Calcule x em
função de h, sabendo que o triângulo ADE e o 
trapézio BDEC são equivalentes.
7. Áreas das figuras seme-
lhantes
DE // BC
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