Prática 09 - Pêndulo Simples 2018.1

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UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-ÁRIDO – UFERSA 
CENTRO MULTIDICIPLINAR DE ANGICOS 
CURSO: BACHARELADO EM CIÊNCIA E TECNOLOGIA 
DISCIPLINA: LABORATÓRIO DE ONDAS E TERMODINÂMICA 
 
 
COMPONENTES: 
ALEX MULLER ARAUJO DUMONT 
AMANDA KAROLINE VARELA DE MEDEIROS 
ANDRÉ LUCAS BARBALHO DE OLIVEIRA 
BRUNO DE LIMA MEDEIROS 
MARCOS VINICIUS AVELINO GOMES 
WILLIAM IRAI SOARES DA SILVA 
 
 
 
 
PRÁTICA 09 
MOVIMENTO PERIÓDICO – PÊNDULO SIMPLES 
 
 
 
 
 
 
PROFESSOR 
MARCELO NOBRE DOS SANTOS BESERRA 
 
30 DE AGOSTO DE 2018 
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1. INTRODUÇÃO 
 
 Nosso mundo está repleto de oscilações, nas quais os objetos se movem repetidamente 
de um lado para o outro. Muitos são simplesmente curiosos ou desagradáveis, mais outros 
podem ser perigosos ou economicamente importantes. Um Pêndulo Simples é formado 
por uma partícula que oscila suspensa por um fio de massa desprezível. Para pequenos 
ângulos, a oscilação do pêndulo pode ser modelada por um movimento harmônico 
simples. O pêndulo simples é uma classe de oscilador harmônico no qual a força de 
retorno está associada á gravitação e não às propriedades elásticas de um fio. [1] 
 
 O estudo e o controle das oscilações são dois objetivos importantes para o nosso 
experimento e são importantes no estudo da Física e da engenharia. Vamos discutir um 
tipo básico de oscilação conhecido como Movimento Harmônico Simples em um Pêndulo 
Simples. O experimento é de extrema importância para se observar na prática como 
funciona o movimento Periódico em um Pêndulo Simples além disso depois de ver esse 
assunto seremos capazes de conhecer, associar e descrever o movimento de um oscilador 
harmônico angular simples e conhecer a sua relação com o os dados analisados. [1] 
 
 Com o experimento realizado no laboratório espera-se obter o máximo de informações 
possíveis para que se possa comprovar a teoria através da prática e descrever o movimento 
de um pêndulo simples, usando os devidos equipamentos necessários para saber aplicar 
e explicar qual é a relação do movimento harmônico simples em um pêndulo simples de 
acordo com os conceitos de Física. Os objetivos principais é investigar o movimento 
harmônico simples em um pêndulo simples e saber determinar a aceleração da gravidade 
e verificar que o período é independente da massa. Os vários conceitos e as amplas 
relações entre esse tipo de movimento com a física nos levam a aprofundar cada vez mais 
o nosso conhecimento sobre o assunto e esperamos ter ao máximo passado nosso 
aprendizado. 
 
 
 
 
 
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2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 
 
 Um pêndulo simples é definido como uma massa m suspensa por um fio de 
comprimento L e massa desprezível em relação ao valor de m (veja na figura ao lado). Se 
afastarmos de um deslocamento d de sua posição de equilibrio e então abandonarmos este 
corpo, o pêndulo começa a oscilar em torno da posição de equilbrio, por uma componente 
da força peso na direção do movimento. A trajetória deste movimento é o comprimento 
de um arco de uma circunferência de raio L. O periódo T é o tempo necessário para a 
massa m percorrer uma volta completa. Na decomposição de forças, como mostrado ao 
lado, podemos mostrar que: 𝑷𝒚 = 𝒎𝒈 𝒄𝒐𝒔𝜽 e 𝑷𝒙 = 𝒎𝒈𝒔𝒆𝒏𝜽 , pela segunda lei de 
Newton: 
Movimento na direção 𝑦: 𝑚𝑎𝑦 = 𝑇 − 𝑚𝑔 𝑐𝑜𝑠𝜃 , como 𝑎𝑦 = 0 , então 𝑇 = 𝑚𝑔 𝑐𝑜𝑠𝜃;[2] 
Movimento na direção 𝑥: 𝑚𝑎𝑥 = 𝑚𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃 , como 𝑎𝑥 = 𝑑
2𝑥/𝑑𝑡2 e ainda 𝑥 = 𝜃𝐿 e para 
ângulos pequenos podemos aproximar 𝑠𝑒𝑛𝜃 ≈ 𝜃 . Assim, a equação para o movimento 
da massa 𝑚 para pequenos ângulos é dada por: 
𝒅𝟐𝜽/𝒅𝒕𝟐 + 𝒈𝒍𝜽 = 𝟎 
 A solução desta equação é 𝜃(𝑡) = 𝜃𝑚á𝑥 𝑐𝑜𝑠 (𝜔𝑡 + 𝜙), onde 𝜃𝑚á𝑥 é o valor da 
amplitude angular máxima, 𝜑 é uma fase, 𝜔 é a frequência angular dada por: 
 
 Ainda podendo ser relacionada com o período de oscilação, pois 𝑇. 𝜔 = 2𝜋 então: [2] 
 
 
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3. PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL 
 
 
 Primeiramente montamos um pêndulo simples com um dos pesos cilíndricos, com 
𝐿 ≈ 30 𝑐𝑚 (0,3 𝑚). Movemos a massa de sua posição de equilíbrio de uma distância 𝑑, 
ou simplesmente de um ângulo que não excedesse 15°. Soltamos a massa e ela oscilou 
em torno de sua posição de equilíbrio, medimos o tempo que esta levou para começar a 
repetir o movimento, ou seja, o período 𝑇 da oscilação. Um melhor resultado foi obtido 
medindo o tempo de 5 (cinco) períodos de oscilação, o período será este valor dividido 
por 5. Para a realização da prática com o valor de 𝑑, calculamos o ângulo através da 
relação 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑑 / 𝐿 (olhe a Figura 01). Anotamos estes valores na Tabela 01 e 
repetimos este procedimento 4 vezes, calculamos a média destes períodos, 𝑇𝑚é𝑑𝑖𝑜, e com 
a Equação 03, calculamos a aceleração gravitacional 𝑔. 
 Para um mesmo comprimento 𝐿 e uma mesma massa 𝑚, medimos os períodos para 
vários valores da distância 𝑑, o que foi o caso, mas podia também medir para vários 
ângulos 𝜃 (não excedendo 15°). Para uma mesma distância 𝑑, ou um mesmo ângulo 𝜃 
(não excedendo 15°) e uma mesma massa 𝑚, medimos os períodos 𝑇 para vários 
comprimentos 𝐿. Para um mesmo comprimento 𝐿 e um mesmo ângulo 𝜃, de nossa 
preferência (não excedendo 15°), variamos o valor da massa 𝑚 e medimos o período de 
oscilação 𝑇. Assim, respectivamente, preenchemos as Tabelas 2,3 e 4 que faltavam. 
 
 
 MODELO DO 
 EXPERIMENTO. 
 
 
 
 
 
MATERIAL 
UTILIZADO 
• Fio inextensível; • Pesos de massas diferentes; 
 
• Régua ou trena; • Cronômetro. 
 
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4. RESULTADOS E DISCUSSÕES 
Seguindo o procedimento experimental conseguimos preencher as Tabelas a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
L = 0,3 m m = 0,02435 kg 
# d(m) 𝜽 T(s) 
1 0,02 3,82° 1,02 
2 0,05 9,59° 1,07 
3 0,07 15,00° 0,88 
4 0,08 15,46° 1,20 
TABELA 02 
L = 0,3 m 𝜽 = 12,22° 
 # T(s) 
1 1,01 
2 0,99 
3 0,80 
4 0,93 
Tmédio = 0,932s 
g = 13,63 m/s² 
TABELA 01 
𝜽 = 12,22° m = 0,02435 kg 
# L(m) d(m) T(s) 
1 0,32 0,065 0,942 
2 0,35 0,075 1,034 
3 0,34 0,073 1,084 
4 0,37 0,079 1,126 
TABELA 03 
L = 0,3 m 𝜽 = 12,22° 
 # m(kg) T(s) 
1 0,024 1,01 
2 0,030 0,992 
TABELA 04 
CÁLCULOS AUXILIARES 
Para descobrir a gravidade da Tabela 01: Para descobrir o ângulo através da distância 
na Tabela 2: 
Utilizando 
T = 0,932s 
L = 0,3 m 
 
0,932 = 2𝝅 √
𝟎,𝟑
𝒈
 → (0,148) ² = 
𝟎,𝟑
𝒈
 
 
𝟎, 𝟎𝟐𝟐 . 𝒈 = 𝟎, 𝟑 𝒈 = 
𝟎,𝟑
𝟎,𝟎𝟐𝟐
=
𝟏𝟑, 𝟔𝟑 𝐦/𝐬² 
Utilizando 𝒅 = 𝑳 . 𝐬𝐢𝐧 𝜽 
L = 0,3 m 
𝑑1 = 0,02 𝑚 𝑑2 = 0,05 𝑚 
𝑑3 = 0,07 𝑚 𝑑4 = 0,08 𝑚 
Nós fizemos direto na calculadora usando o 
arco seno; 
 
0,02
0,3
= sin 𝜃 = 3,82° 
 
 
0,05
0,3
= sin 𝜃 = 9,59° 
 
0,07
0,3
= sin 𝜃 = 15° 
 
0,08
0,3
= sin 𝜃 = 15,46° 
 
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OBS: A equação 𝒅 = 𝑳 . 𝐬𝐢𝐧 𝜽 também foi usada na Tabela 3, tendo o ângulo e a 
distância(d) fixos, alterando só o L(m). Em vista, foi o mesmo procedimento. 
 QUESTIONÁRIO 
5.1 A partir dos valores obtidos na Tabela 02, comente sobre a dependência do 
período com o ângulo. 
 
5.2 Faca o gráfico de 𝑻 (ordenada) versus 𝑳𝟏/𝟐 (abscissa) com os dados da Tabela 
03. Através do método da regressão linear calcule os parâmetros 𝒂 e 𝒃 da reta 𝒚 =
𝒂𝒙 + 𝒃. Sabendo que 𝒈 = (
𝟐𝝅
𝒂
)
𝟐, calcule a aceleração da gravidade. 
Valores que foram usados para construção do GRÁFICO: 
𝑳𝟏/𝟐(m) 𝑻(𝒔) 
0,566 0,942 
 
0,591 1,034 
0,583 1,04 
0,608 1,126 
 
Gráfico do Período (T) versus o Comprimento modificado (L1/2) 
 
O período depende do comprimento do cordão e a aceleração devido a gravidade, então 
notou-se que quando o ângulo aumenta gradualmente o período também aumenta de 
forma proporcional, ou com valores aproximados. 
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REGRESSÃO LINEAR 
X Y X . Y X2 
0,566 0,942 0,533172 0,320356 
0,591 1,034 0,611094 0,349281 
0,583 1,04 0,60632 0,339889 
0,608 1,126 0,684608 0,369664 
𝛴x= 2,348 
𝛴y= 4,142 𝛴x.y= 2,435194 𝛴x2= 1,37919 
 
 
a = 2,435194 – 1/4 x 2,348 x 4,142 
 1,37919 – 1/4 x (2,348)2 
 
a= 2,435194 – 2,433154 
 0,000914 
 
a= 
0,00384
0,000914
 = 4,2 
 
b = 4,142 – 4,2 x 2,348 = -1,43 
 4 
y = 4,2x – 1,43 
a = 4,2 e b = - 1,43 
CÁLCULO PARA DESCOBRIR A GRAVIDADE: 
 
𝒈 = (
𝟐𝝅
𝒂
)
𝟐
→ 𝒈 = (
𝟐 . 𝟑, 𝟏𝟒
𝟒, 𝟐
)
𝟐
→ 𝒈 = 𝟗, 𝟒 𝒎/𝒔² 
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5.3 Uma massa de 𝟏𝟓𝟎 𝒈 é concentrada na ponta de um fio inextensível de 
comprimento 𝟏, 𝟓 𝒎, sabendo que 𝒈 = 𝟗, 𝟖 𝒎/𝒔𝟐 calcule o período de oscilação e a 
frequência angular deste pêndulo para pequenos ângulos. 
 
𝑇 = 2𝜋 . √
𝐿
𝑔
 → 𝑇 = 2𝜋 . √
1,5
9,8
 → 𝑇 = 2,46 𝑠 
 
𝜔 = 
2𝜋
𝑇
 → 𝜔 = 
2𝜋
2,46
 → 𝜔 = 2,55 𝑟𝑎𝑑/𝑠 
 
5.4 A partir dos valores obtidos na Tabela 04, comente sobre a dependência do 
período com a massa 𝒎. 
Notou-se que o período diminui com o aumento da massa, também de forma 
proporcional. 
 
5.5 Um pêndulo simples, de comprimento 𝑳 e massa 𝒎, oscila com amplitude 
angular 𝜽. Quais são os pontos onde as energias cinéticas e potenciais são mínimas 
e máximas? 
5.6 Dê um exemplo de pêndulo simples visto em nosso cotidiano. 
Os ponteiros de um relógio, um balanço de criança num parquinho, barcos oscilando 
no cais, os pneus de um veículo em movimento, a órbita da Terra em seu próprio eixo. 
 
 
 
A energia de um oscilador se alterna entre as formas cinética e potencial, onde sua 
soma é a energia mecânica. A energia cinética é máxima no ponto mais baixo e nula 
no ponto mais alto. Já a energia potencial é nula no ponto mais baixo e máxima no 
ponto mais alto. [3] 
 
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5. CONCLUSÕES 
 
 Analisando todos os resultados possíveis podemos concluir que o movimento 
periódico em um pêndulo simples pode ser calculado e demonstrado na prática junto com 
a teoria, observamos que a falta de precisão dos materiais utilizados mudou um pouco o 
resultado da gravidade, chegando a um valor muito aproximado. Em nossa análise 
tivemos intervenções no tempo visto que pode ter sido influenciado pelas oscilações 
devido ao cronômetro não ser tão preciso na hora de medir os tempos, por isso, esse valor 
desproporcional foi aceito de forma esperada pelo grupo de acordo com as interferências 
no decorrer das medições. Também concluímos que as forças que agem sobre o peso são 
a força gravitacional e a tenção do fio e a componente tangencial da força gravitacional é 
a força restauradora que tende a levar o pêndulo de volta para a posição central. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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6. REFÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
[1] Fundamentos de Física, volume 2: gravitação, ondas e termodinâmica / David 
Halliday, Robert Resnick, Jearl Wolker; tradução Ronaldo Sérgio de Biasi, - 10ª 
ed. – Rio de Janeiro: LTC; 2016. 
[2] Sears & Zemansky, Young & Freedman, Física ll, Ondas e Termodinâmica, 
12ª Edição, Person 2008. 
[3] CARDOSO TONIOL, Lucas. Movimento Harmônico Simples : Física 
Movimento Harmônico Simples. 2010. Disponível em: 
<https://www.portalsaofrancisco.com.br/fisica/movimento-harmonico-simples>. 
Acesso em: 27 ago. 2018.