Exercícios de Vetores e Produtos - Resolvidos

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1) Dados os vetores 
a
 =( 2,–1 ) e 
b
 =( 1,3) , determinar um vetor 
x
 , tal que: 
 a) 
 
2
xa
b)ax(2
2
1
x
3
2
 

 b) 
2
ax
b
3
1
x2a4
 

 
RESP: a) 
x
 =







7
12
,
7
3
 b)







9
33
,
9
52
x

 
 
2) Dados os vetores 
a
 =(–1,1,2) e 
b
 =( 2,0,4), determine o vetor 
v
 , tal que: 
 
  
2
va
bav2
3
v2
)a




 
  
2
av
4
b
bav2v
3
2
)b
 

 
RESP: 







5
6
,3,
5
27
v)a
 







5
12
,3,
5
24
v)b
 
3)Sendo A(1, –1,3) e B(3,1,5), até que ponto se deve prolongar o segmento AB, no sentido de A para B, 
para que seu comprimento quadruplique de valor? 
RESP: (9,7,11) 
4) Sendo A(–2,1,3) e B(6, –7,1) extremidades de um segmento, determinar: 
 a)os pontos C , D e E, nesta ordem, que dividem o segmento AB em quatro partes de mesmo 
comprimento; 
 b) os pontos F e G, nesta ordem que dividem o segmento AB em três partes de mesmo comprimento. 
RESP: 







2
5
,1,0C)a
, 
 2,3,2D 
 e 







2
3
,5,4E
 ; b) 







3
7
,
3
5
,
3
2
F
 e 







3
5
,
3
13
,
3
10
G
. 
5)Dadas as coordenadas, x=4, y=–12, de um vetor 
v
 do 3, calcular sua terceira coordenada z, de maneira 
que 
v
 = 13. RESP: z= 3 
6)Sejam os pontos M(1,2,2) e P(0,1,2), determine um vetor 
v
 colinear à 
PM
 e tal que 
.3v 
 
RESP: 







6
4
,
6
1
,
6
1
v 
 
7)Achar um vetor 
x
 de módulo igual a 4 e de mesmo sentido que o vetor 
v
 =6
i
 –2
j
 –3k . 
RESP: 







7
12
,
7
8
,
7
24
x

 
8) No triângulo ABC, os vértices A (1,2), B(–2,3) e C(0,5): 
 a) determinar a natureza do triângulo; 
 b) calcular o comprimento da mediana AM. Sendo M o ponto médio do lado BC. 
RESP: a) isósceles b) 
MA
 = 
22
 
9) Sejam 
k2-ji2b e k3j2ia


. Determine um versor dos vetores abaixo: 
 
 a)
a
 + 
b
 B) 2
a
 –3
b
 c) 5
a
 +4
b
 
 RESP: a) 
43
1
u 

(3,3,–5) b) 
)0,1,4(
17
1
u 

 c) 
894
1
u 

(13,14,–23) 
10) Determine um vetor da mesma direção de 
v
 =2
i
 –
j
 +2k e que: 
 a) tenha norma (módulo) igual a 9; 
 b) seja o versor de 
v
 ; 
 c) tenha módulo igual a metade de 
v
 . 
RESP: a)
w
 =(6,–3,6) b)
3
1
u 

(2,–1,2) c)
2
1
p 

(2,-1,2) 
11) Num paralelogramo ABCD sabe-se que A (1,3,–2) e que as diagonais são 
CA
 =(4,2,–3) e 
DB
 =(–
2,0,1).Calcule as coordenadas dos outros três vértices. 
RESP: C(5,5,–5) ,B( 4,4,–4) e D( 2,4,–3) 
12)Sabendo que A (1,1), B(5,1) e C(6,4) são vértices de um paralelogramo,determinar o quarto vértices de 
cada um dos três paralelogramos possíveis de serem formados. 
RESP: (2,2), (0,−4), e (10,6) 
13) Dados os vetores 
u
 =(3,2), 
v
 =(2,4) e 
w
 =(1,3), exprimir 
w
 como a combinação linear de 
u
 e v . 
RESP: 
v
8
7
u
4
1
w


 
14) Dados os vetores 
a
 =(3,–2,1),
b
 =(–1,1,–2) e 
c
 =(2,1,–3), determinar as coordenadas do vetor 
v
 =(11,–
6,5) na base 
 c,b,a 


. RESP: 
cb3a2v


 
15)Escreva o vetor 
v
 =(4,1,0) , na base 
 321 v,v,v


,sendo 
1v
 =(1,0,0) ,
2v

=(3,2,1) e 
3v
 =(1,1,1). 
RESP: 
321 v3
3
1
v
3
1
v
3
16
v


 
16)Dois vetores 
a
 =(2,–3,6) e 
b
 =(–1,2,–2), tem uma mesma origem. Calcular as coordenadas do vetor 
c
 
sobre a bissetriz do ângulo formado pelos vetores 
a
 e
b
 ,sabendo que 
c
 = 
423
. 
RESP: 
c
 =(  3, 15,  12) 
17) Dados os vetores 
a
 =(1,–1,0), 
b
 =(3,–1,1), 
c
 =(2,2,1) e 
d
 =(4,–3,1). Determinar o vetor 
v
 =(x,y,z), tal que 
: (
v
 +
a
 )  
b
 e (
v
 +
c
 ) 
d
 . RESP: 
v
 =( –10,4,–3) 
 
 
 
 
PRODUTO DE VETORES 
PRODUTO ESCALAR 
 
18) Sendo 
u
 = ( 2,3,1) e 
v
 = ( 1,4, 5) . Calcular: 
 a) 
u
 
v
 b) (
u
 –
v
 ) c)(
u
 + 
v
 )2 d) (3
u
 – 2
v
 )2 e) (2
u
 -3
v
 )(
u
 +2
v
 ) 
 RESP: a) 19 b)18 c)94 d)66 e) –205 f)–28 
19)Sendo 
a
 =(2,–1,1), 
b
 =(1,–2,–2) e 
c
 =(1,1,–1). Calcular um vetor 
v
 =(x,y,z), tal que 
v
  
a
 = 4, 
v
  
b
 = –9 
e 
v
  
c
 = 5. RESP: 
v
 =(3,4,2) 
20)Sejam os vetores 
a
 =(1,–m,–3),
b
 =(m+3,4–m,1)e 
c
 =(m,–2,7).Determinar m para que 
a
 
b
 =(
a
 +
b
 )
c
 . 
RESP: m=2 
21) Determinar a, de modo que o ângulo  do triângulo ABC, seja 600. Dados: A(1,0,2), B(3,1,3) e C(a+1,–
2,3). RESP: –1 ou 
5
13
 
22) Dados os pontos A (4,0,1), B(5,1,3) C(3,2,5) e D(2,1,3). Determine: 
a) se eles foram alguma figura. Em caso afirmativo, qual? 
b) O ângulo entre as retas paralelas aos vetores 
AC e BD
. 
 RESP: a) Paralelogramo b) 
22,4463102
21
21
arccos 0 
. 
23) Os vetores 
u
 e 
v
 formam um ângulo de 600. Sabe-se que 
u
 =8 e 
v
 =5, calcule: 
 a)
u
 +
v
  b) 
u
 –
v
  c)  2
u
 +3
v
  d) 4
u
 – 5
v
  
 RESP: a)
129
 b)7 c)
721
 d)
849
 
24) Os vetores 
a
 e 
b
 formam um ângulo de 1500, sabe-se que 
a
 =
3
 e que 
b
 =
2
, Calcule: 
 a) 
a
 +
b
  b) 
a
 –
b
  c) 3
a
 +2
b
  d) 5
a
 – 4
b
  
 RESP: a)
235 
 b)
235 
 c) 
21835 
 d)
260107
 
25)Determinar o valor de x para que os vetores 
1v
 = x i –2
j
 +3k e 
2v
 =2 i –
j
 +2k , sejam ortogonais. 
RESP: x=–4 
26)Determine um vetor unitário ortogonal aos vetores 
a
 =(2,6,–1) e 
b
 =(0,–2,1). 
 RESP: 







3
2
,
3
1
,
3
2
c 
 
27)Dadosa
 =(2,1,–3) e 
b
 =(1,–2,1), determinar o vetor 
v
 
a
 ,
v
 
b
 e 
v
 =5. 
 RESP: 
 1 ,1 ,1 
3
35
v 
 
 
28)Dados dois vetores 
a
 =(3,–1,5) e 
b
 =(1,2,–3), achar um vetor 
x
 , sabendo-se que ele é perpendicular ao 
eixo OZ , e que verifica as seguintes relações: 
x
 
a
 =9, e 
x
 
b
 =–4. 
 RESP: 
x
 =(2,–3,0) 
41)Calcule o ângulo formado pelas medianas traçadas pelos vértices dos ângulos agudos de um triângulo 
retângulo isósceles. RESP: =arc cos
5
4
 , 360 52'11,6'' 
42)Um vetor 
v
 forma ângulos agudos congruentes com os semi-eixos coordenados positivos. Calcule suas 
coordenadas sabendo que 
v
 = 3. RESP: 
 1,1,13v 
 . 
43)Um vetor unitário 
v
 forma com o eixo coordenado OX um ângulo de 600 e com os outros dois eixos OY 
e OZ ângulos congruentes. Calcule as coordenadas de 
v
 . 
 RESP: 









4
6
,
4
6
,
2
1
v
 ou 









4
6
,
4
6
,
2
1 
44) O vetor 
 2,1,1v 
 forma um ângulo de 600 com o vetor 
BA
 , onde A (0,3,4) e B(m, 1,2). 
Calcular o valor de m. RESP: m=–34 ou m=2 
45)Os vetores 
a
 e 
b
 formam um ângulo = 
6

, calcular o ângulo entre os vetores 
p
 =a +b e q = a – b , 
sabendo que 
a
 = 
3
 e 
b
 = 1. RESP: cos=
7
72 ,40
053'36,2'' 
46) Dados 
u
 =(2,–3,–6) e 
v
 =3
i
 –4
j
 –4k , determine: 
 a) a projeção algébrica de 
v
 sobre 
u
 ( norma do vetor projeção de 
v
 sobre 
u
 ); 
 b) 0 vetor projeção de 
v
 sobre 
u
 . RESP: a)6 b)
 6,3,2
7
6

 
47)Decomponha o vetor 
v
 =(–1,2,–3) em dois vetores 
a
 e 
b
 , tais que 
a
 
w
 e 
b
 
w
 , com 
w
 =(2,1,–1). 
RESP: 







2
1
,
2
1
,1a
 e 







2
5
,
2
3
, 2b
 
48)São dados os vetores 
1v
 = (1,1,1), 
2v
 =(–1,2,3) e 
3v
 =(26,6,8). Decompor o vetor 
3v
 em dois vetores x 
e 
y

 ortogonais entre si, sendo 
x
 simultaneamente ortogonal a 
1v
 e a 
2v
 . 
RESP: 
x
 =(1,–4,3) e 
y
 =(25,10,5) 
49)São dados 
1v
 =(3,2,2) e 
2v
 =(18,–22,–5), determine um vetor v , que seja ortogonal à 
1v
 e a 
2v
 , tal 
que forme com o eixo OY um ângulo obtuso e que 
v
 =28. 
 RESP: 
v
 =(–8,–12,24) 
 
50)Os vértices de um triângulo são M(1,1,2) ,N(5,1,3) e Q(–3,9,3). Calcule as coordenadas do vetor 
HM
 , 
onde H é o pé da altura relativa ao lado NQ. 
 RESP: 
HM
 =(2,2,1) 
 
 
PRODUTO VETORIAL 
 
51) Dados os vetores 
u
 =( –1,3,2),
v
 =(1,5,–2) e 
w
 =(-7,3,1). Calcule as coordenadas dos vetores: 
 a) 
u
 
v
 b) 
v
 
w
 c) 
v
 (
u
 
w
 ) 
 d) (
v
 
u
 )
w
 e)(
u
 +
v
 )(
u
 +
w
 ) f) (
u
 –
w
 )
w
 
 RESP: a)(–16,0,8) b)(11,13,38) c)(64,–12,2) d)(24,72,48) e)(24,0,64) 
 f)(–3,–13,18) 
52)Determinar o vetor 
x
 , paralelo ao vetor ao vetor 
w
 =(2,–3,0) e tal que 
x
  
u
 = v , onde u =(1,–1,0) e v
=(0,0,2). RESP: 
x
 =(4.–6,0) 
53) Determinar o vetor 
v
 , sabendo que ele é ortogonal ao vetor a =(2,3,1) e ao vetor b =(1,2,3) e que 
satisfaz a seguinte condição; 
10)k7j2i(v 
. RESP: 
 1,5,7v 
 
54)Determinar v , tal que v seja ortogonal ao eixo dos y e que wvu  ,sendo )1,1,1(u  e )1,1,2(w  . 
RESP: v =(1,0,1) 
55) Dados os vetores 
1v
 =(0,1,1), 
2v
 =(2,0,0) e 
3v

=(0,2,3).Determine um vetor 
v
 , tal que 
v
 // 
3v

 e 
v
 

1v
 =
2v
 . RESP: v =(0,4,6) 
56)Determine um vetor unitário ortogonal aos vetores 
1v
 =(–1,–1,0) e
2v
 =(0,–1–1). 
 RESP: 
 1,1,1
3
1

 
57) Ache 
u
 tal que 
u
 =
33
e 
u
 é ortogonal a 
v
 =(2,3,1) e a 
w
 =(2,4,6). Dos 
u
 encontrados, qual 
forma ângulo agudo com o vetor (1,0,0). RESP:  3,3,3u  
58)São dados os vetores 
1v
 = (1,1,1), 
2v
 =(–1,2,3) e 
3v
 =(26,6,8). Decompor o vetor 
3v
 em dois vetores x 
e 
y

 ortogonais entre si, sendo 
x
 simultaneamente ortogonal a 
1v
 e a 
2v
 . 
RESP: 
x
 =(1,–4,3) e 
y
 =(25,10,5) 
59) Dado o vetor 
1v
 =(3,0,1).Determine o vetor v =(x,y,z), sabendo-se que v é ortogonal ao eixo OX, que 

v
  
1v
 = 146 , e que v 
1v
 =4. RESP: 
)4 6, ,0(v 
 
60) São dados 
1v
 =(3,2,2) e 
2v
 =(18,–22,–5), determine um vetor v , que seja ortogonal à 
1v
 e a 
2v
 , tal 
que forme com o eixo OY um ângulo obtuso e que 
v
 =28. 
 
 RESP: 
v
 =(–8,–12,24) 
61)Sendo 
1v
 =(–2,1,–1) e 
2v
 =(0,y,z), calcule y e z de modo que 
1v
 
2v
 = 4 3 e que o vetor v =
1v
 
2v
 faça ângulos congruentes com os eixos OX e OY. RESP: (0,2,2) 
62) Resolva os sistemas abaixo: 
 a)






2)kj2i4(x
0)kj3i2(x

 






2)ki2(v
k8i8)kj2i(v
)b 
 





k3j2i3)0,3,2(v
2)2,1,3(v
)c 
 
 RESP: a)(4,6,-2) b)(2,4,–2) c)(1,3,–1) 
63) Dados os vetores 
u
 =(1,1,1) e 
v
 =(2,3,4), calcular: 
 a) A área do paralelogramo de determinado por 
u
 e 
v
 ; 
 b)a altura do paralelogramo relativa à base definida pelo vetor 
u
 . 
RESP: a)A=
.a.u6
 b)
.c.u2h 
 
64)Dados os vetores 
u
 =(2,1,1) e 
v
 =(1,1,), calcular o valor de  para que a área do paralelogramo 
determinado por 
u
 e 
v
 seja igual a 
62
 u.a.(unidades de área). 
RESP: =3 
65) A área de um triângulo ABC é igual a 
6
 . Sabe-se que A(2,1,0), B(–1,2,1) e que o vértice C pertence ao 
eixo OY. Calcule as coordenadas de C. 
 RESP: (0,3,0) ou 






0,
5
1
,0
 
66)Os vértices de um triângulo ABC são os pontos A (0,1,1), B(2,0,1) e C(1,2,0). Determine a altura 
relativa ao lado BC.RESP: 
.c.u
7
353
h 
 
67) Determine a área do triângulo ABD, obtido pela projeção do vetor BA sobre o vetor BC , onde A 
(5,1,3), B(3,9,3) e C(1,1,2). RESP: 
ua
9
2128
A 
 
68) Calcule a distância do ponto P(–2,1,2) à reta determinada pelos pontos M(1,2,1) e N(0,–1,3). 
RESP: d=
7
353 u.c. 
 
 
PRODUTO MISTO 
 
69)Qual é o valor de x para que os vetores 
a
 =(3,–x,–2), 
b
 =(3,2,x) e 
c
 =(1,–3,1) sejam coplanares. 
RESP: x=14 ou x=–2 
 
70)Determinar o valor de k para que os pontos A(0,0,3),B(1,2,0), C(5,–1,–1) e D(2,2,k) sejam vértices de 
uma mesma face de um poliedro. RESP: k=– 1 
71)Determinar o valor de x de modo que o volume do paralelepípedo gerado pelos vetores 
u
 = 2 i –
j
 +k e 
v
 =
i
 –
j
 e w =x i +
j
 –3k , seja unitário. RESP: x=–5 ou x= –3 
72)Sejam os vetores 
u
 =(1,1,0), 
v
 =(2,0,1) e 
v2u3w1 
, 
v3uw2 
 e 
k2jiw3


. Determinar o 
volume do paralelepípedo definido por 
1w
, 
2w
 e 
3w
. RESP: V=44 u.v. 
73)Dado um tetraedro de volume 5 e de vértices A (2,1,–1), B(3,0,1) e C(2,–1,3). Calcular as coordenadas 
do quarto vértice D, sabendo-se que se acha sobre o eixo OY. 
 RESP: D (0,–7,0) ou D(0,8,0) 
74)São dados os pontos A(1, –2,3), B(2, –1, –4), C(0,2,0) e D(–1,m,1), calcular o valor de m para que seja de 
20 unidades o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores 
AC,AB
 e 
AD
. 
RESP: m=6 ou m=2 
75)Determine sobre o eixo OX um ponto P, tal que, o volume do tetraedro PABC seja o dobro do volume 
do tetraedro POBC. Dados: O (0,0,0) ,A(1,0,0) , B(0,1,0) e C(0,0,1). 
 RESP: (–1,0,0) ou 






0,0,
3
1
 
76)Sendo 
u
 =(1,1,0), 
v
 =(2,1,3) e 
w
 =(0,2,–1). Calcular a área do triângulo ABC e o volume do tetraedro 
ABCD, onde B=A+
u
 . C=A+
v
 e D=A+ 
w
 . 
 RESP: S=
ua
2
19 ,V=
uv
6
5
 
77)Determine a altura do tetraedro ABCD, onde A(1,3,1), B(0,2,4) ,C(2,1,3) e D(0,6,0). 
 RESP: 
.c.u
11
64
h 
 
78)Determine a distância do ponto D(2,3,3) ao plano determinado pelos pontos A(3,3,1) , B(1,1,–3) e C(–
1,–3,0). RESP: 
58
1745 u.c. 
79)Os vértices de um tetraedro são M (0,3,4), N(1,2,2) e Q(2,–1,2) e P é um ponto pertencente ao eixo 
coordenado OZ. Calcule: 
 a)as coordenadas do ponto P de modo que o tetraedro MNPQ tenha volume igual a 1 uv; 
 b)a área e o perímetro da face NMQ; 
 c)os ângulos internos da face MNQ; 
 d)calcule a altura do tetraedro MNPQ, relativa à face MNQ. 
RESP: a)P(0,0,0) ou P(0,0,2) b)S=
33
u.a., 2p=
12363 
u.c. 
 
 c)=300, =900, =600 d)
33
1
u.c. 
80)A figura abaixo representa uma pirâmide de base quadrada OABC em que as coordenadas são O(0,0,0), 
B(4,2,4) e C(0,6,6), e o vértice V é eqüidistante dos demais, determine: 
a) as coordenadas do vértice D; 
b) as coordenadas cartesianas do ponto V, considerando que o volume da pirâmide é igual a 72 u.v. 
RESP: a)D(–4,4,2) b) V(–2, –1,7) 
 
81)São dados no espaço os pontos A(2,–1,0), B(1,–2,1) e C(1,0,2), determine o ponto D, tal que 
DO
 ,
AO
 
BO
 e 
AO
 
CO
 sejam coplanares, 
DO
 
BO
 = –28 e que o volume do tetraedro OABD seja igual a 14. 
RESP: D(0,0,–28) ou D(12,24,8)