aula 08- equivalencia de capital

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8ºAula
Equivalência
de capitais
Dois ou mais capitais, com valores em datas 
diferentes, são chamados de EQUIVALENTES 
quando, levados para uma mesma data focal, nas 
mesmas condições, apresentam o mesmo VALOR 
naquela data.
Boa aula!
Matemática Financeira I
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Objetivos de aprendizagem
Ao término desta aula, vocês serão capazes de:
• calcular o valor de um capital na data zero;
• comparar dois valores em diferentes datas; 
• entender alguns conceitos e aplicação do 
regime equivalência.
1 - Equivalência de capitais 
2 - Exercícios de aplicação 
Seções de estudo
Conceito
Numa operação fi nanceira é frequente a necessidade de se 
antecipar ou prorrogar um título. Muitas vezes, precisamos 
efetuar a troca de um título por outro ou por vários. 
Assim, para que possamos fazer essa troca, 
é necessária uma comparação dos valores desses 
títulos a datas diferentes, considerando-se uma dada 
taxa de juros. Vejamos:
• Data Focal: é a data que se considera como 
base de comparação dos valores referidos a 
datas diferentes.
• Equação de Valor: é a equação que torna 
possível igualar capitais diferentes, referidos a datas 
diferentes, para uma mesma data focal, fixada uma 
certa taxa de juros.
• Capitais equivalentes: dois ou mais capitais, 
com datas de vencimento determinadas, são 
equivalentes quando, levados para uma mesma data 
focal à mesma taxa de juros, tiverem valores iguais 
nesta data.
Para um melhor entendimento vamos supor 
o seguinte:
Você foi sorteado com um prêmio em dinheiro 
no valor de R$ 1000,00, e este se encontra aplicado em 
uma financeira, cuja taxa de juros simples é de 5% a.m. 
A financeira lhe oferece três opções para 
resgate do dinheiro:
1ª) vocês retiram R$ 1000,00 hoje;
2ª) vocês deixam o dinheiro aplicado e retira R$ 
1.176.47 dentro de 3 meses;
3ª) você deixa o dinheiro aplicado e retira R$ 
1.333,33 em 5 meses.
Dentre as opções qual é a mais vantajosa para vocês?
Veja que os valores são diferentes estão em 
datas diferentes: 
Para a resposta correta, basta encontrar uma 
maneira ou uma data para comparar os capitais 
R$ 1000,00, R$ 1.176.47, e R$ 1.333,33, que se 
encontram em datas diferentes. Para isso, vamos 
determinar o valor dos três capitais numa mesma 
data, ou seja, vamos atualizar os seus valores. 
Escolheremos a data de hoje. O que chamamos 
de data zero, conhecida como DATA FOCAL.
O capital da primeira opção (R$ 1.000,00) 
já se encontra na data de hoje; portanto, já se 
encontra atualizado.
Calculemos, pois, os valores atuais A1 e A2 dos 
capitais futuros R$ 1.176,47 e R$ 1.333,33 na data 
de hoje (data zero). Teremos então:
Este cálculo pode ser feito usando desconto 
comercial simples ou desconto racional simples. 
Vamos, escolher a fórmula do valor atual 
comercial simples:
A = N(1 – in) 
A = 1.176,47 . (1 − 0,05 . 3) = 1.000,00
A = 1.333,33 . (1 − 0,05 . 5) = 1.000,00
Vejam que os três capitais têm valores 
atuais idênticos na data focal considerada (data 
zero). Podemos, portanto, dizer que eles são 
EQUIVALENTES: tanto faz receber R$ 1000,00 
hoje, ou R$ 1.176,47 daqui a 3 meses ou R$ 1.333,33 
daqui a 5 meses, se a taxa de juros for de 5% ao mês 
e o desconto comercial simples.
Vejamos o que acontece se utilizarmos o 
critério do desconto racional, em vez do desconto 
racional, para calcular os valores atuais dos capitais 
R$ 140,00 e R$ 190,00:
A = N /(1 + in)
A= 1.176,47 /( 1 + 0.05.3) = 1.022,60
A = 1.333,33/ (1 + 0,05 . 5) = 1.066,70
Mudando-se a modalidade de desconto, 
portanto, os três capitais deixam de ser equivalentes.
E se mudarmos a data de comparação, ou data 
focal, para o mês 3, por exemplo, continuando a 
utilizar o desconto comercial simples?
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Teremos o seguinte:
O capital R$ 1.176.47, resgatável na data 3, não 
será alterado.
O capital R$ 1.333.33, resgatável na data 5, 
será antecipado de 2 meses, ficando com o seguinte 
valor atual comercial simples:
A = 1.333,33.(1 – 0.05 . 2) = 1.200.00
Ao capital R$ 1000,00 (resgatável na data zero), 
serão acumulados três meses de juros, conforme segue:
N = C (1 + in) = 1000 (1 + 0,05 . 3) = 1.150,00 
Portanto, no mês três, temos que os capitais 
nominais R$ 1.176.47; R$ 1.333,33 e R$ 1000,00 
estarão valendo, respectivamente, R$ 1.176,47; R$ 
1.200 e R$ 1.150. Na data focal 3, portanto, eles não 
serão mais equivalentes.
Percebam que no regime de capitalização 
simples, a equivalência ocorre em apenas uma única 
data, para uma determinada taxa e modalidade de 
desconto. Mudando a DATA FOCAL, capitais 
que antes eram equivalentes podem deixar sê-lo. 
No regime de capitalização COMPOSTA, isto não 
acontece: na capitalização composta, para a mesma 
taxa, capitais equivalentes para uma determinada 
data o são para qualquer outra data.
Conclui-se que:
No regime de juros simples, a equivalência entre 
dois ou mais capitais somente se verifica para uma 
determinada taxa, para uma determinada data focal 
e para uma determinada modalidade de desconto.
Vamos, então, definir equivalência de dois 
capitais da seguinte forma:
Dois capitais C1 e C2, localizados nas datas n1 
e n2,(distintas) medidas a partir da mesma origem, 
são ditos equivalentes com relação à uma data 
focal F, quando os seus respectivos valores atuais, 
A1 e A2, calculados para uma determinada taxa de 
juros e modalidade de desconto nessa data focal 
F, forem iguais.
As equivalências de capitais são bastante utilizadas 
na renegociação de dívidas, quando há necessidade 
de substituir um conjunto de títulos por um outro 
conjunto, equivalente ao original (isto porque o 
conceito de equivalência é aplicado não só para dois 
capitais, mas também para grupos de capitais).
Quando um cliente faz um empréstimo em 
um banco e se compromete e quitá-lo segundo um 
determinado plano de pagamento. Porém, devido a 
erros em suas reservas, percebe que não terá dinheiro 
suficiente para pagar as parcelas do financiamento 
nas datas pré-determinadas. Então, propõe ao banco 
outro esquema de pagamento, alterando as datas de 
pagamento e os respectivos valores nominais de 
forma dentro de um novo plano, de tal forma que 
o novo esquema seja EQUIVALENTE ao plano 
original. Ou seja, haja alteração nos planos e datas 
porem não nos valores. 
Vejam alguns exemplos de exercícios resolvidos 
na seção seguinte: 
2 - Exercícios resolvidos 
1) Quero substituir um titulo de $ 5.000,00, 
vencível em 3 meses, por outro com vencimento 
para 5 meses. Sabendo que esses títulos podem ser 
descontados à taxa de 3,5% ao mês. Qual o valor 
nominal comercial do novo titula?
• Resolução:
Bom, queremos trocar o nosso titulo com 
vencimento para 3 meses por outro com vencimento 
para 5 meses. Teremos que fazer dois cálculos. 1- 
calcular o valor atual do titulo 2- calcular o valor 
nominal em cima desse novo valor atual 
N = 5.000,00
n = 3 meses 
i = 3,5% (0,035 taxa unitária )
A= ?
Pela fórmula de valor atual comercial temos 
A= 5000( 1− 0,035 . 3), então: 
A = 5000.0,895
A= 4.475,00
Agora, calculamos o valor nominal do título a 
ser trocado:
A = N(1 − in) segue que 4.475,00 = N(1 − 
0,035 . 5) temos 4.475,00 = N (0,825) 
N = 5.424,24
N = 4.475
 0,825
Matemática Financeira I
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Observem que nos dois cálculos usamos os 
mesmos valores atuais, isto se deve ao fato de que para 
dois capitais sejam equivalentes eles devem ter o mesmo 
valor atual. No caso de descontos simples, utilizaremos 
a data focal zero para comparação dos títulos.
2) Uma pessoa deseja trocar dois títulos, um de 
valor nominal de $ 3.000,00 e o outro de $ 3.600,00, 
vencíveis respectivamente, dentro de 2 e 6 meses, 
por um único titulo vencível em 4 meses. Sabendo-
se que a taxa de juros é de 3% ao mês, determinar o 
valor do novo título.• Resolução: 
A ideia é basicamente a mesma do exercício 
anterior
→ Titulo 1 
N = 3.000,00
n = 2 meses 
i = 3% (0,03 taxa unitária ) 
A= ?
A = 3.000,00( 1− 0,03 . 2) assim A = 3.000,00( 
0,94) então A = 2.820,00
→ Titulo 2
N = 3.600,00
n = 6 meses
i = 3% (0,03 taxa unitária ) 
A= ?
A = 3.600,00(1 – 0,03.6) → A = 3.600,00( 0,82) 
→ A = 2.952,00
Agora, como queremos trocar dois títulos por 
um, juntamos os valores atuais e então calculamos 
o valor nominal do novo título. 
N =?
A = 2.820 + 2.952 → A = 5.772,00
n = 4 meses 
i = 3% (0,03 taxa unitária) 
Aplicando a fórmula e teremos: 
5.772,00 = N(1 – 0,03 . 4) 
5.772,00 = N (0,88)
N = 6.599,09
N = 5.772
 0,88
3) No refinamento de uma dívida, dois títulos, 
um para 6 meses e outro 12 meses, de R$ 2.000,00 e 
de R$ 3.000,00, respectivamente, foram substituídos 
por dois outros, sendo o primeiro de R$ 1.000,00, 
para 9 meses, e o segundo para 18 meses. A taxa de 
desconto comercial simples é de 18% a.a. O valor 
do título de 18 meses, em R$, é igual a:
• Resolução:
Inicialmente, vamos construir um diagrama de 
fluxo de caixa utilizando os dados do problema:
A taxa de juros é anual. Entretanto, como os 
prazos de pagamento estão expressos em meses, 
vamos transformá-la em mensal:
i = 18% a.a. = 1,5% a.m. = 0,015 a.m.
A modalidade de desconto é o comercial 
simples, mas, o problema não mencionou qual a 
data focal a ser considerada. Em casos como este, 
presumimos que a data focal seja a data zero.
Vamos, então, calcular o total da dívida na data 
zero para cada um dos planos de pagamento, e 
igualar os resultados, pois os dois esquemas devem 
ser equivalentes para que se possa substituir um pelo 
outro. Além disso, para transportarmos os capitais 
para a data zero, utilizaremos a fórmula do valor 
atual do desconto comercial simples: 
A = N (1 – in). Obteremos a seguinte equação:
 
2000.(1 – 0,015 . 6) + 3.000 (1 – 0,015 . 12) = 
1.000 (1 – 0,015 . 9) + x (1 – 0,015 . 18)
Note que:
• no primeiro membro da igualdade temos o 
total da dívida conforme o plano ORIGINAL de 
pagamento proposto, atualizado para a data zero. 
• no segundo membro da igualdade temos 
total da dívida conforme o plano ALTERNATIVO 
atualizado para a data zero.
Calculando o conteúdo dos parênteses, temos:
2.000 (0,91) + 3.000 (0,82) = 1.000 (0,865) + x(0,73)
1.820 + 2.460 = 865 + 0,73x
0,73x = 1.820 + 2.460 – 865
x = 3.415/0,73 = 4.678,08
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Observem que a data focal era anterior à data de 
vencimento de todos os capitais. Assim, calculamos o 
valor descontado (valor atual) de cada um deles, para 
trazê-los à data focal. Efetuamos um desconto (comercial, 
no caso) ou uma descapitalização (desincorporação 
dos juros), porque estávamos transportando os valores 
para uma data passada. Mas, se a data focal tivesse sido 
outra, por exemplo, a data 9 (vide esquema), e não a 
data zero, o capital de R$ 2.000,00, que vencia na data 
6, teria que sofrer uma capitalização (incorporação de 
juros) para ser transportado para a data 9 (data futura 
em relação à data 6). 
A atualização do valor desse capital para a data 
9, então, far-se-ia com a utilização da fórmula do 
montante M = C (1 + in), e não com a fórmula do 
valor descontado (valor atual).
Conclusão:
• para transportarmos um capital para uma data 
posterior à original, devemos CAPITLIZÁ-LO;
• para transportarmos um capital para uma data 
anterior à original, devemos DESCAPITALIZÁ-
LO. (<http//matematicafinanceira.net>)
Retomando a aula
Chegamos, assim, ao fi nal da oitava aula. 
Espera-se que agora tenha fi cado mais claro 
o entendimento de vocês sobre o conceito de 
equivalência de capitais. Vamos, então, recordar: 
1 - Equivalência de capitais 
O dinheiro tem valor diferente no tempo. 
Numa operação financeira é frequente a necessidade 
de se antecipar ou prorrogar um título. Muitas vezes, 
precisamos efetuar a troca de um título por outro 
ou por vários. Para que possamos fazer essa troca, 
é necessária uma comparação dos valores desses 
títulos a datas diferentes, considerando-se uma dada 
taxa de juros. Quando transferimos valores diferentes 
com datas diferentes para uma mesma data, estamos 
determinando a equivalência entre os valores. 
2 - Exercícios de aplicação 
Resoluções de alguns exercícios importantes 
relacionados com a prática do dia a dia. 
OBS: Não esqueçam! Em caso de 
dúvidas, acessem as ferramentas 
“Fórum” ou “Quadro de Avisos”.
Matemática Financeira com HP 12C e Excel. Uma 
Abordagem descomplicada. Cristiano Marchi 
Gimenes . PERSON- prentice hall. 
ASSAF NETO, A. Matemática financeira e suas 
aplicações. 4. ed. São Paulo: Atlas, 1998.
<www.matematicadidatica.com.br>
<www.matematicapratica.com.br>
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