1 VETORES BASICA GEO ANAL VET PUBLIC P1

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Faculdade Católica Paulista
Engenharia Civil
Geometria Analítica e Cálculo Vetorial
Prof. Esdras Coutinho
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Noções sobre Vetores
Prof. Esdras Coutinho
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GRANDEZA FÍSICA
TUDO QUE PODE SER MEDIDO.
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GRANDEZAS ESCALARES X GRANDEZAS VETORIAIS
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GRANDEZA ESCALAR
GRANDEZA DEFINIDA POR UM VALOR NUMÉRICO E UNIDADE DE MEDIDA.
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GRANDEZA VETORIAL
GRANDEZA DEFINIDA POR MÓDULO, DIREÇÃO E SENTIDO
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Espaço Vetorial
Qualquer elemento de um espaço vetorial chama-se VETOR.
Exemplos de espaços vetoriais: 
o conjunto os números reais;
o conjunto dos números complexos;
o conjunto dos vetores da geometria definidos por meio de segmentos orientados;
o conjunto das matrizes Mmxn (), o espaço n;
o espaço Cn, o conjunto dos polinômios reais de grau  n Pn();
o conjunto dos polinômios complexos Pn(C), etc. 
Noções sobre Vetores
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Espaço Vetorial
Para verificar que um determinado conjunto constitui um espaço vetorial devemos verificar se ele satisfaz cada uma das oito propriedades apresentadas.
Noções sobre Vetores
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Vetores
Um vetor é uma ficção, uma entidade criada para descrever “coisas” no mundo que têm direção e sentido.
Que coisas são essas? 
o vento;
o fluxo de H2O de um rio;
a emissão puntiforme de luz;
um campo elétrico;
a velocidade de um trem bala;
o movimento dos planetas (aliás, a teoria de Newton não explica por que os planetas se movem todos num mesmo sentido), etc.
Noções sobre Vetores
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VETORES
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REPRESENTAÇÃO DO MÓDULO DE UM VETOR
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PROPRIEDADES
VETORES POSSUEM A MESMA DIREÇÃO, SE FOREM PARALELOS OU PERTENCEREM A MESMA LINHA.
VETORES POSSUEM O MESMO SENTIDO SE TIVEREM A MESMA DIREÇÃO E A MESMA ORIENTAÇÃO.
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VETORES IGUAIS: MESMO MÓDULO, MESMA DIREÇÃO E SENTIDO.
CUIDADO!!!!!!!!
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VETOR OPOSTO
Um Vetor é o oposto de outro, quando tiver o mesmo módulo, mesma direção e sentido contrário.
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PRODUTO DE UM NÚMERO POR UM VETOR
é um vetor que possui módulo a vezes o módulo de V e seu sentido será:
mesmo de V se a > 0
Contrário ao de V se a < 0
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QUAL É O VETOR RESULTANTE DO SISTEMA DE VETORES ABAIXO?
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MÉTODO DO POLÍGONO
Colocam-se todos os vetores em sequência, ou seja, a origem do segundo na extremidade do primeiro e assim sucessivamente.
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MÉTODO DO POLÍGONO
Colocam-se todos os vetores em sequência, ou seja, a origem do segundo na extremidade do primeiro e assim sucessivamente.
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O que ocorre se trocarmos a ordem dos vetores?
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VETOR RESULTANTE É?
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VETOR RESULTANTE NULO
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REGRA DO PARALELOGRAMO
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LEI DOS COSSENOS
R2 = V12 + V22 + 2.V1.V2.COS(
(
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CASOS PARTICULARES
VETORES DE MESMA DIREÇÃO E SENTIDO (α = 0º )
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Vetores de mesma direção e sentidos contrários (180º)
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VETORES PERPENDICULARES (90º)
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RESULTANTE MÁXIMA E MÍNIMA ENTRE DOIS VETORES.
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DECOMPOSIÇÃO VETORIAL
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Arranca o prego
Entorta o prego
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Fx
Fy
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RELAÇÃO ENTRE GRANDEZAS
GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS
Onde k é uma constante.
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O gráfico de uma relação diretamente proporcional, é representado por uma reta.
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GRANDEZAS INVERSAMENTES PROPORCIONAIS
Onde k é uma constante.
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O gráfico de uma relação inversamente proporcional, é representado por uma hipérbole.
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Sistema de Coordenadas
 Para bem determinar a posição de um vetor é necessário a escolha de um sistema de coordenadas.
Sistema de coordenadas retangulares ou cartesianas
	Define-se um sistema de coordenadas cartesianas quando é dada uma unidade linear para medir os comprimentos e dois eixos perpendiculares ordenados numa ordem qualquer.
		
.
P(x,y)
 O ponto P(x,y) significa que o ponto P tem por abscissa o nº x e por ordenada o n.º y.
Noções sobre Vetores
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Sistema de coordenadas polares
	Um sistema de coordenadas polares é definido quando se dá um ponto O, chamado pólo, uma semi-reta OA que parte desse ponto O, chamado eixo polar, e um segmento arbitrário com unidade de comprimento. 
	Convém, nesse sistema, definir o sentido positivo de rotação em redor do ponto O. (Geralmente, é o sentido anti-horário).
		
P
Chama-se coordenadas polares de um ponto P qualquer aos números =OP e =ang AOP.
O símbolo P(, ) significa que o ponto P tem coordenadas polares  e .
Noções sobre Vetores
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Passagem das coordenas polares para as coordenadas cartesianas
	Sejam (x,y) as coordenadas de um ponto no sistema de coordenadas cartesianas e (, ) as coordenadas de um ponto no sistema de coordenadas polares:
x = . cos 
y = . sen 
		
Noções sobre Vetores
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Representação simbólica
Por convenção, para saber que estamos falando de vetores e não de variáveis ou outro ente matemático qualquer, designamos o vetor por uma letra e utilizamos uma flecha sobre a letra. 
Mas há outras maneiras de representar um vetor. Imagine, por exemplo, um vetor no plano: 
Noções sobre Vetores
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Representação simbólica
A sua origem e a sua extremidade podem ser associadas a pontos no plano xy. 
Assim, o vetor acima pode ser representado como o segmento orientado e seu comprimento é dado por B – A. As coordenadas de A são (x1, y1) e as coordenadas de B são (x2, y2). 
Logo, o comprimento do vetor AB é dado por B – A = (x2 - x1 , y2 - y1)
Noções sobre Vetores
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Exemplo
Seja = [2,2]. 
Podemos associar a o segmento de reta orientado com ponto inicial A(1,2) e ponto final B(3,4). 
 = B – A = (3-1, 4-2)=(2,2)
(3,4)
(1,2)
Noções sobre Vetores
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Operações com vetores
Considere 2 vetores: e .
A resultante + é obtida pela chamada “lei do paralelogramo”.
Construímos um paralelogramo unindo a origem dos dois vetores e traçando retas paralelas a e a partir de suas extremidades.
Noções sobre Vetores
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Lei do paralelogramo
A lei do paralelogramo foi idéia de Aristóteles quando este estudava a composição de forças no caso particular do retângulo.
Noções sobre Vetores
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Ex: Dados dois vetores AB e AC obtenha AB + AC. 
AD = AB + AC
 II. Quando os dois vetores possuem a mesma origem:
A soma é obtida utilizando a
 REGRA DO PARALELOGRAMO. 
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Variações
Mas, além da lei do paralelogramo, a soma de vetores pode ser obtida unindo-se a extremidade do primeiro vetor à origem do segundo. 
Noções sobre Vetores
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Somando mais que dois vetores
Noções sobre Vetores
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Observações Importantes:
I. O vetor resultante sempre “sai” da origem do sistema.
II. Quando os vetores não possuem as origens e as extremidades especificadas por letras, a soma dos vetores pode ser feita por qualquer um dos casos mostrados.
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Em termos de suas coordenadas, a soma se dá componente a componente:
Definição:Sejam e dois vetores no plano. A soma dos vetores e é o vetor .
Exemplo:
Sejam e então, 
1.ª coordenada
2.ª coordenada
Noções sobre Vetores
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Exemplo: Interpretação geométrica
Noções sobre Vetores
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 .
Exercícios:
Sejam e a soma dos vetores em termos de suas coordenadas é :
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Diferença de vetores
 Representamos o vetor + (-1) por .
 Esse vetor é a diferença de e .
Noções sobre Vetores
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Produto de um vetor por um escalar
Considere que o vetor tem a magnitude de uma unidade. Se multiplicarmos esse vetor por um número real qualquer, por exemplo, 3, o vetor tem sua magnitude aumentada para 3 unidades. A direção é conservada se o escalar for 0,caso contrário, o vetor assume a direção oposta.
Noções sobre Vetores
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Exemplo
Se a = 2, b = -3 e = (1,-2), então:
e 
Noções sobre Vetores
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Exercícios
Se a = 3, b = -4 e = (2,-4), então:
	e 
Noções sobre Vetores
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Exercícios
Se a = 3, b = -4 e = (2,-4), então:
	e 
Noções sobre Vetores
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Exercícios
Se a = 3, b = -4 e = (2,-4), então:
e 
Noções sobre Vetores
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Produto escalar
O produto escalar dos vetores de dimensão n: 
a = (a1,a2,...an) e b = (b1,b2,...,bn), é definido por: 
a.b = a1b1 + a2b2 + ...+ anbn = 
 Exemplo
Calcule o produto escalar de = (1,-2,3,4) e = (2,3,-2,1). 
 . = 1.2 + (-2).3 + 3.(-2)+ 4.1 = -6
Noções sobre Vetores
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Produto escalar
Exercícios
Calcule o produto escalar do:
vetor x = (2, -1, -3, 4) com o vetor y = (2, 3, -2, -1). 
 . 
Noções sobre Vetores
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Ângulo entre dois vetores
O produto escalar entre dois vetores resulta num número que mede a tendência de outro vetor apontar na mesma direção e é dado por: 
onde  é o ângulo formado por e . 
Noções sobre Vetores
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Ângulo entre dois vetores
Se e
então, cosseno 
Neste caso, os vetores são perpendiculares entre si. 
Noções sobre Vetores
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Exemplo
Encontre o ângulo entre os vetores = (2,4) e = (-1,2).
 . = 2.(-1) + 4.2 = 6
Portanto,
Usando a calculadora, descobrimos que o ângulo é aproximadamente 53º. 
Noções sobre Vetores
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Exercícios
Encontre o ângulo entre os vetores = (1,2) e = (-2,4).
Noções sobre Vetores
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Exercícios
Encontre o ângulo entre os vetores = (1,2) e = (-2,4).
 . = 1.(-2) + 2. 4 = 6
Portanto,
Usando a calculadora, descobrimos que o ângulo é aproximadamente 53º. 
Noções sobre Vetores
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Exercícios
Encontre o ângulo entre os vetores = (5,-2) e = (-2,-4).
Noções sobre Vetores
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Exercícios
Encontre o ângulo entre os vetores = (5,-2) e = (-2,-4).
 . = 5.(-2) + (-2. -4) = 18
Portanto,
Usando a calculadora, descobrimos que o ângulo é aproximadamente _______º. 
Noções sobre Vetores
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Ângulo entre dois vetores
O produto escalar entre dois vetores não nulos é zero se, e só se, o cosseno do ângulo entre eles é zero e, isto só acontece quando os vetores são perpendiculares . 
Exemplo
Os vetores = (2,-4) e = (4,2) 
são ortogonais, já que:
Noções sobre Vetores
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Ângulo entre dois vetores
Mas, , logo 
=>
.
Temos então que: 
Noções sobre Vetores
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Comprimento ou norma de um vetor
O comprimento, tamanho ou norma de um vetor = (x1,y1) é:
y1
Além disso, dado um escalar , pertencente a :
 
Noções sobre Vetores
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Noções sobre Vetores
Eis o Bunyakowski, porque aqui todos merecem ser lembrados.
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Distância entre dois pontos
Além disso, pelo teorema de Pitágoras, podemos obter comprimento do segmento orientado com ponto inicial P(x1,y1) e ponto final P(x2,y2):
x1
Noções sobre Vetores
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Exemplo-1
Se = (2,-5), então o comprimento de é dado por:
Noções sobre Vetores
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Exemplo-1
Se = (2,-5), então o comprimento de é dado por:
Noções sobre Vetores
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Exemplo-2
	A distância entre P(3,2) e Q(-1,5), ou o comprimento do segmento orientado é dado por:
Noções sobre Vetores
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Exemplo-2
A distância entre P(3,2) e Q(-1,5), ou o comprimento do segmento orientado é dado por:
Noções sobre Vetores
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Exemplo-3
	A distância entre P(-3,2) e Q(1,-4), ou o comprimento do segmento orientado é dado por?
	Represente esta distância graficamente:
Noções sobre Vetores
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Versor ou Vetor unitário
Um vetor unitário é um vetor de comprimento 1. Se é um vetor não-nulo, então o vetor:
é um vetor unitário com a mesma direção e sentido que . 
Noções sobre Vetores
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Exemplo 1
Seja x = (-3,4). Então:
Logo, o vetor 
 
É um vetor unitário, pois:
Noções sobre Vetores
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Exemplo 2
Seja x = (6,-8). Então:
Demonstre calculando:
Noções sobre Vetores
é um vetor unitário?
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Exemplo 2
Seja x = (6,-8). Então:
Logo, o vetor 
 
É um vetor unitário?
Noções sobre Vetores
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Exemplo 2
Seja x = (6,-8). Então:
Logo, o vetor 
 
É um vetor unitário?
Noções sobre Vetores
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Exemplo 2
Seja x = (2,-3). Então:
Demonstre calculando:
Noções sobre Vetores
é um vetor unitário?
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Ponto médio de um segmento
O ponto médio do segmento de reta P1(x1,y1) a P2(x2,y2) é dado por:
P1(x1,y1)
P2(x2,y2)
M (x,y)
Noções sobre Vetores
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Ponto médio entre dois pontos
Neste tipo de associação basta relembrar um cálculo simples de média aritmética onde relacionamos uma operação de soma entre elementos e dividimos pela quantidade somada. No nosso estudo iremos trabalhar apenas com dois pontos. 
Fórmulas
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Exemplo
Determine o ponto médio M do segmento P1(-2,3) a P2(4,-2) e Represente graficamente. 
Noções sobre Vetores
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Exemplo
Determine o ponto médio M do segmento P1(-2,3) a P2(4,-2). 
Noções sobre Vetores
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Exercício
                                
Dados os pontos A(3,5) e B(-3,-2), determine o ponto médio entre estes dois pontos e represente no plano.
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Exemplo
                                
Dados os pontos A(2,5) e B(6,9), determine o ponto médio entre
estes dois pontos e represente no plano.
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Exemplo
                                
Dados os pontos A(2,5) e B(6,9), determine o ponto médio entre
estes dois pontos e represente no plano.
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