Exercícios Complementares - Cap 4

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MAT0363 – Cálculo Numérico – 2019 
Exercícios Complementares 
Capítulos 4 – Sistemas de Equações Lineares (SELAs) 
 
Orientações: 
 Resolva os exercícios propostos, em detalhes, como atividade complementar e de estudo para a avaliação. 
 Escolha um conjunto de exercícios (ímpares ou pares) e organize a sua resolução (linhas de comando, retornos 
e respostas explícitas) em um documento de texto. Utilize nova página para cada nova questão e salve o docu-
mento em formato pdf. 
 Publique o documento no webfólio: “Trabalho 2 - Nota 3” até a data da Prova 1, às 19h. 
 O trabalho é individual e tem peso 2,0 pontos na Nota 3. 
 Documentos que não atenderem às solicitações descritas, não serão corrigidos. 
 
 
E.01) Um engenheiro eletricista supervisiona a produção de três tipos de componentes elétricos. Três tipos de ma-
terial – metal, plástico e borracha – são necessários para a produção. As quantidades necessárias para produzir 
cada componente são: 
Componente 
Metal 
(g/componente) 
Plástico 
(g/componente) 
Borracha 
(g/componente) 
1 15 0,25 1,0 
2 17 0,33 1,2 
3 19 0,42 1,6 
 
Se um total de 2,12 kg; 0,0434 kg e 0,164 kg de metal, plástico e borracha, respectivamente, estiver disponível a 
cada dia, quantos componentes poderão ser produzidos por dia? Atenção com as unidades!! 
a) Escreva o sistema que representa o problema, na forma matricial. 
b) Resolva o sistema com um método direto. 
c) Resolva o sistema com um método iterativo Gauss-Seidel, utilizando tolerância 0,5 × 10−6 para o resíduo rela-
tivo como critério de parada. 
 
 
E.02) Considere o seguinte sistema de equações lineares: 
[
−1,2
2
−1
5,6
 
5
3,4
1
−2
 
6
1
−13
1
 
21
0
1
1
] [
𝑥1
𝑥2
𝑥3
𝑥4
] = [
7
1
−2
2
] 
 
a) Determine o vetor 𝐗, solução do sistema pelo método da eliminação de Gauss sem aplicar estratégia de pivota-
mento, e o vetor Y, solução pelo método de Gauss, com pivotamento parcial. 
b) Reorganize o sistema e aplique um método iterativo para encontrar o vetor solução 𝐙, com 𝑡𝑜𝑙 = 0,5 × 10−8. 
Forneça a matriz completa do sistema, o vetor solução, o erro relativo e o número de iterações realizadas. 
c) Calcule as diferenças relativas entre 𝐗 e 𝐘, e entre 𝐙 e 𝐘. 
 
 
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E.03) Uma consideração importante no estudo da transferência de calor é 
a de se determinar a distribuição de temperatura assintótica de uma placa 
fina quando a temperatura em seu bordo é conhecida. Suponha que a placa 
na figura abaixo represente uma seção transversal de uma barra de metal, 
com fluxo de calor desprezível na direção perpendicular à placa. 
Sejam 𝑇1, ..., 𝑇6 as temperaturas em seis vértices interiores do reticulado da 
figura. A temperatura num vértice é aproximadamente igual à média dos 
quatro vértices vizinhos mais próximos: à esquerda, acima, à direita e 
abaixo. Por exemplo: 
 
 𝑇1 = (10 + 20 + 𝑇2 + 𝑇4)/4 ou 4𝑇1 − 𝑇2 − 𝑇4 = 30 
a) Escreva um sistema de seis equações cuja solução fornece estimativas para as temperaturas 𝑇1, ..., 𝑇6. 
b) Resolva o sistema de equações utilizando eliminação de Gauss. 
 
 
E.04) Sistema massa-mola idealizados tem numerosas aplicações em toda 
engenharia. A figura ao lado mostra um arranjo de quatro molas em série 
sendo comprimidas por uma força de 1500 N. 
 
No equilíbrio, as equações de balanço das forças podem ser deduzidas escre-
vendo-se as interações entre as molas 
 
2 2 1 1 1
3 3 2 2 2 1
4 4 3 3 3 2
4 4 3
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
k x x k x
k x x k x x
k x x k x x
F k x x
− =
− = −
− = −
= −
 
 
onde os 𝑘’s são as constantes elásticas das molas. Se 𝑘1 até 𝑘4 forem 100, 50, 
80 e 200 N/cm, respectivamente, calcule os valores de 𝑥𝑖. 
 
 
 
E.05) Seja o sistema Ax = b com 𝑎𝑖,𝑗 = {
2𝑖, se 𝑗 = 𝑖 e 𝑖 = 1,2, . . . ,10
−1, se {
𝑗 = 𝑖 + 1 e 𝑖 = 1,2, . . . ,9
𝑗 = 𝑖 − 1 e 𝑖 = 2,3, . . . ,10
 
0, em outro caso 
 e 𝑏𝑖 = 1.5𝑖 − 6 para cada 
 𝑖 = 1,2, . . . ,10 
a) Elabore um script para gerar as matrizes do exercício. 
b) É possível resolver o sistema com os métodos iterativos estudados na disciplina? Por quê? 
c) Use o método de Gauss-Seidel, com vetor inicializador 𝒙1 = [10,10, . . . ,10]
𝑡, para encontrar a solução do sistema 
linear dado, com tol = 0,5 × 10−6. 
 
 
E.06) Uma barra rígida 𝐴𝐵𝐶 é suportada por três barras conectadas por pinos, conforme mostrado. 
Uma força 𝑃 = 40 kN é aplicada na barra rígida em uma distância 𝑑 a partir de 𝐴. As forças nas barras, 𝐹𝐴𝐷 , 𝐹𝐵𝐸 e 𝐹𝐶𝐺 , 
podem ser determinadas com a solução do seguinte sistema de três equações: 
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𝐹𝐴𝐷 + 𝐹𝐵𝐸 + 𝐹𝐶𝐺 = 𝑃 
 
10𝐹𝐵𝐸 + 16𝐹𝐶𝐺 = 𝑑. 𝑃 
 
6𝐿𝐴𝐷
𝐸𝐴𝐷𝐴𝐴𝐷
𝐹𝐴𝐷 −
16𝐿𝐵𝐸
𝐸𝐵𝐸𝐴𝐵𝐸
𝐹𝐵𝐸 +
10𝐿𝐶𝐺
𝐸𝐶𝐺𝐴𝐶𝐺
𝐹𝐶𝐺 = 0 
 
 
onde 𝐿, 𝐸 e 𝐴 denotam o comprimento, o módulo elástico e a área da seção das barras, respectivamente. Uma vez 
calculada a força em cada uma das três barras, seu alongamento  pode ser determinado com o emprego da fórmula 
𝛿 =
𝐹𝐿
𝐸𝐴
. 
Determine a força nas três barras e seu alongamento para: 
a) d = 10 m 
b) d = 14 m 
 
Demais dados: LAD = 4 m, LBE = 5 m, LCG = 2 m, 
EAD = 70 GPa, EBE = 200 GPa, ECG = 115 GPa, AAD = ABE = ACG = 5 × 10−5𝑚2. 
 
 
E.07) A figura abaixo mostra uma treliça que está apoiada no ponto inferior esquerdo , pode se mover horizontal-
mente no ponto inferior direito  e tem juntas de pino nos pontos , ,  e . 
 
As forças que atuam sobre a estrutura da treliça satisfazem as equações da seguinte tabela: 
 
 
 
 
 
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Esse sistema linear pode ser expresso na forma matricial: 
 
a) Explique por que as equações foram reordenadas. 
b) Aproxime a solução do sistema linear resultante, com uma tolerância de 0,5 × 10−5, com o método de Gauss-
Jacobi e com o método de Gauss-Seidel. Compare os resultados. 
 
 
E.08) Na resolução de sistemas lineares pelos métodos iterativos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel um dos critérios 
de parada faz a estimativa de erro relativo a partir de 
 
usando a norma-2 (norma euclidiana) 
 
Esta é uma norma-p, com 𝑝 = 2. De maneira geral, a norma-p de 𝐯 é definida por ‖𝐯‖ = √𝑣1
𝑝 + 𝑣2
𝑝 +⋯+ 𝑣𝑛
𝑝𝑝
. 
 
a) Elabore uma function que calcula a norma-p de um vetor 𝐯. 
b) Reescreva o sistema abaixo para assegurar a convergência por Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel: 
 
{
 
 
 
 
2𝑥1 − 𝑥2 − 𝑥3 + 𝑥4 − 7𝑥5 = 7 
−8𝑥2 − 2𝑥3 + 𝑥4 − 3𝑥5 = 5
2𝑥1 − 4𝑥2 + 7𝑥3 = 13
−𝑥1 + 2𝑥2 − 3𝑥3 − 10𝑥4 + 2𝑥5 = 4
10𝑥1 + 4𝑥2 − 𝑥3 + 3𝑥4 = 2
 
 
c) Determine o vetor solução do sistema, usando como vetor inicial o vetor com todas as componentes iguais a −1 e 
como critério de parada 𝑡𝑜𝑙 = 0.5 × 10−8, pelos métodos: 
c.1) Gauss-Seidel, com norma-3. 
c.2) Gauss-Jacobi, com norma-3.