MAEM_-_Lista_1

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MAEM – Lista 1 
 
1) Mostre que as funções são ortogonais no intervalo: 
 
a) 𝑓1 𝑥 = 𝑥 𝑓2 𝑥 = 𝑥
2 −2,2 
b) 𝑓1 𝑥 = 𝑥
3 𝑓2 𝑥 = 𝑥
2 + 1 −1,1 
c) 𝑓1 𝑥 = 𝑒
𝑥 𝑓2 𝑥 = sen 𝑥 
𝜋
4
,
5𝜋
4
 
d) 𝑓1 𝑥 = cos 𝑥 𝑓2 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛
2𝑥 0, 𝜋 
 
2) Mostre que o conjunto de funções é ortogonal no intervalo e determine a norma de cada função no 
conjunto: 
 
a) sen 𝑥 , sen 3𝑥 , sen 5𝑥 , … ; 0,
𝜋
2
 
b) cos 𝑥 , cos 3𝑥 , cos 5𝑥 , … ; 0,
𝜋
2
 
c) sen 𝑛𝑥 , 𝑛 = 1, 2, 3, …; 0, 𝜋 
 
3) Determine a série de Fourier de 𝑓 no intervalo indicado: 
 
a) 𝑓 𝑥 = 
0, − 𝜋 < 𝑥 < 0
1, 0 ≤ 𝑥 < 𝜋
 Resp.:𝑓 𝑥 =
1
2
+
1
𝜋
 
1
𝑛
 1 − −1 𝑛 sen 𝑛𝑥∞𝑛=1 
 
b) 𝑓 𝑥 = 
−1, − 𝜋 < 𝑥 < 0
 2, 0 ≤ 𝑥 < 𝜋
 Resp.:𝑓 𝑥 =
1
2
+
3
𝜋
 
1− −1 𝑛
𝑛
sen 𝑛𝑥∞𝑛=1 
 
c) 𝑓 𝑥 = 
1, − 1 < 𝑥 < 0
𝑥, 0 ≤ 𝑥 < 1
 Resp.:𝑓 𝑥 =
3
4
+ 
1
𝑛2𝜋2
 −1 𝑛 − 1 cos 𝑛𝜋𝑥 −
1
𝑛𝜋
sen 𝑛𝜋𝑥∞𝑛=1 
 
d) 𝑓 𝑥 = 
 0, − 𝜋 < 𝑥 < 0
𝑥2 , 0 ≤ 𝑥 < 𝜋
 
 Resp.:𝑓 𝑥 =
𝜋2
6
+ 
2 −1 𝑛
𝑛2
cos 𝑛𝑥 + 
𝜋
𝑛
 −1 𝑛+1 +
2
𝜋𝑛3
 −1 𝑛 − 1 sen 𝑛𝑥∞𝑛=1 
 
e) 𝑓 𝑥 = 
 𝜋2 , − 𝜋 < 𝑥 < 0
𝜋2 − 𝑥2 , 0 ≤ 𝑥 < 𝜋
 
 Resp.:𝑓 𝑥 =
5𝜋2
6
+ 
2
𝑛2
 −1 𝑛+1 cos 𝑛𝑥 + 
𝜋
𝑛
 −1 𝑛 +
2 1− −1 𝑛 
𝑛3𝜋
 sen 𝑛𝑥 ∞𝑛=1 
f) 𝑓 𝑥 = 
 0, − 𝜋 < 𝑥 < 0
sen 𝑥 , 0 ≤ 𝑥 < 𝜋
 Resp.:𝑓 𝑥 =
1
𝜋
+
1
2
sen 𝑥 + 
 −1 𝑛 +1
𝜋 1−𝑛2 
cos 𝑛𝑥∞𝑛=2 
 
g) 𝑓 𝑥 = 
 0, − 2 < 𝑥 < −1
−2, − 1 ≤ 𝑥 < 0
 1, 0 ≤ 𝑥 < 1
 0, 1 ≤ 𝑥 < 2
 Resp.: 
 
4) Utilize o resultado do exercício 3d para mostrar que em 𝑥 = 𝜋: 
𝜋2
6
= 1 +
1
22
+
1
32
+
1
42
+ ⋯ 
 
5) Utilize o resultado do exercício 3d para mostrar que: 
𝜋2
12
= 1 −
1
22
+
1
32
−
1
42
+ ⋯em 𝑥 = 0.